Yule-Furry經典δ沖擊模型的壽命性質

馬 明, 拉毛措, 彭 博, 馬 嵐, 黃 嬡

(西北民族大學 數學與計算機科學學院, 蘭州 730030)

1 引言與預備知識

系統在運行過程中隨機受某些外部因素的影響, 如環境溫度、 機械參數、 電流等, 這些因素可能導致某些硬件的性能降低從而引起系統故障. 為研究這類系統的可靠性, 本文把這些外部因素視為可能導致系統故障的隨機沖擊, 通過研究沖擊系統的可靠度、 平均壽命、 沖擊度等可靠性指標和壽命性質, 預測該系統的壽命, 從而給出相關更換策略, 防止系統突發故障. 因此, 沖擊模型在可靠性理論中具有重要意義.δ沖擊模型是沖擊間隔引起系統失效的沖擊模型, 關于δ沖擊模型的基礎研究目前已有很多結果, 例如: Li等[1]和李澤慧等[2]研究了沖擊是按齊次Poisson過程到達的δ沖擊模型; 唐風琴等[3]研究了基于時倚Poisson過程的δ沖擊模型; Li等[4]將齊次Poisson過程進行一般化, 研究了非齊次Poissonδ沖擊模型; Eryilmaz[5]研究了沖擊過程為Polya過程的δ沖擊模型.關于δ沖擊模型的擴展研究目前也有一些成果, 例如: Wang等[6]研究了間隔服從獨立同分布的δ沖擊模型與極端沖擊模型相結合的混合沖擊模型; Parvardeh等[7]分別討論了混合δ沖擊模型下模型Ⅰ(當連續兩次沖擊之間的時間小于閾值δ, 或單個沖擊幅度大于閾值γ時, 系統失效)和模型Ⅱ(當連續兩次沖擊之間的時間小于一個閾值δ, 或累積沖擊幅度大于一個固定的閾值γ時, 系統失效)的生存函數和壽命T的Laplace變換; Lorvand等[8]擴展了Parvardeh等[7]的研究, 建立了混合δ沖擊模型下具有多狀態的系統, 并推導了該系統在完全工作狀態下和部分工作狀態下的生存函數及相應的前兩個矩; Jiang[9]研究了沖擊是按照Poisson過程到達的具有多失效閾值的廣義δ沖擊模型, 分析并推導了平均成本率和平穩可用性, 在可用性約束下, 通過數值計算得到了最優的訂貨替換策略; Kus等[10]研究了連續沖擊之間的到達間隔時間屬于一類矩陣指數分布的δ沖擊模型的混合δ沖擊模型, 得到了系統壽命的Laplace-Stieltjes變換的矩陣形式; Goyal等[11]研究了沖擊過程為Poisson廣義Gamma過程的δ沖擊模型, 推導了生存函數與平均壽命的關系, 并研究了一些相關的隨機性質.文獻[12-14]給出了相關δ沖擊模型的一些新成果.

上述結果都是在沖擊間隔服從獨立同分布或沖擊到達率不變的前提下研究的, 但在實際應用中, 系統遭受的沖擊強度并非恒定. 本文將討論沖擊到達率線性變化的Yule-Furry經典δ沖擊模型, 建立Yule-Furry經典δ沖擊模型, 給出Yule-Furry經典δ沖擊模型的系統沖擊度及平均沖擊度, 給出可靠度的顯式表達式及其性質, 并討論壽命T的矩母函數和Laplace函數, 給出該模型的平均壽命r階矩, 最后給出該模型的一個實例. 下面給出一些相關定義和引理.

定義1[15]設計數過程{X(t),t≥0}是一個連續時間Markov鏈, 給定常數λ>0,m=1,2,….若對?t≥0,h>0,n=m,m+1,…, {X(t),t≥0}滿足:

1)X(0)=m;

2)P(X(t+h)-X(t)=1|X(t)=n)=nλh+ο(h);

3)P(X(t+h)-X(t)≥2|X(t)=n)=ο(h).

則稱{X(t),t≥0}是一個參數為(m,λ)的Yule-Furry過程, 也稱為線性純生過程, 記作{X(t),t≥0}～YFP(m,λ), 其中λ稱為生率系數,mλ稱為初始生率.

定義2[16]事件點在時間軸上隨機分布的現象稱為隨機點過程, 簡稱點過程, 記作Ψ.

給定一個點過程Ψ, 對于?t>0,n=1,2,…, 用N(t)表示在[0,t)上發生的事件點個數,Sn為第n個事件點發生的時刻,Zn表示第(n-1)個和第n個事件點的時間間隔, 其中Z1表示首次沖擊時刻, 則隨機過程{N(t),t≥0}, {Sn,n=1,2,…}, {Zn,n=1,2,…}分別稱為點過程Ψ的點數過程、 點時過程、 點距過程, 常用點過程的這3種隨機過程表征隨機點過程Ψ.

定義3[16]設{N(t),t≥0}是點過程Ψ的點數過程, 給定正整數m, 對?t≥0, 令X(t)=N(t)+m, 如果{X(t),t≥0}～YFP(m,λ), 則稱Ψ是一個參數為(m,λ)的Yule-Furry點過程, 記作Ψ～[YFP(m,λ)].

引理1[15]設點過程Ψ～[YFP(m,λ)].{N(t),t≥0}, {Sn,n=1,2,…}, {Zn,n=1,2,…}分別是Ψ的點數過程、 點時過程、 點距過程, 則Ψ有以下性質(其中規定00=1):

1) 對于t≥0, 點數N(t)服從參數為(m,e-λt)的非負值負二項分布, 其分布列為

2) 對于n=1,2,…, 點距Z1,Z2,…,Zn相互獨立且Zn服從參數為(n+m-1)λ的指數分布, 即Zn的生存函數為

3) 若m=1, 則對于n=1,2,…, 點時Sn的分布函數為

定義4[17]對于非負隨機變量X和Y, 若?t≥0, 有

P(X>t)≥P(Y>t),

則稱X隨機地大于Y, 記作X≥stY.

引理2[17]若X≥stY, 則EX≥EY.

2 Yule-Furry經典δ沖擊模型

考慮一個在連續時間尺度上運行的系統, 該系統遭受外部隨機沖擊, 假設沖擊按一個參數為(m,λ)的Yule-Furry點過程到達, 如果相鄰兩次沖擊間隔小于給定的正實數δ, 則系統失效(假設首次沖擊時刻小于δ, 系統也失效), 這樣的模型稱為Yule-Furry經典δ沖擊模型.該模型定義如下:

3 沖擊度

首先討論點距Zi(i=1,2,…)與系統失效前總沖擊次數M之間的關系.M的分布列通常稱為沖擊度.

定理1在SM{YFP(1,λ),D(δ)}中, 系統的沖擊度和平均沖擊度分別為

P(M=n)=(1-e-nλδ)e-n(n-1)λδ/2,n=1,2,…

和

(1)

證明: 首先根據定義5, 可得

P(M=1)=P(Z1<δ)=1-e-λδ.

當n≥2時, 由于

P(M>n)=P(Z1≥δ,Z2≥δ,…,Zn≥δ)=e-n(n+1)λδ/2,

(2)

P(M>n-1)=P(Z1≥δ,Z2≥δ,…,Zn-1≥δ)=e-n(n-1)λδ/2,

(3)

因此由式(2)和式(3)得

P(M=n)=P(M>n-1)-P(M>n)=e-n(n-1)λδ/2-e-n(n+1)λδ/2=(1-e-nλδ)e-n(n-1)λδ/2.

(4)

(5)

事實上, 一方面, 由于

在式(6)中, 由于

一般將式(2)中的P(M>n)稱為系統的累積沖擊度.

4 可靠度

下面給出SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}系統可靠度的精確表達式.

定理2設T～SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}, 則系統可靠度為

(7)

證明: 對于?t≥0, 有

(8)

其中{M=1}表示首次沖擊導致系統失效, 即T=Z1≤δ, 則

(9)

下面考慮n≥2的情形.由于{M=n}={n-1

由于點距Zi(i=1,2,…,n)服從參數為iλ的指數分布, 因此由指數分布無記憶性得

P(Sn>t|M>n-1)=P(Sn>t|Z1≥δ,Z2≥δ,…,Zn-1≥δ)=P(Sn>(t-(n-1)δ)),

根據引理1中3)可得

即

P(Sn>t|M>n-1)=1-(1-e-λ(t-(n-1)δ)+)n.

(11)

同理

P(Sn>t|M>n)=P(Sn>t-nδ)=1-(1-e-λ(t-nδ)+)n.

(12)

將式(11),(3),(12),(2)依次代入式(10), 得

P(T>t,M=n)=e-n(n-1)λδ/2[1-e-nλδ-(1-e-λ(t-(n-1)δ)+)n+e-nλδ(1-e-λ(t-nδ)+)n].

(13)

式(13)包含了式(9), 即n=1的情形.把式(13)代入式(8)得

(14)

由定理1注意到

e-n(n-1)λδ/2(1-e-nλδ)=P(M=n),

且

(15)

所以

當n=0時, e-n(n+1)λδ/2(1-e-λ(t-nδ)+)n=1, 于是, 式(16)可寫為

(17)

對式(17)中的第二項變量替換再合并, 即

由于當t≥0時, 對?n=1,2,…, 有

因此

證畢.

根據定理2易得如下推論.

推論1若對于0<δ1<δ2,Tδ1～SM{[YFP(1,λ)],D(δ1)},Tδ2～SM{[YFP(1,λ)],D(δ2)}, 則有Tδ1≥stTδ2.

證明: 由式(7)知, 對于?t≥0, 有

由于0<δ1<δ2, 故有以下關系:

e-n(n-1)λδ1/2≥e-n(n-1)λδ2/2>0, (1-e-λ(t-nδ1))n≥(1-e-λ(t-nδ2))n>0,

其中n=0時等號成立.從而

于是對于?t≥0有

故

P(Tδ1>t)≥P(Tδ2>t).

由定義4知,Tδ1隨機地大于Tδ2.證畢.

推論2對于t≥0,n=0,1,…, SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}系統的存活概率為

證明: 由于{T>t,N(t)=n}?{N(t)=n,M>n}, 因此

由定義5及引理1中1)得

P(N(t)=0,M>0)=P(N(t)=0)=e-λt,

則

(18)

當n=1,2,…時, 由于{N(t)=n,M>n}?{Sn≤tn}, 所以

P(N(t)=n,M>n)=P(Sn≤tn)=P(Sn≤tn)P(M>n).

(19)

由于點距Zi(i=1,2,…,n)服從參數為iλ的指數分布, 因此由指數分布無記憶性及引理1中1)得

將式(20)和式(2)代入式(19)可得

P(N(t)=n,M>n)=e-n(n+1)λδ/2e-λ(t-nδ)+(1-e-λ(t-nδ)+)n,

(21)

從而對于n=1,2,…, ?t≥0, 由式(21)和引理1中1)得

易見, 式(22)包含了式(18)即n=0的情形, 所以式(22)對n=0,1,…都滿足.證畢.

5 矩母函數

下面給出SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}系統壽命T的矩母函數.

定理3設T～SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}, 則壽命T的矩母函數為

(23)

且在任意區間(-∞,a]上是一致收斂的, 其中0

證明: 由定義5可得

(24)

由于點距Zk(k=1,2,…)服從參數為kλ的指數分布, 因此當n=1時,

(25)

當n>1時,

(26)

由指數分布的無記憶性得

(27)

(28)

將式(27),(28)代入式(26)得

(29)

式(29)包含了式(25)即n=1的情形, 將式(29),(4)代入式(24)可得式(23).

e-(nλ-2t)(n-1)δ/2≤e-λ(n-2)(n-1)δ/2, 1-e-δ(nλ-t)<1.

而對?n≥2, 有

所以

由于壽命T的Laplace變換LT(t)和矩母函數φT(t)有以下關系:

LT(t)=φT(-t),

所以由定理3易得如下推論.

推論3壽命T的Laplace函數為

(30)

其中0

6 壽命的矩

定理3表明, 矩母函數φT(t)的級數形式在(-∞,a]上一致收斂, 由于矩母函數的存在域(-∞,a]包含0, 所以φT(t)在該存在域內的各階導數存在, 且T的各階矩都存在.

定理4設T～SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}, 則系統失效前平均壽命為

(31)

下面用3種方法證明式(31)成立.

(32)

設A>0, 式(32)等號右邊可寫成

(33)

0

(34)

ln|f(x)|=xln(1-e-λ(t-xδ)),

(35)

對式(35)兩邊求導可得

下面討論函數g(t)?e-λte-n(n-1)λδ/2(1-e-λ(t-nδ)+)n在[0,A]上的連續性.對于

首先, 在t∈(-∞,nδ)和t∈(nδ,∞)內,g(t)各段都是由初等函數構成的, 所以在各自區間內g(t)連續; 然后, 考慮點t=nδ處的連續性, 對于?n≥1, 由于

即g(t)在點t=nδ處連續, 因此g(t)在t∈(-∞,∞)上連續.

(36)

對于n=0,1,…, 有

(37)

將式(37)代入式(36), 再代入式(33),(32)得

(38)

將其代入式(38)得

2) 取條件法.由雙期望公式得

易知

(40)

當n>1時,

給定條件Zi≥δ(i=1,2,…,n-1)下點距Zi的條件期望為

則

于是

(41)

將式(41),(40),(4)代入式(39)得

由式(5)和式(1)易知,

則

(43)

則式(43)等價于

(44)

(在式(44)等號右邊級數也收斂的條件下).再由式(3),(4)易知

(45)

從而由式(43)～(45)易得

3) 矩母函數法.對式(23)表示的矩母函數φT(t)關于t逐項求導, 可得

則

由于φT(t)的存在域包含0, 所以φT(t)在0點處可導, 于是

這與式(42)等價.證畢.

由推論1和引理2易得平均壽命關于失效參數的單調性.

推論4設T～SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}, 則ET關于δ單調遞減.

實際上, 設0<δ1<δ2, 則對?k=1,2,…, 有

其中k=1時等號成立.因此, 由定理4也可立得推論4.

下面討論壽命T的任意階矩.

推論5設T～SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}, 則壽命T的r階矩為

(46)

|tr-1e-[n(n-1)δ+2t]λ/2|≤Ar-1e-n(n-1)δλ/2,

(47)

(48)

所以

將式(50)代入式(49)得

所以

又由于

證畢.

易知, 當r=1時, 式(46)可約簡為

(51)

式(51)與式(31)一致.

7 實 例

本文結合SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}模型的構造, 給出了該模型系統的可靠度、 沖擊度、 平均壽命等可靠性指標. 下面給出該模型的一個應用實例.

癌癥是一種常見的慢性病, 一般由內源因素導致基因損傷, 使早期癌細胞生長并侵害正常細胞, 最終導致癌癥. Chen等[19]發現了另一種引發癌癥細胞的細胞機制——細胞分裂速度, 即細胞增殖速度過快會導致細胞癌變. 假設細胞增殖按Yule-Furry過程進行分裂,Sn為細胞第n次分裂的時刻,Zn表示細胞第(n-1)次與第n次分裂的時間間隔, 常數δ為正常細胞分裂周期所需的最小時間.當首次存在某個n, 使得Zn<δ(即該細胞分裂的第n個時間間隔小于δ)時細胞癌變.在細胞分裂過程中有許多酶參與, 而內部因素會影響酶活性, 酶活性越強, 細胞分裂速度越快.假設酶的活性為α(α>0), 則細胞分裂速率λ=f(α), 其中f(α)是單調遞增函數, 設T表示直到癌變為止細胞的壽命, 則細胞壽命T服從一個Yule-Furry經典δ沖擊模型, 由定理4知該細胞的平均壽命ET為

下面數值模擬f(α)=α時細胞的平均壽命.本文對酶的活性α和時間δ取幾個特殊值觀察平均壽命ET的變化情況, 結果分別如圖1和表1所示.由圖1和表1可見,ET關于參數α和δ都單調遞減.說明細胞分裂中參與的酶活性越強, 細胞分裂周期所需的時間越長, 細胞分裂速度越快, 越容易癌變.

表1 參數α和δ取特殊值時ET的值

圖1 ET關于參數α和δ的變化趨勢Fig.1 Changing trend of ET with parameters α and δ

下面對Poisson經典δ沖擊模型(SM{[HPP(0,λ)],D(δ)})與Yule-Furry經典δ沖擊模型的壽命性質進行比較, 結果列于表2. 由表2可見, 這兩類模型的平均壽命都關于失效參數δ單調遞減, Poisson經典δ沖擊模型的存活概率與沖擊到達率λ無關, 而Yule-Furry經典δ沖擊模型中, 沖擊到達率是線性變化的, 所以其壽命指標均與沖擊到達率有關.

表2 Poisson經典δ沖擊模型與Yule-Furry經典δ沖擊模型的壽命指標

綜上所述, 本文研究了沖擊參數為(1,λ)的Yule-Furry經典δ沖擊模型, 分別用取條件法、 概率法、 矩母函數法給出了系統可靠度、 平均壽命和矩母函數的顯式表達式, 驗證了可靠度和平均壽命關于失效參數δ單調遞減的性質, 并證明了壽命的任意矩均存在且可以用級數形式顯式表示. 最后, 將該模型的平均壽命應用于癌細胞的病例研究中, 發現酶的活性與細胞的平均壽命成反比關系, 即細胞分裂過程中參與酶的活性越強, 細胞的平均壽命越短, 導致該細胞癌變.