相對運動中一類質點運動方程的同倫攝動解1)

姜文安 劉若冰 顧葉彤 李浚超

(江蘇大學土木工程與力學學院，江蘇鎮江 212013)

理論力學課程是理工科專業重要的專業基礎課程之一，其中，動力學部分的質點動力學是理論力學中的重要部分，而相對運動中質點的動力學方程是一個難點。因此，許多學者研究了相對運動中的質點運動[1-5]。劉榮萬[6]研究了相對運動的第二類拉格朗日方程，給出系統運動方程的一種新形式，并應用于兩種相對運動系統。梁軍[7]應用雅可比橢圓函數方法，給出了一個相對運動質點運動方程的隱式解。臧濤成等[8]推導了兩個質點的相對運動方程，并給出其在斜面滑塊中的應用。夏吾吉[9]推導非慣性系中的質點系相對于慣性系的動量定理，并給出四種特殊情形的推論。陳立群[10]通過解耦自由質點相對于地球的運動方程的方法，推導了系統運動方程的精確顯式解。王超等[11]基于VB 語言開發了質點相對運動的演示軟件，并基于軟件繪制質點相對運動的軌跡。然而，相對運動中質點運動方程已有的隱式解不能清晰明了地反應系統的動力學特性，且隱式解運動響應曲線的程序實現比較復雜。因此，開展簡明扼要的顯式解析求解是十分必要的。

本文以相對運動中一類質點運動方程為例，基于同倫攝動分析方法[12-16]，先構造系統的同倫方程，再結合Lindstedt–Poincare 方法和初始條件，推導了系統自由振動的固有頻率，求解了系統的位移近似響應。

1 相對運動中質點的運動方程

考慮質量為m的小環套在拋物形光滑金屬絲上，同時金屬絲以勻角速度ω0繞豎直軸轉動，如圖1 所示，則小環的運動微分方程為[1-2,6]

圖1 小環在金屬絲上的運動示意圖

式中，a為拋物線形曲線的常數，g為重力加速度。且“金屬絲+小環”的案例很早就引入《理論力學》教材，于紅軍等[17]對該案例做了詳細的介紹。

方程（1）為二階非線性常微分方程，《理論力學》及《高等代數》教材中的解析方法無法求解，相關的解析求解方法少有報道。因此，尋找合適有效的方法，求解系統（1）的動力學行為是很有必要的。

2 同倫攝動分析

為了應用同倫攝動方法，構造如下的同倫方程

假設系統的位移響應和頻率有如下級數解

圖2～圖5 給出系統（1）在不同系統參數下的動力學響應，其中藍色實線為方程（11）的同倫攝動解（圖中用HPM 表示），紅色的加號表示原系統（1）的四階龍格庫塔解（圖中用ode45表示）。由圖可見，系統在不同參數下的同倫攝動解和數值解都比較吻合，證明了本文方法是有效的。

圖2 系統（1）在參數 A=1, a=4 下的動力學響應

圖3 系統（1）在參數 A=1, a=1 下的動力學響應

圖4 系統（1）在參數 A=0.5, a=4 下的動力學響應

圖5 系統（1）在參數 A=1.5, a=4 下的動力學響應

3 結論

相對運動中質點的強非線性動力學方程，一般很難得到顯式的精確解，發展顯式近似解是一種可能的方案。本文基于同倫攝動分析方法，推導了相對運動中一類質點運動非線性微分方程的顯式解析解。結合Lindstedt–Poincare 方法和系統的初始條件，推導了系統自由振動固有頻率的顯式表達式。同時，求解了系統的顯式解析近似響應。另外，通過數值仿真驗證了解析分析的正確性，為相對運動的質點運動強非線性方程求解提供了一種新思路。