含大范圍參數四維混沌系統的吸引子共存

顏閩秀， 朱君洋

沈陽化工大學信息工程學院，遼寧沈陽 110142

隨著時間的推移，混沌系統得到了更深入的研究和發展.混沌系統具有遍歷性、偽隨機性，以及對初始條件的敏感性等特點，因此在隨機數發生器［1-2］、圖像加密與隱藏［3-5］，以及保密通信［6-8］等領域都得到廣泛應用.與此同時，人們對組成簡單、動力學特性復雜、偽隨機性更高的混沌系統的需求日漸增加，因此，具有多種吸引子共存和超大范圍參數混沌的系統得到了研究人員的廣泛關注.

大范圍參數混沌指混沌系統在較大參數的改變下，依然能夠保持混沌狀態.這種現象能夠避免混沌系統在實際應用中因干擾導致參數改變，進而引起混沌狀態改變，這極有利于混沌的應用.徐昌彪等［9］提出的基于Lorenz 系統的三維（threedimension， 3D）混沌系統，雖然構成簡單，仍能在參數超大范圍變化時保持混沌.張澤峰等［10］構建了一個五維保守超混沌系統，在保持Hamilton能量保守的同時，打破了系統的Casimir 能量保守，該系統在參數Π2處于［0， 1 600］變化時，仍始終處于超混沌狀態.XIAN 等［11］提出了一個大范圍參數三維連續混沌系統，并通過拓撲馬蹄驗證其混沌性.HUANG 等［12］設計了一種離散憶阻混沌映射，并通過數學證明新映射在一定條件下，可以處于無限寬范圍參數混沌.

近年來，吸引子共存現象作為混沌系統的熱點備受關注.吸引子共存指固定系統參數并改變系統初始值時，系統會隨著不同初值進入不同軌跡，產生多種吸引子存在的現象.當一個混沌系統具有吸引子共存時，表明該混沌系統可能存在復雜的動力學特性.顏閩秀等［13］將雙曲正切函數引入三維混沌系統，使系統出現數量可調節的吸引子共存.張貴重等［14］利用磁控憶阻器構建了一個五維憶阻混沌系統，并通過改變憶阻初始條件實現無窮多共存吸引子的超級多穩定.秦銘宏等［15］改變初始值，觀察到共存的無窮多形態各異的吸引子.曹可等［16］利用磁控憶阻器作為負反饋，構造了一個新的四維（four-dimension， 4D）憶阻混沌系統，該系統在不同初始條件和參數下，有多種吸引子共存.盡管已有針對吸引子共存的混沌系統的研究，但對于同時具有大范圍參數的混沌系統報道仍然較少，而使用參數控制吸引子在相空間中縮放的就更為少見，這些現象都表明混沌系統具有復雜特性.因此，研究此類混沌系統具有重要的現實意義.

本研究提出了一個改進的四維混沌系統，并分析該系統的動力學行為，通過改變系統的初值，研究新系統的吸引子共存現象；又通過調整系統參數，研究了參數對吸引子在相空間中的縮放控制作用.對新系統設計偏移升壓控制器［17］，證明系統在實際應用中有較大潛力.最后，使用美國國家標準與技術委員會（National Institute of Standards and Technology， NIST）發布的軟件包對新系統進行NIST測試［18］，驗證了新系統具有良好的偽隨機性，在圖像加密與保密通信中有應用價值.

1 新四維混沌系統

YANG等［19］提出的三維混沌系統為

其中，x、y和z為狀態變量；a、b和c為系統參數；、?和?為狀態變量對時間的導數.

該系統屬于Lorenz 和Chen 系統的中間過渡態.本研究基于此系統提出新的四維混沌系統，為

其中，w和k分別為新增的狀態變量和系統參數；w?為w對時間的導數，k= 0.1 × 10-n-m× 10-2-n，n= 0， 1，…， ∞，m= 0， 1， 2， …， 8，且一直循環，每當m由8變為0時，令n=n+ 1，達到的效果為k從0.1 開始遞減，即k =0.1，0.09，0.08，…，0.01，0.009，0.008，…，0.001，0.0009，…，最后無限趨近于0，即k∈（0， 0.1］.系統（2）中的系統參數與系統（1）中的參數均不相同.當a= 1，b= 3，c= 2，k= 0， 初值為(x0，y0，z0，w0)=(2，1，2.5，1)時，系統（2）吸引子如圖1.

圖1 新混沌系統（2）的吸引子圖 （a）x-y相圖； （b）x-z相圖； （c）x-w相圖； （d）y-z相圖Fig.1 Attractor diagram of the new chaotic system (2). (a) x-y phase diagram, (b) x-z phase diagram, (c) x-w phase diagram and(d) y-z phase diagram.

2 基本動力學特性

2.1 Lyapunov指數和分維數

當a= 1，b= 3，k= 0，系統初值（x0，y0，z0，w0） = （2， 1， 2.5， 1）時，計算得到新系統的李雅普諾夫（Lyapunov）指數為L1= 0.155，L2= 0，L3=-2.002，L4= -2.154，這4個Lyapunov指數的數值符合(+，0，-，-)的規律，證明新系統是一個四維混沌系統.這4 個Lyapunov 指數之和LSE＜ 0，說明新系統為耗散系統.此時，Lyapunov維數為

其中，j滿足且

由式（3）可得DL= 2.078.由于2 ＜DL＜ 3，證明系統（2）為混沌系統.

2.2 對稱性和耗散性

系統（2）在（x，y，z，w）坐標變換到（-x， -y，z，w）坐標時，狀態方程保持不變，說明系統（2）關于z-w平面對稱.

系統（2）的耗散性公式為

因此，當系統參數a= 1，b= 3，c= 2，k= 0時，有-(a+b) +k＜0，表明該系統為耗散系統.

2.3 平衡點分析

計算系統的平衡點，令式（2）左邊都為0，即

當a= 1，b= 3，c= 2，k= 0，系統初值(x0，y0，z0，w0)=(2，1，2.5，1)時，系統的平衡點為P1（0， 0， 0， 0）、P2（4， -2， -2， 2）和P3（4， 2，2， 2）.新系統的Jacobian矩陣為

當平衡點為P1時，求得特征值λ1= 1，λ2=-1，λ3=λ4=-2，可見4 個根都為實數，且λ1＞0，λ2、λ3和λ4都小于0，說明平衡點P1為指標為1的鞍點，該鞍點用來連接渦卷與渦卷之間的鍵帶.

當平衡點為P2時，求得特征值λ1= 1.629 +2.007i，λ2= 1.629 - 2.007i，λ3= - 3.629 +2.189i，λ4= - 3.629 - 2.189i， 對應的實部Re(λ1) ＞0、 Re(λ2) ＞0、 Re(λ3)＜0且Re(λ4) ＜0，說明平衡點P2為指標為2的鞍焦平衡點，用來生成渦卷.當平衡點為P3時，求得特征值λ1= 1.43 +2.325i，λ2= 1.43 - 2.325i，λ3= -3.43 + 2.325i，λ4= - 3.43 - 2.325i，可見平衡點P2為指標為2 的鞍焦平衡點，也是用來生成渦卷的.由圖1 可見，新系統依據平衡點的類型生成了2 個渦卷和1 個連接它們的鍵帶.

2.4 0-1測試

使用0-1 測試［20］進一步驗證新系統的混沌性.當a= 4.5，b= 4.9，c= 2，k= 0，系統初值為（x0，y0，z0，w0） = （2， 1， 2.5， 1）時，（p，s）平面如圖2（a）.其中，p和s分別為關于l的函數

圖2 0-1測試的(p，s)圖 （a）a = 4.5， b = 4.9， c = 2，k = 0；（b）a = 1，b = 3，c = 2，k = 0Fig.2 (p, s) diagram of 0-1 test. (a) a = 4.5, b = 4.9, c = 2,k = 0 and (b) a = 1, b = 3, c = 2, k = 0.

其中，?(m) 為可觀測數據集；θ(m)=mδ+為任意常數，δ∈R+.

由圖2（a）可清楚地看到，系統現狀態為周期或擬周期，計算得到此時Lyapunov 指數為L1= 0，L2= -0.195，L3= -4.494，L4= -4.710，能夠證明系統處于周期狀態.而后修改系統參數，保持初值不變，當a= 1，b= 3，c= 2，k= 0時，系統處于混沌狀態，系統的0-1測試結果如圖2（b），符合混沌狀態時的軌跡.

3 參數對新系統的影響

3.1 大范圍混沌現象

改變系統參數會影響整個系統的混沌特性，通過對分岔圖和Lyapunov指數圖的分析，能夠深入了解混沌系統各個狀態下的不同性質.

當a= 1，c= 2，k= 0，系統初值（x0，y0，z0，w0）=（2， 1， 2.5， 1）時， 可得改變b的值（b∈(1，6)）時系統的分岔圖如圖3.由圖3 可見，當b∈(2.1，4.8)時，分岔圖上面的點是大量且密集的，這時新系統處于混沌狀態.而當b＞4.8后，系統出現了明顯的反倍周期分岔現象.

圖3 參數b改變時系統（2）的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of system (2) when changing parameter b.

在不改變系統參數和初值的情況下，令b∈(1，6)，得到Lyapunov指數圖如圖4（a）.由圖4（a）可見，當b= 3 時，系統處于混沌狀態.當b∈(2.1，4.8) 時，系統的Lyapunov 指數符合(+，0，-，-)，說明此范圍內系統（2）處于混沌狀態，與分岔圖分析一致.隨著系統參數b的增大，L3和L4都在逐漸減小，這意味著Lyapunov指數和將會越來越小.

圖4 （a）b ∈（1， 6）和（b）c ∈（0， 1 000）條件下的Lyapunov指數圖Fig.4 Lyapunov index chart on (a) b ∈ (1, 6) and(b) c ∈ (0, 1 000).

當a= 1，b= 3，k= 0，系統初值(x0，y0，z0，w0)=(2， 1， 2.5， 1)時， 令c∈ （0， 1 000），得到Lyapunov指數圖如4（b）.此時的Lyapunov指數一直保持L1＞0、L2= 0、L3＜ 0和L4＜ 0，且L1和L2的圖像與L3和L4的圖像關于c= -1對稱，表明系統（2）具有大范圍混沌特性.實際上當c= 1 × 104時，系統（2）的Lyapunov 指數L1＞ 0、L2= 0、L3＜ 0、L4＜ 0，系統仍處于混沌狀態，因此可說新系統存在大范圍參數混沌特性.

3.2 共存吸引子

固定系統參數，通過改變系統初值，則會出現不同獨立的吸引子屬于吸引子共存.令系統參數保持不變，控制改變系統初值來觀察吸引子共存，得到系統的相圖如表1和圖5.

圖5 參數固定不同系統初值的x-w平面相圖 （a）（x0， y0， z0， w0） = （2， 1， 2.5， 1）， （a， b， c， k）=（2， 4.9， 2， 0）； （b）（x0， y0，z0， w0） = （-2， -1， -2.5， 1），（a， b， c， k） = （2， 4.9， 2， 0）； （c）（x0， y0， z0， w0） = （-1， 1， 3， 1），（a， b， c， k） = （2， 5.8， 2， 0）；（d）（x0， y0， z0， w0） = （2， 1， 3， 1），（a， b， c， k） = （2， 5.8， 2， 0）； （e）（x0， y0， z0， w0） = （-2， 1， 2.5， 1）， （a， b， c， k） = （2， 3， 2，0）； （f）（x0， y0， z0， w0） = （2， 1， 2.5， 1）， （a， b， c， k） = （2， 3， 2， 0）Fig.5 x-w plane phase diagram with fixed parameters for different initial values of the system. (a) (x0, y0, z0, w0) = (2, 1, 2.5, 1), (a, b, c,k) = (2, 4.9, 2, 0), (b) (x0, y0, z0, w0) = (-2, -1, -2.5, 1), (a, b, c, k) = (2, 4.9, 2, 0), (c) (x0, y0, z0, w0) = (-1, 1, 3, 1), (a, b, c, k) = (2, 5.8, 2,0), (d) (x0, y0, z0, w0) = (2, 1, 3, 1), (a, b, c, k) = (2, 5.8, 2, 0), (e) (x0, y0, z0, w0) = (-2, 1, 2.5, 1), (a, b, c, k) = (2, 3, 2, 0), and (f) (x0, y0, z0,w0) = (2, 1, 2.5, 1) (a, b, c, k) = (2, 3, 2, 0).

3.3 系統伸縮系數k

不再令k= 0，而是按照k= 0.1 × 10-n-m×10-2-n的規則使k依次遞減，選取有代表性的k值所對應的相圖及Poincare截面圖，觀察隨著k的減小，吸引子在相空間中的變化.圖6 是k為0.1、0.08、0.06、0.04、0.02 和0.008 時，系統（2）的y-z-w三維相圖和z-w二維相圖.由圖6 可見，吸引子的體積與k值呈正相關.

圖6 系統參數k減小時對應的（a）y-z-w三維相圖和（b） z-w二維相圖Fig.6 (a) The 3D phase diagram of y-z-w and (b) the phase diagram of z-w corresponding to the decrease of system parameter k.

為驗證該現象并非偶然，又選取x-y-z三維相圖（圖7（a））和x-y二維相圖（圖7（b）），觀察不同k值時相圖的變化.通過圖7（a）和（b）能夠發現，吸引子的體積隨著k值的減小緩慢減小，從二維相圖中能夠明顯看到，不同的相圖通過顏色的區分已經發生了分層.為使驗證更具說服力，給出了當z= 4.5時的Poincare截面圖，如圖7（c）.由圖7（c）可觀測到，截面的圖像隨著k值的減小而縮小，說明吸引子的體積在變小.

圖7 系統參數k減小時對應的相圖以及Poincare截面圖（a）x-y-z三維相圖； （b）x-y二維相圖； （c）z = 4.5時的Poincare截面圖Fig.7 Phase diagram and Poincare cross-sectional view corresponding to the reduction of system parameter k. (a) The 3D phase diagram of x-y-z, (b) the phase diagram of x-y , and(c) Poincare cross-sectional view at z = 4.5.

隨著k值的減小，發現吸引子體積并不會無限收縮，而是縮小至某一值后就保持不變.圖8 為k減小時對應的y-z-w面和z-w面相圖，圖9 為k減小時對應的x-y-z面和x-y面相圖以及z= 4.5時的Poincare截面圖.由圖8和圖9（a）、（b）可見，選取不同的三維相圖和二維相圖，當k值達到0.001 時，吸引子體積就不再發生改變，由圖8（b）可清楚地看到，當k= 1 × 10-3變換到k= 1 × 10-6時，吸引子相圖依然沒有縮小，而是保持不變，僅相圖的運行軌跡不同，這種現象在圖9（b）中也能清晰地觀察到.另外，通過觀察圖9（c）中的Poincare 截面圖，也能夠看出相體積沒有發生縮小.

圖8 系統參數k減小時對應的（a） y-z-w三維相圖和（b） z-w二維相圖Fig.8 (a) The 3D phase diagram of y-z-w and (b) the phase diagram of z-w corresponding to the decrease of system parameter k.

3.4 系統復雜度

復雜度分析能夠反映混沌系統的結構復雜度，在通信領域中系統復雜度與通信安全密切相關.本研究使用譜熵（spectral entropy， SE）對新四維混沌系統進行分析.

令系統初值（x0，y0，z0，w0）=（2， 1， 2.5， 1），參數a= 1，c= 3，k= 0 時，圖10 給出了系統在b∈ ［1， 7］時的譜熵復雜度（E）.由圖10 可見，SE的最大值（Emax）為0.8.對比本研究提出的系統（2）與近些年提出的5個較為先進的混沌系統［21-25］的復雜度，結果如表2.其中，文獻［21］與文獻［23］中的混沌系統都具有吸引子共存現象；文獻［22］中的混沌系統有聲學方面的應用；文獻［24］與文獻［25］中的混沌系統分別引入了三角函數和憶阻器.由表2可見，系統（2）的四維混沌系統的復雜度最高，在應用中有更大優勢.

表2 不同混沌系統的復雜度對比Table 2 SE complexity comparison

圖10 隨參數b變化的SE復雜度Fig. 10 SE complexity varying with parameter b.

4 偏移升壓

近些年來，人們越來越重視混沌系統領域的應用，發現了一類能夠通過控制混沌系統的狀態變量來實現偏移升壓，以此來改變自身信號的極性的系統.這類系統可將雙極性信號改變為正的單極信號和負的單極信號，該類系統在工程應用時較傳統混沌系統更加有利，能夠通過改變信號的振幅來減少實際應用中器件的使用.本研究對系統（2）的狀態變量y設置控制器進行控制.設n為偏移升壓的控制器，將原狀態變量y改為y+n，則新系統的狀態方程（2）變為

令a= 1，b= 3，c= 2，k= 0，系統初值（x0，y0，z0，w0）= （2， 1， 2.5， 1），通過控制n的大小來觀察信號的變化，結果如圖11 所示.由圖11 可見，當n= 0時，x-y平面的相圖在中間位置（黑色），當n= 6 時，x-y平面的相圖下移（紅色），而當n=-6時，x-y平面的相圖上移（藍色）.從圖11（b）可見，原始信號y為雙極性，在控制n的改變后，信號y出現了正單極性和負單極性.

圖11 改變控制器n的相圖偏移變化及y信號極性改變（a）相圖偏移變化； （b）y信號的時序圖變化Fig.11 The phase diagram offset change and the polarity of the y signal change change the controller n. (a) The phase diagram offset varies and (b) the timing diagram of the y signal changes.

以上結果說明，引入偏移升壓控制器，有利于新系統更好地適應實際應用.

5 NIST測試

美國國家標準與技術研究所制定的隨機序列測試標準SP800-22 被稱為NIST 測試，共包括15 項測試，若通過這些測試，則可說明混沌序列具有良好的偽隨機性.測試結果均使用P值表示，P值越大越好，顯著性指標α∈ ［0.001， 0.01］，本研究取α= 0.01.將P值與設置的α做對比，若P＞α則認為通過該項測試，反之，則不通過.按照NIST 測試的規定，被測序列的長度N要保證在1 × 103～1 × 107，本研究取N= 1 × 106，測試結果見表3.

表3 系統（2）的NIST測試結果Table 3 NIST test results for system （2）

由表3 可見，在系統（2）的NIST 測試結果中，P值全部大于顯著性指標0.01，因此可以說明新系統（2）混沌序列有著良好偽隨機性.

結 語

基于YANG 和CHENG 的三維混沌系統［19］提出一個新的四維混沌系統.對新系統進行對稱性、耗散度、分維數、0-1 測試、平衡點、分岔圖和Lyapunov指數的動力學分析，驗證了新系統為四維混沌系統.通過觀察參數c對系統的影響，驗證了新系統具有超大范圍參數的混沌特性，且當系統參數和初值發生改變時，出現吸引子共存的現象.觀察新系統的相圖和Poincare 截面圖發現，通過改變伸縮參數k，能夠控制混沌吸引子在相空間的大小，且當k趨于一定值后，吸引子的大小不再發生變化.譜熵計算結果說明系統具有較高的復雜度.設計新系統的偏置升壓控制器，表明新系統具有工程應用價值.對新系統進行NIST 測試，結果表明，新系統具有良好的為隨機性.本研究提出的新四維混沌系統在如偽隨機發射器、圖像加密等實際工程中的應用具有較大的潛在價值.