拓撲空間中的理想收斂

王 武, 張 舜

(1. 天津理工大學中環信息學院 基礎部, 天津 300380; 2. 天津仁愛學院 數學教學部, 天津 301636)

偏序集理論旨在為計算機程序式語言提供數學模型, 因此受到廣泛關注, 目前已取得了很多有價值的結果和模型[1-3]. 隨著計算機理論的發展, 偏序集理論不斷向信息科學、 邏輯學、 分析學及各種應用學科相融合[4-5]. 將偏序集理論推廣到拓撲空間是序結構理論的重要研究方向之一[6-7], 如: 王武[8]研究了拓撲空間的連續性及其伴隨式刻畫; Luo等[9]研究了拓撲空間的特殊連續性. 網的收斂是研究拓撲結構的重要工具, 網可以完全刻畫拓撲空間的開集, 本文利用定向集的理想定義網的理想S極限和理想廣義S極限, 并研究它們與c-空間和局部強緊空間的關系.結果表明: 1)T0拓撲空間上的定向拓撲、 理想S極限拓撲和理想廣義S極限拓撲相同; 2) 定向空間中理想S收斂是拓撲的當且僅當其為c-空間; 3) 定向空間中理想廣義S收斂是拓撲的當且僅當拓撲空間是局部強緊空間.

1 預備知識

設L是偏序集,D?L, 如果D中任意兩個元在D中有上界, 則D稱為定向集.如果L的每個定向子集D都有上確界(記為supD), 則L稱為定向完備偏序集(簡稱dcpo).任給子集U?L, 如果U是上集, 即U=↑U且任意的定向集D?L, supD∈U蘊含D∩U≠?, 則U稱為Scott開集.所有的Scott開集構成一個拓撲, 稱為Scott拓撲, 記為σ(L).設A?L, 記

↑A={x∈L: ?a∈A,a≤x}, ↓A={x∈L: ?a∈A,x≤a}.

若A為單點集{a}, 則記↑A=↑a, ↓A=↓a[10].

設(X,τ)是T0拓撲空間,x,y∈X, 定義如下偏序關系:x∈y?x∈clτ{y}, 其中clτ{y}為單點集{y}在拓撲τ中的閉包, 由此定義的序稱為特殊化序[11].本文T0拓撲空間上的序關系總是由拓撲τ按上述方法生成的.設(X,τ)是T0拓撲空間,J是定向集, 映射ξ:J→X稱為X上的網, 簡記為(xj)j∈J.任給x∈X, 如果(xj)j∈J終在x的任意開鄰域U中, 即存在j0∈J, 使得當j≥j0時xj∈U, 則稱網(xj)j∈J關于拓撲τ收斂到x, 記為(xj)j∈J→τx.T0拓撲空間(X,τ)的每個定向集D都可視為X的一個網, 指標集即為其自身.若D收斂到x, 即x的任意開鄰域交D非空, 則記為D→τx.易知, {y}→τx當且僅當x≤y.

定義1[12]設(X,τ)是T0拓撲空間,U?X.

1) 如果對任意定向集D→τx,x∈U蘊含存在d∈D, 使得d∈U, 即D∩U≠?, 則U稱為定向開集.所有定向開集的集合記為d(X), 顯然τ?d(X).

2) 如果τ=d(X), 則(X,τ)稱為定向空間.

注11) 所有定向開集的集合可構成X上的拓撲, 稱為定向拓撲, 仍記為d(X).

2) 偏序集賦予Scott拓撲是定向空間, 從而帶有特殊化序的定向空間是比定向完備集更一般的數學模型.

3) 每個定向開集都是上集.

目前, 關于c-空間的研究已有很多結果.例如: domain上賦予Scott拓撲是c-空間[13]; Keimel[14]把c-空間與拓撲錐相結合, 提出了c-錐的概念.

定義3[15]設(X,τ)是T0拓撲空間,x,y∈X.對任意定向集D?X, 如果D→τx能夠蘊含存在d∈D, 使得x∈d, 即D∩↑x≠?, 則稱x逼近y, 記為x?y.

1)x?y蘊含x≤y;

2)s≤x?y≤t蘊含s?t.

命題1[15]設(X,τ)是c-空間, 則下列結論成立:

3) 對任意x,y∈X,x?y??z∈X,x?z?y.

命題2[15]設(X,τ)是T0拓撲空間, 則下列結論等價:

1) (X,τ)是c-空間;

2) (X,τ)是定向空間且任給x∈X,x是定向的且作為網x→τx;

3) (X,τ)是定向空間且任給x∈X, 存在定向集D?x使得D→τx.

設(X,τ)是T0拓撲空間,G,H為X的兩個非空子集.如果H?↑G, 則G≤H, 這種序關系稱為Symth序, Symth序是一種預序關系.如果對任意的定向集D?X,D→τx∈↑H蘊含存在d∈D, 使得d∈↑G, 即D∩↑G≠?, 則G?H.特別地, {y}?H簡記為y?H,G?{x}簡記為G?x.顯然,G?H蘊含?h≤H,G?h.易知上述定義的關系有如下性質:

1)G?H蘊含G≤H;

2)G≤E?F≤H蘊含G?H.

設(X,τ)是T0拓撲空間, 令Pw(X)表示X的非空有限子集的集族.設非空集族D(F)?Pw(X), 如果任給E,F∈D(F), 存在有限集H∈D(F), 使得↑H?↑E∩↑F, 則集族D(F)稱為定向的.如果對任意x∈U∈τ, 存在F∈D(F), 使得↑F?U, 則稱定向集族D(F)收斂到x, 記為D(F)→τx.對任意x∈L, 記fin(x)={F∈Pw(X):F?x}.

定義4[16]設(X,τ)是T0拓撲空間.如果(X,τ)是定向空間, fin(x)是定向集族且fin(x)→τx, 則稱(X,τ)是擬連續空間.

擬連續空間的等價刻畫是(X,τ)是定向空間, 且存在定向集族D(F)?fin(x)使得D(F)→τx.

命題3[16]設(X,τ)是擬連續空間,F∈Pw(X), 記F={x:F?x}, 則:

1) 對任意x∈X,H為X的非空有限子集: 如果有H?x, 則存在有限集G?X, 使得H?G?x;

命題4[16]設(X,τ)是T0拓撲空間,D(F)?Pw(X)是定向集族,G,H∈Pw(X).如果G?H并且D(F)→τx∈H, 則存在F∈D(F), 使得F?↑G.

設J是非空集合, 如果J的子集族I滿足:

1)A∈I,B?A蘊含B∈I;

2)A,B?I蘊含A∪B∈I.

則稱I是J的理想.如果J?I, 則稱I是J的非平凡理想.

令J是定向集, 再令Mj={j′∈J:j′∈↑j}, 則易知I0={A?J:A?JMj}是J的非平凡理想.顯然對任意有限集F?J,f∈F, 令MF={j′∈J:j′∈↑F}, 則Mf?MF, 故JMF?JMf∈I0, 從而JMF∈I0.

注2設(X,τ)是T0拓撲空間, 網(xj)j∈J?X, 子集A?X, 如果{j′∈J:xj′?↑A}∈I0, 則(xj)j∈J終在↑A中.

證明: 設{j′∈J:j′?↑A}∈I0, 則存在j0∈J, 使得{j′∈J:j′?↑A}?JMj0, 從而Mj0?{j′∈J:xj′∈↑A}, 故當j≥j0時,j∈Mj0, 即x∈↑A.

定義5[17]設(X,τ)是拓撲空間, 網(xj)j∈J?X,I是J的理想, 若x∈U∈τ蘊含{j∈J:xj?U}∈I, 則稱網(xj)j∈J是關于拓撲τ理想收斂到x的, 也稱x是網(xj)j∈J的理想極限, 并記為(xj)j∈J→Ix.

易知, 拓撲空間(X,τ)中的網(xj)j∈J→τx當且僅當(xj)j∈J→I0x[17].

2 理想S極限

下面介紹T0拓撲空間中的理想S極限, 并利用其刻畫拓撲空間中的逼近關系, 同時給出定向空間為c-空間的充要條件.

定義6設(X,τ)是T0拓撲空間, (xj)j∈J是X中的一個網,I是指標集J的非平凡理想.如果存在定向集D?X, 使得:

1)D→τx;

則稱網(xj)j∈J是理想S收斂到x的, 或稱x是網(xj)j∈J的理想S極限, 記為(xj)j∈J→ISx.

設I是J的非平凡理想, 令τIS={U?X: (xj)j∈J→ISx,x∈U?{j:xj?U}∈I}.

命題7設(X,τ)是T0拓撲空間, 則τIS是X上的一個拓撲, 稱為理想S極限拓撲; 并且(xj)j∈J→ISx蘊含(xj)j∈J→Ix關于拓撲τIS成立.

證明: 顯然?∈τIS.因為?∈I, 故X∈τIS.設U,V∈τIS, (xj)j∈J→ISx且x∈U∩V.顯然x∈U, 因為U∈τIS, 故{j∈J:xj?U}∈I.同理, {j:xj?V}∈I, 故

{j∈J:xj?U∩V}={j:xj?U}∪{j:xj?V}∈I,

從而U∩V∈τIS.設Ui∈τIS,i∈K,K為指標集, (xj)j∈J→ISx且x∈∪Ui, 則存在i∈K, 使得x∈Ui, 因此有{j:xj?Ui}∈I.又因為{j:xj?∪Ui}?{j:xj?Ui}∈I, 故{j∈J:x?∪Ui}∈I, 從而∪Ui∈τIS.綜上τIS是X上的一個拓撲.由τIS的定義, 顯然有(xj)j∈J→ISx蘊含(xj)j∈J→Ix關于拓撲τIS成立.

命題8設(X,τ)是T0拓撲空間, 則τIS是使得(xj)j∈J→ISx蘊含(xj)j∈J→Ix的最細拓撲.

證明: 設拓撲τ使得(xj)j∈J→ISx蘊含(xj)j∈J→Ix, 只需證明τ?τIS.對任意U∈τ, 如果有(xj)j∈J→ISx∈U, 則(xj)j∈J→Ix關于拓撲τ成立, 即{j:xj?U}∈I, 從而U∈τIS.

命題9設(X,τ)是T0拓撲空間, 則理想S極限拓撲與定向拓撲相同, 即τIS=d(X).

設U∈τIS, 定向集D→τx∈U.考察網(xd)d∈D, 其中xd=d對任意的d∈D成立.顯然(xd)d∈D→I0(D)Sx, 因為集族I0(D)是定向集D的非平凡理想, 故有{d∈D:xd?U}≠D, 從而存在xd=d∈U, 進而D∩U≠?,U∈d(X).

推論1設(X,τ)是定向空間, 則原拓撲、 定向拓撲、 理想S極限拓撲相同, 即τ=d(X)=τIS.

推論2設(X,τ)是c-空間, 則{x:x∈X}是τIS的基.

命題10設(X,τ)是定向空間, 則下列結論等價.

1) (X,τ)是c-空間;

2) (xj)j∈J→ISx等價(xj)j∈J→Ix關于定向拓撲成立.

證明: 令(X,τ)是c-空間, (xj)j∈J→ISx,x∈U∈d(X).因為τIS=d(X), 故U∈τIS, 從而{j∈J:xj?U}∈I, 即(xj)j∈J→Ix, 進而(xj)j∈J→Ix關于定向拓撲成立.設(xj)j∈J→Ix關于定向拓撲成立, 則(xj)j∈J→Ix關于τIS成立.由(X,τ)是c-空間知,x是定向集且x→τx.對任意的a∈x, 有x∈a∈τIS.因為(xj)j∈J關于拓撲τIS是理想收斂到x的且a∈d(X), 故{j∈J:xj?a}∈I, 從而{j∈J:xj?↑a}?{j∈J:xj?a}∈I, (xj)j∈J→ISx.

定義7設(X,τ)是拓撲空間,x∈X,I是J的非平凡理想, 網(xj)j∈J?X, (xj)j∈J→x表示某種收斂結構.如果存在拓撲τ, 使得(xj)j∈J→x當且僅當(xj)j∈J→Ix關于拓撲τ成立, 則稱收斂結構(xj)j∈J→x是拓撲的.

推論3設(X,τ)是c-空間, 則理想S收斂關于拓撲τ是拓撲的.

證明: 由命題10知, (X,τ)是c-空間當且僅當理想S收斂關于拓撲d(X)是拓撲的, 而c-空間都是定向空間, 從而理想S收斂關于拓撲τ是拓撲的.

3 理想廣義S極限

下面用定向集族代替理想S收斂中的定向集定義理想廣義S收斂, 并研究其與局部強緊空間的關系.

定義8設(X,τ)是T0拓撲空間, (xj)j∈J是X中的一個網,I是指標集J的非平凡理想.如果存在定向集族D(F)?Pw(X), 使得D(F)→τx, 且對任意的F∈D(F), {j∈J:xj?↑F}∈I, 則稱網(xj)j∈J是理想廣義S收斂到x, 或者稱x是網(xj)j∈J的理想廣義S極限, 記為(xj)j∈J→IGSx.

命題11設(X,τ)是T0拓撲空間, 則理想S收斂蘊含理想廣義S收斂, 即(xj)j∈J→ISx蘊含(xj)j∈J→IGSx.

上述結果的逆命題不一定成立, 說明理想廣義S極限是理想S極限的推廣.

例1設L=∪{∞,a}, 這里表示自然數的集合.對任意x,y∈L,x≤y?y=∞或x,y∈,x≤y, 賦予Scott拓撲, 則Scott拓撲生成的特殊化序與原序一致. 易知,L是非連續的擬連續domain, 即擬連續空間. 對任意的n∈, {a,n}?a且D(F)={{a,n}:n∈}滿足D(F)→σa.令x2n=n,x2n+1=a, 則(xn)n∈是一個網.取N的理想I0, 則顯然{m:xm?↑{n,a}}∈I0.令D(F)={{n,a}:n∈}, 則顯然D(F)→σa, 且{m:xm?↑{n,a}}∈I0成立, 即(xn)n∈→GI0Sa.另一方面, 如果x∈L, 則顯然{m:xm?↑n}?I0, {m:xm?↑a}?I0.從而不存在定向集D?L, 使得D→σx, 且對任意的d∈D, {j∈J:xjd}∈I0, 即(xn)n∈→ISa不成立.

命題12設(X,τ)是T0拓撲空間,x∈X,G∈Pw(X).如果任意網(xj)j∈J和J的非平凡理想I, (xj)j∈J→IGSy蘊含{j∈J:xj?↑G}∈I, 則G?x.

證明: 設定向集D?X,D→τx, 令(xd)d∈D滿足xd=d, 則(xd)d∈D→I0Sx, 即(xd)d∈D→GI0Sx.故{j∈J:xj?↑G}∈I0.因為I0是非平凡理想, 故{j∈J:xj?↑G}≠D.因此存在xd0=d0, 使得d0∈↑G, 即G?x.

命題13設(X,τ)是局部強緊空間,G∈Pw(X), (xj)j∈J是一個網,I是J的非平凡理想,x∈L.如果對任意G?x蘊含{j∈J:xj?↑G}∈I, 則(xj)j∈J→GISx.

證明: 設G∈Pw(X), (xj)j∈J?L是一個網,I是J的非平凡理想,x∈L且對任意G?x有{j∈J:xj?↑G}∈I.由于局部強緊空間都是擬連續空間, 因此fin(x)={F∈Pw(X):F?x}是定向集族, 且fin(x)→τx.由假設知對任意F∈fin(x), {j∈J:xj?↑F}∈I, 則(xj)j∈J→GISx.

設I是J的非平凡理想, 令τIGS={U?X: (xj)j∈J→IGSx,x∈U?{j:xj?U}∈I}.

命題14設(X,τ)是T0拓撲空間, 則τIGS是X上的一個拓撲, 稱為理想廣義S極限拓撲.并且(xj)j∈J→IGSx蘊含(xj)j∈J→Ix.

證明過程與命題7類似, 故略.

命題15設(X,τ)是T0拓撲空間, 則理想廣義S極限拓撲與定向拓撲相同, 即τIGS=d(X).

證明: 由命題11知,τIGS?τIS=d(X).設U∈d(X), (xj)j∈J→IGSx∈U, 則存在定向集族D(F)?Pw(X), 使得D(F)→τx, 且對任意F∈D(F), {j∈J:xj?↑F}∈I.因為D(F)→τx∈U且U∈d(X), 故存在F∈D(F), 使得↑F?U.又因為{j∈J:xj?U}?{j∈J:xj?↑F}∈I, 即{j∈J:xj?U}∈I, 故U∈τIS.

上述命題表明雖然理想S極限和理想廣義S極限不一樣, 但它們生成的拓撲是一致的.

推論4設(X,τ)是定向空間, 則原拓撲、 定向拓撲、 理想S極限拓撲、 理想廣義S極限拓撲相同.

推論5設(X,τ)是局部強緊空間, 則{F:F∈Pw(X)}是τIGS的基.

命題16設(X,τ)是定向空間, 則下列結論等價:

1) (X,τ)是局部強緊空間;

2) (xj)j∈J→IGSx等價(xj)j∈J→Ix關于定向拓撲成立.

證明: 令(X,τ)是局部強緊空間, (xj)j∈J→IGSx,x∈U∈d(X).因為τIGS=d(X), 故U∈τIGS, 從而{j∈J:xj?U}∈I, (xj)j∈J→Ix, 即(xj)j∈J→Ix關于定向拓撲成立.設(xj)j∈J→Ix關于定向拓撲成立, 則(xj)j∈J→Ix關于τIGS成立.因為(X,τ)是局部強緊空間, 故fin(x)是定向集族且fin(x)→τx.對任意的F∈fin(x), 有x∈F∈τIGS, 因為(xj)j∈J關于拓撲τIGS是理想收斂的且a∈d(X), 故{j∈J:xj?F}∈I, 從而{j∈J:xj?↑F}?{j∈J:xj?F}∈I, 進而有(xj)j∈J→IGSx.

設(xj)j∈J→IGSx等價(xj)j∈J→Ix關于定向拓撲成立.對任意x∈X, 令

N(x)={U∈d(X):x∈U},M(x)={(U,y):U∈N(x),y∈U},

定義如下預序:(U1,y1)≥(U2,y2)?U1?U2, 顯然M(x)是定向集.設(x(U,y))(U,y)∈M(x)=y, 則(x(U,y))(U,y)∈M(x)作為網在定向拓撲中收斂到x, 即(x(U,y))(U,y)∈M(x)→I0x.從而(x(U,y))(U,y)∈M(x)→I0GSx, 則存在定向集族D(F)?Pw(X), 使得D(F)→τx, 且對任意的F∈D(F), {(U,y)∈M(x):x(U,y)?↑F}∈I0.由于I0是J的非平凡理想, 故存在(Ud,yd)∈M(x), 使得x(Ud,yd)∈↑F, 從而當x(U,y)≥x(Ud,yd)時,x(U,y)∈↑F, 即(x(U,y))(U,y)∈M(x)終在↑F中.任取w∈Ud, 則(Ud,w)≥(Ud,yd).因此w=x(Ud,w)≥x(Ud,yd)≥yd, 由yd∈↑F知對任意的F∈D(F), 存在x的開鄰域Ud滿足Ud?↑F.

推論6設(X,τ)是局部強緊空間, 則理想廣義S收斂關于拓撲τ是拓撲的。

綜上所述, 本文在拓撲空間中引入了理想S極限和理想廣義S極限的概念, 并給出了兩種收斂結構為拓撲收斂的條件, 所得結果有助于序結構理論和拓撲學的進一步研究.拓撲空間的理想S收斂是偏序集中S收斂的推廣, 從而在拓撲空間中研究偏序結構.在拓撲空間可否研究類似于偏序集的內射殼、 不動點、 格序半群等[18-20], 是需進一步研究的內容.