考慮蠕變三階段的哈氏合金X 蠕變-疲勞裂紋擴展模擬

張俊紅 ，李哲華，林杰威，于洋洋，戴胡偉

(1.天津大學先進內燃動力全國重點實驗室，天津 300354；2.天津仁愛學院機械工程學院，天津 301636)

為提升工作效率和推重比，航空發動機工作溫度以每年19 ℃的速率迅速上升，這給航空發動機熱端部件的可靠性提出了越來越高的要求.燃燒室是航空發動機的關鍵熱端部件，服役中啟停工況下的非均勻溫度場載荷會引起熱應力，由此產生的疲勞損傷以及穩態工況下熱應力長期保持引起的蠕變損傷的共同作用是引起燃燒室開裂失效的主要原因.哈氏合金X 是一種固溶強化的鎳基合金，在高溫下強度高且具有優異的加工性能以及抗蠕變、抗氧化和抗腐蝕性能[1-2]，被廣泛用作民航發動機燃燒室基體材料.

為探索蠕變-疲勞作用下的哈氏合金X 裂紋擴展行為與損傷機理，國內外學者開展了大量實驗研究.Hour 等[3]觀察到在650 ℃下，哈氏合金X 的疲勞和1 min 保載的蠕變-疲勞裂紋均表現為穿晶模式增長；Lee 等[4]通過對拉伸試樣的斷裂面的評估，確定了哈氏合金X 在低循環疲勞下，隨著溫度和保載時間的增加，斷裂模式逐漸從穿晶斷裂轉向沿晶斷裂，導致壽命縮短.Yoon 等[5]觀察到760 ℃和870 ℃下哈氏合金X 的疲勞裂紋開始為穿晶模式，后以穿晶和沿晶混合模式生長.

可通過實驗方法對不同載荷條件下的宏觀裂紋擴展速率及材料微觀小裂紋、孔洞微觀演變行為進行測試表征，但是在裂紋擴展過程中，疲勞載荷、蠕變載荷對裂紋擴展過程中損傷累積的貢獻未得到量化.為此，學者們提出了結合有限元和損傷力學的裂紋擴展過程數值計算方法.Wen 等[6]提出了考慮材料中孔洞的聚集和微裂紋發展的蠕變損傷模型，并使用單元失效技術在316 H 不銹鋼的裂紋擴展模擬中得到驗證；Wu 等[7]使用內聚力模型模擬了21-6-9 奧氏體不銹鋼二維平面的裂紋擴展；Ahmad 等[8]基于擴展有限單元法建立了蠕變斷裂起始和裂紋擴展模型.

建立準確的損傷模型是進行裂紋擴展有限元模擬的關鍵.Hosseini 等[9]提出了一種考慮應力變化影響的蠕變損傷模型，并應用于1CrMoV 的裂紋擴展模擬中，但該模型需要擬合的參數過多，可能導致誤差較大.Haque 等[10]使用SIN-HYPERBOLIC 模型模擬了648.9～982.2 ℃(1 200～1 800 ℉)下哈氏合金X的蠕變裂紋損傷累積過程，但該模型中參數φ 的擬合受應力影響，實際應用存在局限性.Liu 等[11]對哈氏合金X 進行了816 ℃下的蠕變-疲勞裂紋擴展模擬，并量化了蠕變、疲勞和相互作用的損傷貢獻，但其蠕變損傷公式僅考慮了蠕變第Ⅱ階段.Tang 等[12]對G115 的蠕變-疲勞裂紋擴展模擬以及Lai 等[13]對蠕變裂紋尖端應力場估算同樣僅考慮了蠕變第Ⅱ階段.Jing 等[14]對P91 以及Wang 等[15]對UNS N10003的裂紋擴展模擬忽略了蠕變第Ⅰ階段.

從上述研究來看，現有的研究中主要考慮蠕變第Ⅱ階段對蠕變-疲勞損傷的影響，但有研究表明，鎳基合金的蠕變第Ⅲ階段占比通常較大[16]，并且在不同溫度、載荷條件下，蠕變各階段的占比也會有所不同，蠕變各階段對損傷累積的貢獻有待進一步探討.本文推導了考慮蠕變3 個階段的蠕變本構模型，進行了哈氏合金X 在650 ℃蠕變-疲勞裂紋擴展過程數值計算，分析了純蠕變條件下蠕變不同階段對裂紋擴展的影響，量化了蠕變-疲勞交互作用下蠕變、疲勞和交互損傷占比，并討論了蠕變-疲勞交互作用下載荷幅值、保載時間等因素對損傷占比的影響.本研究對于指導服役條件下的燃燒室疲勞強度設計具有較大的工程意義，對于揭示哈氏合金X 在蠕變-疲勞載荷交互作用下的損傷機理具有較大的科學意義.

1 蠕變-疲勞損傷模型

1.1 蠕變本構模型

如圖1[17]所示，材料的蠕變過程可分為初始蠕變階段(第Ⅰ階段)、穩定蠕變階段(第Ⅱ階段)和加速蠕變階段(第Ⅲ階段).蠕變第Ⅰ階段本構模型可以用應變硬化定律[18]來表示，公式定義為

圖1 典型金屬材料蠕變曲線Fig.1 Creep curve of typical metal materials

式中：A1、n1和p 為材料參數；εc,pri和εc,tol分別為第Ⅰ階段蠕變應變和總蠕變應變；σeq為等效應力.

工程上主要考慮蠕變第Ⅱ階段對損傷累積的影響，可通過諾頓冪律蠕變模型描述，其公式為

式中：εc,sec為第Ⅱ階段蠕變應變；A 和n 為材料參數.

結合式(1)和(2)，得到考慮了蠕變第Ⅰ和第Ⅱ階段的蠕變本構模型，具體如下：

式中：εc,ij為蠕變應變張量；Sij為偏應力張量.

Liu 等[19]提出了考慮到蠕變第Ⅱ和第Ⅲ階段的多軸蠕變本構模型，該模型基于微觀力學，可以顯著改善損傷的定位和網格的獨立性，具體如下：

式中：σ1為最大主應力；ωc為蠕變損傷.式(4)中的(σ1/σeq)2項會導致模擬過程中裂紋尖端的應力過度松弛，Wen 等[6]考慮到空腔增長和微裂縫的相互作用，提出了一個新的蠕變構成方程以解決此問題，定義如下：

結合式(3)和(5)，得到考慮了蠕變3 個階段的蠕變本構模型，表達式如下：

本文分別使用考慮第Ⅱ階段的蠕變本構(式(2))，考慮第Ⅰ、第Ⅱ階段的蠕變本構(式(3))，考慮第Ⅱ、第Ⅲ階段的蠕變本構(式(4))，考慮第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ階段蠕變本構(式(6))描述蠕變過程，對比分析蠕變不同階段對哈氏合金X 蠕變-疲勞裂紋擴展過程中損傷累積的影響.

1.2 蠕變損傷模型

本文使用延性耗竭模型計算蠕變損傷.蠕變延性耗竭模型認為，當材料的累積應變達到該狀態下的蠕變延性時材料失效[20].在本研究中，蠕變損傷率通過蠕變應變率和蠕變延性計算，定義如下：

式中：εf為單軸蠕變延性；σm為靜水應力.

通過積分得到蠕變損傷計算式為

式中th為保載時間.

1.3 疲勞損傷模型

基于Lemaitre 等[21]的損傷方程和Ostergren[22]的凈拉伸滯后能方程，得到低循環疲勞中的損傷累積模型為

式中：ωf為疲勞損傷；Nf為失效循環數；σmax和Δεp分別為每加載循環中的最大應力和塑性應變范圍；q、C1和β 為材料參數.

考慮到材料循環硬化或軟化的影響，塑性循環應變范圍是由循環應力-應變關系得出，即

式中：σΔ 和σmin分別為應力范圍和最小應力；K′和n′為從低循環疲勞試驗中獲得的材料參數.

此外，Lemaitre[23]提出了一個三軸系數來描述多軸應力對疲勞損傷累積的重要影響，定義為

式中ν 是泊松比.在單軸加載情況下Rν= 1.

因此，考慮到應力三軸性的影響，低循環疲勞損傷累積公式表示為

1.4 蠕變-疲勞交互損傷模型

裂紋擴展在蠕變-疲勞交互載荷作用下，由于其蠕變孔洞和疲勞裂紋的相互促進作用，將純蠕變損傷和純疲勞損傷線性相加不足以表示真實的蠕變-疲勞交互損傷情況.本研究使用修正的Skelton 等[24]的蠕變損傷和疲勞損傷非線性疊加總損傷方程描述蠕變-疲勞的交互，具體如下：

式中ω為總損傷值.

2 有限元仿真

2.1 有限元模型

根據《ASTM E2760-19》[25]，本研究使用W＝30 mm、初始裂紋長度a0＝10.5 mm 的CT 試樣進行計算，具體的幾何圖形和尺寸如圖2 所示.為了減少計算時間、簡化模型，考慮載荷及幾何的對稱性，使用1/4 的CT 試樣三維模型進行計算模擬.

圖2 CT試樣的幾何形狀與尺寸(單位：mm)Fig.2 Geometry and dimensions of the CT specimen used for simulation(unit：mm)

在裂紋尖端部位使用尺寸為100μm×100μm 的細化網格，其他區域使用較大網格，并用梯形單元連接過渡；使用八節點三維減縮積分單元(C3D8R)進行網格劃分，如圖3 所示，模型網格總數為21 180.在裂紋擴展平面上使用對稱邊界條件約束；在垂直于厚度方向和裂紋擴展平面的一面上使用對稱邊界條件.在CT 試樣孔中心設置了一個參考點，通過多點約束(MPC)將其參考點與孔的內表面一側進行耦合，對參考點施加載荷，模擬實際裂紋增長實驗中銷軸對CT 試樣的加載過程.對參考點施加的循環載荷如圖4 所示，加載和卸載時間均為固定的0.5 s.定義梯形波的載荷比為

圖3 CT試樣有限元模型Fig.3 Finite element model of CT specimen

圖4 循環加載示意Fig.4 Schematic of the applied cyclic loading

式中Pmin和Pmax分別為最小載荷和最大載荷.

2.2 數值模擬方法以及參數

本研究中裂紋增長模擬由ABAQUS 實現，使用CREEP 子程序定義蠕變變形本構關系，通過基于Fortran 語言的二次開發USDFLD 子程序計算蠕變損傷、疲勞損傷和蠕變-疲勞交互損傷.在有限元模擬加載循環過程中，對計算域中每個單元損傷、循環損傷值進行累積計算，當累積損傷達到1 時，認為該單元失效，單元所處位置產生裂紋，并通過控制場變量刪除該單元，描述前序加載循環中裂紋演變對下一加載循環中應力及損傷累積的影響.所刪除單元區域即為裂紋擴展區域.

本文研究對象為哈氏合金X，化學成分見表1.根據《ISO 6892-1：2016》進行650 ℃下的單軸拉伸試驗，得到的哈氏合金X 真實應力-應變曲線如圖5所示，蠕變參數A、n、A1、n1和p 由哈氏合金X 在650 ℃下的單軸蠕變試驗[26-28]確定.疲勞參數從哈氏合金X 在相同溫度下的供貨廠商提供的低周疲勞試驗中獲得，所有損傷模型的參數如表2 所示.

表1 哈氏合金X化學成分Tab.1 Chemical composition of the Hastelloy X

表2 損傷模型材料參數Tab.2 Material parameters for the damage models

圖5 哈氏合金X 650 ℃下的真實應力-應變曲線Fig.5 True stress-strain curve of Hastelloy X at 650 ℃

2.3 斷裂力學參數

針對純蠕變、純疲勞和蠕變-疲勞載荷條件，使用與時間無關和與時間有關的兩類斷裂力學參數進行分析.由線性彈性理論定義的應力強度因子K 包含了試樣的應力和幾何信息，純疲勞裂紋擴展結果一般用裂紋尖端應力強度因子范圍ΔK 來表示.在純蠕變和蠕變-疲勞條件下，ΔK 可用于蠕變脆性材料.根據《ASTM E2760-19》[25]標準，K 的計算方法如下：

式中：B、W 和a 分別為CT 試樣的厚度、寬度和裂紋長度；P 是施加在CT 試樣上的載荷.對于蠕變韌性材料，一般使用隨時間變化的參數Ct,avg，即

式中：ΔVc為每個載荷周期中保載時間內的蠕變載荷位移；E 和E'分別是彈性模量和有效彈性模量；ν 是泊松比.

3 結果與討論

3.1 有限元仿真的驗證

為了驗證所提出的本構模型、損傷模型和相應的材料參數的準確性，將哈氏合金X 在650 ℃時純蠕變、純疲勞和60 s 保載時間的蠕變-疲勞交互條件下的有限元分析結果和實驗結果[3,26]進行對比，da/dt-Kmax和da/dN-ΔK 的對比曲線如圖6 所示.實驗數據根據Paris-power 定律進行擬合，如圖6 中的實線所示，代表著裂紋穩定擴展階段.同樣，對于純蠕變和60 s 保持時間的裂紋穩定擴展實驗數據，使用式(23)進行擬合.

圖6 裂紋擴展速率模擬與實驗結果比較Fig.6 Comparison between simulation and experimental results of crack propagation rate

式中：f 為加載頻率；C'和m'為擬合參數.Kmax的值在R＝0.05 情況下非常接近ΔK.

圖6(a)顯示了純蠕變裂紋擴展的da/dt 和Kmax的關系，進行了4 種考慮蠕變不同階段的純蠕變模擬.由圖可知考慮蠕變所有階段的模擬結果與實驗數據最貼合，裂紋穩定擴展的數據點都在2 倍誤差帶范圍內，且模擬結果顯示了一個勾狀特征，這是應力松弛的結果[29-30].da/dt 的值最初很大，然后減少，之后隨著Kmax的增加而增加.Saxena[31]和Yokobori[32]對這一現象的解釋如下：高彈性應力最初導致裂紋尖端高速蠕變，隨著時間的積累，裂紋尖端應力的重新分布導致應力松弛，蠕變速度下降.同時，由于Kmax的增加和應力松弛隨時間的增加而減弱，裂紋的擴展速度加快.在裂紋擴展率的穩定增長階段，考慮蠕變所有階段的模擬結果和實驗結果的斜率基本相同，數值的大小也很接近.這表明本文第1 節中提到的本構模型(式(6))和損傷模型可以準確預測蠕變裂紋增長.

純疲勞裂紋擴展模擬結果和實驗結果對比如圖6(b)所示，兩者在裂紋穩定擴展階段的數值大小接近，趨勢相同.在進入裂紋穩定擴展階段之前da/dN值猛增，此時為裂紋萌生階段.整體上看，使用損傷累積模型能夠貼切地模擬疲勞裂紋擴展行為.圖6(c)為60 s 保載下的模擬和實驗結果對比，由于考慮三階段的純蠕變模擬結果最優，故使用本構模型式(6)進行蠕變-疲勞裂紋擴展模擬運算，模擬結果處于2 倍誤差帶內，且整體趨勢與實驗擬合線結果相符.

綜上所述，應用本文提出的考慮蠕變三階段的蠕變本構模型和損傷模型進行有限元模擬的結果與實驗結果具有良好的一致性，驗證了損傷公式、材料參數和模擬方法的可靠性，接下來將繼續使用它們進行裂紋擴展的研究分析.

3.2 蠕變階段對純蠕變裂紋擴展的影響

考慮蠕變不同階段的裂紋擴展模擬結果如圖7所示.圖7(a)展示了恒定載荷為5 kN、K0為33 MPa·m0.5下的純蠕變裂紋擴展模擬結果，整體裂紋擴展速度由慢至快分別為僅考慮蠕變第Ⅱ階段，考慮第Ⅰ和第Ⅱ階段，考慮第Ⅱ和第Ⅲ階段，考慮第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 3 個階段，這印證了蠕變第Ⅰ階段和第Ⅲ階段在圖1 中的斜率均大于蠕變第Ⅱ階段.隨著Kmax的增加，4 種情況的da/dt-Kmax斜率趨于一致，考慮第Ⅰ階段蠕變和其他條件一致，不考慮第Ⅰ階段蠕變的裂紋擴展速度越來越接近，說明隨著裂紋的生長，蠕變第Ⅰ階段對裂紋擴展速率的影響越來越小.考慮第Ⅲ階段的兩種情況比另兩種蠕變條件的整體速度更大，驗證了考慮哈氏合金X 的蠕變第Ⅲ階段的重要性.同時，從圖中可以觀察到，考慮到蠕變第Ⅲ階段的曲線勾狀特征更加明顯，這是因為包含蠕變第Ⅲ階段損傷公式中的指數函數項包含損傷項exp (ω3/2)，在加載初期由于應力集中，損傷增加較快，使得指數函數項變大、應變率變大，進而導致損傷率變快.圖7(b)和圖7(c)中恒定載荷為6 kN 和7 kN 的模擬結果規律也與此類似.當考慮蠕變第Ⅰ階段結果和其他條件不變，不考慮第Ⅰ階段的裂紋擴展速率非常接近時，第Ⅰ階段即可近似忽略.第Ⅲ階段同理.

圖7 不同載荷下4 種蠕變階段組合的純蠕變裂紋擴展模擬結果(650 ℃)Fig.7 Simulation results of pure creep crack propagation for four combinations of creep stages under different loads(650 ℃)

為了量化各蠕變階段對蠕變速率的影響，定義了一個無量綱變量δ，在相同Kmax值下，將考慮3 個蠕變階段的裂紋擴展速率定義為基準值，計算其與其他情況下的模擬結果之差相對基準值的比值，即

式中：vx為考慮蠕變x 階段的裂紋擴展速度；v123為考慮蠕變所有階段的裂紋擴展速度.通過分析δx可知考慮蠕變第x 階段相對考慮蠕變所有階段的預測速率差異.如圖8 所示，5 kN 載荷下，隨Kmax的增大，δ2從0.80 減小至0.63；δ12由0.73 減至0.52，后逐漸增大至0.61；δ23由0.08 增至0.23，后減小至0.01，預測差異由大到小順序為：考慮蠕變第Ⅱ階段，考慮蠕變第Ⅰ、Ⅱ階段，考慮蠕變第Ⅱ、Ⅲ階段.這說明蠕變第Ⅱ和Ⅲ階段為裂紋擴展模擬中的重要本構組成，由未考慮蠕變第Ⅲ階段的兩種模擬情況的預測差異的差距先增后減、最后趨于極小值0.02 可知，蠕變第Ⅰ階段的影響在裂紋擴展前期相對后期更大，這是由于裂紋擴展后期的應力更大，蠕變第Ⅰ階段在蠕變過程中對損傷貢獻的占比遠小于蠕變第Ⅱ和第Ⅲ階段的貢獻占比.同時可觀察到，裂紋擴展前期的各差異值的變化幅度均大于后期，故未考慮完整蠕變階段的裂紋擴展速率差異在裂紋擴展過程中是不斷變化的，且前期相對后期的變化更劇烈.

圖8 5 kN載荷下純蠕變裂紋擴展δx 與Kmax 關系Fig.8 δx versus Kmax for pure creep crack propagation under a load of 5 kN

式中n 為δx對應的Kmax的取值個數.圖9 為3 種載荷下模擬結果的2、12和23的對比.隨著載荷增大，2由0.67 減至0.64，說明在本研究載荷大小范圍內，考慮蠕變第Ⅱ階段的裂紋擴展模擬結果的準確性隨載荷增大略有提高；23由0.16 減小至0.07，這說明載荷越大，本構模型中考慮蠕變第Ⅱ和Ⅲ階段的模擬結果準確性越高；12由0.57 增至0.61，即考慮蠕變第Ⅰ、Ⅱ階段在小載荷情況下的準確性更大，載荷越大，蠕變第Ⅲ階段對預測結果的準確性更加不可忽略.故不同載荷大小下，考慮蠕變不同階段的預測差異不同，為了應對多種載荷情況，在本構方程中有必要考慮到蠕變所有階段.

圖9 純蠕變裂紋擴展x 與載荷的關系Fig.9x versus load for pure creep crack propagation

3.3 載荷幅值對蠕變-疲勞裂紋擴展的影響

由前述可知，損傷模型中考慮蠕變3 個階段對模擬結果的真實性和準確性有重要影響，故在接下來的蠕變-疲勞交互裂紋擴展模擬中將使用考慮所有蠕變階段的式(6)進行計算.

為了研究載荷大小對裂紋擴展產生的影響，對CT 試樣施加保載時間為60 s，載荷比為0.05，載荷大小分別為5 kN、6 kN、7 kN 的3 種載荷，模擬結果da/dN 與ΔK 關系、da/dt 與Ct,avg關系如圖10 所示.由圖10(a)可知，隨著載荷的增大，蠕變-疲勞裂紋擴展速度也增快，同時，隨著裂紋長度的增加，裂紋擴展速度也隨之增加，圖10(b)也表現出相同的特征.這是由于載荷以及裂紋長度的增加使得作為驅動力的等效應力也增大，導致裂紋擴展速度加快.3 種不同載荷大小模擬結果在裂紋穩定擴展階段，循環相關和時間相關的裂紋擴展速率與斷裂力學參數的關系在雙對數坐標圖中分別有大致相等的斜率，并且近似處于一條直線上，出現重疊現象，且隨裂紋生長長度的增加，重疊現象更加明顯.尤其是da/dt 與Ct,avg關系圖中的斜率重疊現象更加明顯，擬合該圖中各結果在裂紋穩定擴展階段的結果曲線，得到在雙對數坐標下的一元一次方程，方程的斜率按載荷由小到大依次為0.53、0.56 和0.56，3 個斜率大小非常接近，這說明其他條件固定時，這3 種載荷大小的裂紋擴展機理模式是類似的.同時也說明，不同載荷大小的Parispower 公式各系數值近似，可以通用，這簡化了多余的擬合步驟，有利于實際工程應用.

圖10 蠕變-疲勞裂紋擴展速率模擬結果Fig.10 Simulation results of creep-fatigue crack propagation rate

為了進一步分析，將蠕變、疲勞和蠕變-疲勞交互損傷量化，結果如圖11 所示.交互損傷的計算式為

圖11 3種載荷的蠕變、疲勞和蠕變-疲勞交互損傷Fig.11 Creep，fatigue，and creep-fatigue interaction damage for three load sizes

式中ωint為蠕變-疲勞交互損傷.3 種載荷情況的裂紋模擬結果中，蠕變損傷占總損傷的主要部分(大于50%)，其次是交互損傷(小于30%)，疲勞損傷最少(小于20%).隨著施加載荷的增大，裂紋生長長度達到6.5 mm 時，蠕變損傷從66%增長到78%，疲勞損傷和交互損傷減小，分別從10%減少到4%、從23%減少到17%.這表明在其他條件不變的前提下，載荷增大將促進蠕變損傷，而疲勞損傷和交互損傷將減小.隨著裂紋的增長，蠕變損傷增加，疲勞損傷和交互損傷減小，Liu 等[11]解釋了這種現象，即隨著裂紋擴展，材料的韌性連接減少，且等效應力隨裂紋擴展長度的增加而增大，故蠕變損傷增加.同時，也可以觀察到，裂紋進入穩定擴展階段后，載荷越大，隨裂紋生長長度增加，蠕變損傷增大得越早，疲勞和交互損傷也減小得越早，這可能是由于越大的載荷提供的等效應力越大，韌性連接減少得越快.裂紋擴展到3 mm 之后，所有載荷情況的同一種損傷的變化趨勢斜率和范圍近似，蠕變損傷的變化范圍均為15%左右，按載荷大小由低到高，疲勞損傷變化分別為8%、9%和6%，交互損傷的變化分別為7%、8%和10%，差距同樣很小，這也許是圖10 兩種裂紋擴展速率圖中不同載荷大小結果近似處于一條直線上的原因.

3.4 載荷比對蠕變-疲勞裂紋擴展的影響

載荷比的大小反映了疲勞加載的劇烈程度，載荷比越大，載荷波中載荷的最大和最小值相差越小，改變載荷比對蠕變-疲勞裂紋擴展中各損傷變化有重要影響.有限元分析中采用了4 種載荷比，分別為0.01、0.05、0.20 和0.50，保載時間為60 s，不同載荷比的最大載荷設置均為相同的值8 kN，最小載荷分別為80 N、400 N、1 600 N、4 000 N，計算結果如圖12所示.圖12(a)為da/dN-ΔK 圖，4 條曲線的橫縱坐標大小各不相同，為了更直觀地對比4 種載荷比結果，以Kmax為橫坐標，繪制了da/dN-Kmax圖，如圖12(b)所示，由于4 種載荷比的最大載荷相同，故4 條曲線的橫坐標相同，可以看出，載荷比越大，裂紋擴展速率越慢.這可能是由于增大載荷比，加載和卸載過程產生的疲勞減小，使得單次循環引起的損傷累積值減小、裂紋擴展速率減慢.同時可以觀察到圖12(b)中各結果曲線的斜率隨Kmax的增大而增大，而圖12(c)的da/dt-Ct,avg圖中各結果基本為一條直線，擬合該圖中各結果的Paris-power 曲線斜率，按載荷比從小到大的順序分別為0.61、0.61、0.62 和0.64，斜率隨載荷比的增大基本保持不變，這可能是由于載荷比的改變雖然會影響疲勞損傷累積，但因為每周期加載中產生疲勞的加載和卸載段時長僅占總時長的1/60，蠕變損傷仍為主導損傷，故其對總損傷造成的時間相關的裂紋擴展速率斜率的影響較小.擬合的一元一次方程截距，隨載荷比增大分別為-1.49、-1.48、-1.44 和-1.18，雖然在載荷比為0.01～0.20 時的曲線非常接近，但當載荷比增大至0.50 時，其截距明顯增大，同時da/dN-Kmax圖中4 條曲線的截距也各不相同，故與改變載荷大小的模擬結果不同，不同載荷比的4 條曲線在兩個雙對數坐標軸上的截距隨載荷比增大而改變，不能用相同系數的Paris-power 公式表示.

圖12 載荷比為0.01、0.05、0.20、0.50 下蠕變-疲勞裂紋擴展速率模擬結果Fig.12 Simulation results of creep-fatigue crack propagation rate for load ratios of 0.01，0.05，0.20，and 0.50

對4 種載荷比結果的損傷進行了分析，如圖13所示.隨載荷比的增加，蠕變損傷增大，疲勞損傷和交互損傷均減小，這驗證了增大的載荷比削弱了疲勞損傷，同時也削弱了交互損傷，增強了蠕變損傷，并且可以看到4 種結果的蠕變損傷占主要部分，其次為交互損傷，疲勞損傷最小，說明蠕變損傷占主導作用.載荷比為0.01 和0.05 的各損傷大小和斜率較為接近，驗證了圖 12(b)中兩者的結果曲線非常接近.載荷比從0.05 增加到0.20 和從0.01 增加到0.05，在裂紋生長長度為3 mm 時，蠕變損傷分別增大了18%和6%，疲勞損傷分別減少了6%和3%，交互損傷分別減少了13%和3%.各損傷的變化，前者遠大于后者，驗證了圖12(b)中載荷比為0.20 和0.05的距離相比0.01 和0.05 的更遠.載荷比從0.20 增加到0.50 的各損傷中，蠕變和交互損傷變化較大，疲勞損傷都較小且變化較小，如在裂紋生長長度達到3 mm 時，蠕變損傷增加了9%，交互損傷減小了8%，而疲勞損傷僅減小了0.8%，故可知造成載荷比為0.50 的裂紋擴展速率減小的原因主要是蠕變和交互損傷的變化，這說明改變載荷比不是僅對疲勞損傷產生影響，對蠕變和交互損傷也有直接影響.當載荷比為0.50 時，其損傷基本為蠕變損傷，疲勞和交互損傷接近為0，故載荷比大于等于0.50 的蠕變-疲勞裂紋擴展過程可近似視為蠕變裂紋擴展過程，故產生疲勞損傷前提是載荷比至少要小于0.50.

圖13 4種載荷比的蠕變、疲勞和蠕變-疲勞交互損傷Fig.13 Creep，fatigue，and creep-fatigue interaction damage for four load ratios

3.5 保載時間對蠕變-疲勞裂紋擴展的影響

裂紋擴展過程中，加載波中的保載時間內產生了蠕變損傷，故保載時間長短對裂紋擴展速率和各損傷占比有重要影響.本節共設置了8 個不同的保載時間，分別為1 s、5 s、10 s、30 s、60 s、120 s、600 s 和1 800 s，其他條件不變，固定最大載荷為8 kN，載荷比為0.05，模擬結果如圖14 所示.由圖14(a)可見，裂紋擴展速率隨保載時間的增長而增大，同時，不同保載時間試樣的有限元計算結果的da/dN-ΔK 圖中曲線斜率近似.相同的ΔK 下，保載時間為1 800 s 的試樣裂紋擴展速率da/dN 是60 s 結果的15 倍左右，是1 s 結果的40 倍以上，但由于保載時間的不同，每個周期的時長也不同，周期越長，每周期產生的損傷越大，裂紋擴展長度也越長，故da/dN 不能準確地反映改變保載時間導致的裂紋擴展速率變化.圖14(b)為da/dt-Ct,avg曲線，由圖可知，保載時間越長，裂紋擴展速率越慢，8 條曲線擬合得到的斜率大小，按保載時間從小到大分別為0.54、0.56、0.59、0.61、0.61、0.61、0.62 和0.62.斜率隨保載時間的增長而增大，但當保載時間大于等于30 s 后，斜率僅由0.61 緩慢增大到0.62，相比保載時間由1 s 增長到30 s 的斜率由0.54增大到0.61，變化微弱，且相同Ct,avg值下的裂紋擴展速率變化越來越小，曲線重合度越來越高，這與Tang等[12]得到的G115 模擬結果類似，說明隨保載時間的增大，蠕變損傷占比增大，且保載時間超過30 s 后，蠕變損傷為主導損傷，曲線斜率近似相等，這是由于保載時間較長時，在1 個周期內，產生蠕變損傷的保載時間相比產生疲勞損傷的1 s 波形段要大得多，因此裂紋擴展的蠕變損傷占總損傷的主要部分，增加保載時長對結果曲線的影響有限.

圖14 保載時間為1 s、5 s、10 s、30 s、60 s、120 s、600 s 和1 800 s下蠕變-疲勞裂紋擴展速率模擬結果Fig.14 Simulation results of creep-fatigue crack propagation rate for hold times of 1，5，10，30，60，120，600，and 1 800 s

圖15 展示了不同保載時間結果的各損傷變化趨勢，隨保載時間的增加，蠕變損傷越來越大，從4%增加到99%；疲勞損傷越來越小，從93%減小到近似為0；交互損傷在保載時間由1 s 增長到10 s 過程中，為增大趨勢，保載時間為10 s 時達到峰值，保載時間繼續增長，則呈減小趨勢，總體大小范圍為0～33%，故可知蠕變-疲勞交互載荷作用下裂紋擴展的交互損傷的上限33%遠小于另兩種損傷的上限99%.隨裂紋生長長度增加，蠕變損傷增大，疲勞損傷減小，交互損傷在保載時間小于10 s 時，趨勢不明顯，保載時間大于等于30 s 時，為減小趨勢.由于各損傷隨裂紋生長長度的增長會有一定變化，為方便進行整體比較，求得了各保載時間結果的各損傷的平均值，如圖16所示.平均值y計算式為

圖15 8種保載時間的蠕變、疲勞和蠕變-疲勞交互損傷Fig.15 Creep，fatigue，and creep-fatigue interaction damage for eight hold times

圖16 8 種保載時間的平均蠕變、疲勞和蠕變-疲勞交互損傷Fig.16 Average creep，fatigue，and creep-fatigue interaction damage for eight hold times

式中：m 為所取裂紋生長長度數值；Δaj為第j 個裂紋生長長度；ωy為蠕變損傷ωc或疲勞損傷ωf或交互損傷ωint.保載時間大于等于30 s 時，蠕變損傷將超過50%，成為主導損傷，這驗證了上述圖14(b)中保載時間大于等于30 s 的結果曲線斜率變化小且大小變化較小的表現.保載時間小于等于5 s 時，疲勞損傷大于50%，為主導損傷.保載時間為10 s 時，疲勞損傷為37%，與31%的蠕變損傷和32%的交互損傷相近，證明了疲勞和蠕變控制模式的分界點為10 s[14]的結論，且此時的交互損傷達到了最大值.由于保載時間為600 s 的平均蠕變損傷為96%，接近100%，故保載時間大于600 s 時，裂紋擴展過程中的損傷基本為蠕變損傷，接近純蠕變裂紋擴展.保載時間為1 s 時疲勞損傷為83%，故保載時間小于1 s 的裂紋擴展，也近似接近純疲勞情況.

4 結 論

本文推導了考慮蠕變3 階段的蠕變本構模型，通過損傷力學與有限元相結合方法對650 ℃蠕變-疲勞載荷作用下哈氏合金X 的CT 試樣裂紋擴展過程進行了數值計算，獲得的主要結論如下.

(1) 結合應變硬化定律與連續損傷力學模型得到考慮蠕變所有階段的本構模型，對比考慮不同蠕變階段的純蠕變裂紋擴展模擬結果，得到考慮所有階段的本構模型結果準確性更高.載荷越大，考慮蠕變第Ⅱ和第Ⅲ階段的預測差異越小，考慮蠕變第Ⅰ階段的預測差異越大.

(2) 隨著載荷幅值增大，蠕變-疲勞裂紋擴展速率增大，載荷幅值從5 kN 增加到7 kN，蠕變損傷均為主導損傷，交互損傷次之，疲勞損傷貢獻最低，且隨裂紋擴展長度和載荷的增大，蠕變損傷對損傷累積貢獻上升.

(3) 隨著載荷比的增大，蠕變-疲勞裂紋擴展速率減小.在8 kN 載荷、保載時間為60 s 的條件下，載荷比從0.01 至0.50 的4 種模擬結果中蠕變損傷均為主導損傷，隨載荷比的增大，蠕變損傷增加，交互損傷和疲勞損傷減少，載荷比為0.50 時近似為純蠕變裂紋擴展.

(4) 隨著保載時間增大，裂紋擴展速率da/dN 增大，而da/dt 減小，da/dt-Ct,avg曲線斜率增大，蠕變損傷增大，疲勞損傷減小，交互損傷先增大后減小.蠕變和疲勞損傷主導的分界保載時間為10 s，且此時交互損傷達到峰值.保載時間大于600 s 和小于1 s 時可分別近似視為純蠕變和純疲勞裂紋擴展.