無人機遂行編隊飛行中的純方位無源定位

周宏兵, 劉力歌, 趙迦勒, 趙松曼

(1.南陽師范學院 數學與統計學院,河南 南陽 473061; 2.南陽師范學院 物理與電子工程學院,河南 南陽 473061)

0 引言

無人機的無源定位在民用和軍事領域(如救援、探測等)有著廣泛的應用。由于單架無人機探測能力不夠,許多研究者轉向無人機集群控制和編隊飛行的相關研究[1-4]。無人機集群在遂行編隊飛行時,為避免外界干擾,應盡可能保持電磁靜默,減少向外發射電磁波信號。為保持編隊隊形,擬采用純方位無源定位的方法調整無人機的位置,即由編隊中某幾架無人機發射信號,其余無人機被動接收信號,從中提取出方向信息進行定位,從而調整無人機的位置。 編隊中每架無人機均有固定編號,且在編隊中與其他無人機的相對位置關系保持不變[5]。由于無源定位技術使工作平臺不輻射電磁信號,只通過測量其他輻射源發射的電磁信號參數來確定其位置的一項技術,因此相對于有源定位,沒有電磁輻射,具有隱蔽性更好、生存能力更強的優點[6-8]。

1 模型假設

為盡量排除各種無關因素對建立的數學模型產生的誤差,我們做如下假設：

(1)無人機在空中運動時忽略天氣的影響;

(2)無人機電力充足;

(3)無人機可以正常接收信號;

(4)圓形編隊始終在同一平面上。

2 模型建立與分析

編隊由 10 架無人機組成,形成圓形編隊,其中 9 架無人機(編號 FY01～FY09)均勻分布在某一圓周上,另外1架無人機(編號 FY00)位于圓心(見圖1)。無人機基于自身感知的高度信息,均保持在同一個高度上飛行。

圖1 圓形無人機編隊示意圖

圖2 有偏差的無人機平面示意圖

2.1 建立被動接收信號無人機的定位模型

以編號FY00無人機為極點,FY00和FY01連線為極軸,建立極坐標系。設位置略有偏差的無人機為點P,其極坐標為(a,θ),求出點P的極坐標即可得到被動接收信號無人機的定位。由特殊到一般,先研究其中一種情況：位于圓心的無人機FY00和編隊中的FY01,FY03無人機發射信號,其中β=80°。為方便觀察,以下均以β=80°作圖,其余角度同理,但并不代入β=80°,得出被動接收信號無人機的極坐標通式。因為無論哪2架無人機發射信號,它們的算法都是相同的。

由題干已知無人機均保持在同一個高度上飛行,則可以把它們視為一個平面,畫出此模型的平面示意圖,如圖 2所示。

通過觀察此平面示意圖得出。

由(a,θ)可知,OP=a,∠AOP=θ。

在△OAP中,由正弦定理可得

(1)

即

(2)

易知,∠BOP=β-θ。

在△OBP中,由正弦定理得

(3)

即

(4)

聯立(2)(4)得

(5)

解得

(6)

2.2 實現無人機的有效定位的模型

2.2.1 通過圓周角確定所需無人機的架數

圖3 無人機編隊示意圖劃分

圖4 圓周角與圓心角關系

接著判斷找到的圓周角是銳角還是鈍角,并求出發射信號的無人機的編號通項公式。具體流程如圖5所示。

圖5 獲得無人機編號流程

綜上,發射信號的無人機位置無偏差,除FY00和FY01外,還需要1架無人機發射信號即可實現無人機的有效定位。

2.2.2 運用正弦定理調整無人機的位置

要確定其他9架無人機位于某個以FY00為圓心的圓周上,可以先由任意2架無人機發射信號,運用正弦定理得到1架在某個以FY00為圓心的圓上(即無偏差)的無人機的方向信息,即角α1和α2的大小。

在一個三角形中,知道兩邊及其夾角即可算出三角形的另外一個角的角度。

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosθ。

聯立得出α的度數。

令其為該無人機的標準角,則該無人機可以將原本接收到的角α1和α2各自逐漸調整到對應的標準角的大小,最終可以調整到理想位置。同理,先找出2架調整到理想位置的無人機并固定位置,再以這2架無人機和FY00為發射信號的無人機,找出其余7架無人機應在的位置所對應的標準角,使其余7架無人機調整到理想位置。

針對其他隊形編隊,與上述思路類似,先根據2架無人機確定1架無人機在理想位置時接收到的α1,α2值,再進行調整,使其調整到理想位置。同理,也可以調整另1架無人機到理想位置。由此,令這2架無人機和FY03為發射信號的無人機,找出其余幾架無人機理想位置對應的α1,α2值,使其余幾架無人機調整到理想位置。

3 算例分析

以下以 2022 年數學建模試題B題的實驗數據進行算例分析。

3.1 編號為FY00和FY01的無人機以及若干編號未知的無人機向某位置略有偏差的無人機發射信號,另需幾架無人機才能實現無人機的有效定位?

圖6 圓周角為鈍角的情況

3.2 1架無人機位于圓心,另9架無人機均勻分布在圓周上,當初始位置略有偏差時,給出調整方案,將有偏差的無人機調整到理想位置。

若要確定其他9架無人機位于某個以FY00為圓心的圓周上,可以先根據2架無人機確定1架無人機在以FY00為圓心的圓周上,由此可以得到在以FY00為圓心的圓弧上的2架無人機,再以這2架無人機和FY00為發射信號的無人機,找出其余7架無人機應在的位置所對應的α1,α2值,使其余7架無人機調整到理想位置。

以下過程均由此法代入具體數值計算。

(1)以FY00,FY01和FY03為發射信號的無人機。

圖7 無人機初始位置與理想位置示意圖

∠COB1=∠AOC-∠AOB1=40.21°。

綜上可得α1,α2的度數,即可確定FY02在以FY00為圓心、長度98為半徑的圓周上,FY02在此位置時無偏差。當FY02接收到的方向信息調整為與無偏差時的方向信息相等時,FY02即可回到理想位置。

(2)同理,以FY00,FY01和FY03為發射信號的無人機使FY04回到理想位置。

接著,因上文已經確定了FY02和FY04的位置,以FY00,FY02和FY04為發射信號的無人機,找出其余7架無人機應在的位置對應的α1,α2值,使其余7架無人機調整到理想位置。

接下來以將編號為FY03的無人機調整到理想位置為例求出α1,α2(如圖8)。在△OB1C1中,由余弦定理得

圖8 編號為FY03的無人機調整到理想位置示意圖

再由正弦定理得

則

同理,在△OC1D1中,由余弦定理和正弦定理可得α2。

其他幾架無人機的理想位置對應的α1,α2也是同樣的求法,它們對應的α1,α2的值如表1所示。由此即可把其他幾架無人機根據α1,α2的值調整到理想位置。

表1 無人機理想位置對應值

4 結論

純方位無源定位不僅在民用領域具有廣泛的應用,例如光纖通信、信號處理和車輛定位導航等,而且在空域預警、海域監測、地面非法入侵和隱蔽通信等國防領域也做出了巨大的貢獻。本文在研究純方位無源定位過程中,通過對無人機之間的角度進行分析,我們可以在不同情況下解決相應的問題。