透明試樣受集中載荷的應力應變同步測量方法1)

黃力文 * 高 飛 邵新星 *

*(東南大學土木工程學院，南京 211189)

?(北京強度環境研究所，北京 100076)

透明材料指能夠透過可見光的材料，例如：透明玻璃、透明陶瓷、聚甲基丙烯酸甲酯（polymethyl methacrylate，PMMA)、聚碳酸酯等透明高分子材料。憑借著耐熱性、透光性和優異的力學和化學性能，透明材料在軍事、民用、建筑、航空、汽車等領域逐步替代了金屬、木材等傳統材料[1-2]。對透明材料的力學性能檢測已經成為非常重要的研究課題。同時，科研中變形、應變和應力的全場測量對于理解固體的破壞機制和量化相關的工程參數是必要的，所以找到一種可以對透明材料進行應力應變測量的方法是有必要的。

國內外研究人員已經提出了一些用于研究材料在載荷作用下的應力應變和斷裂破壞的光測實驗力學方法。De Graaf[3]利用光彈法研究了鑄鐵試件中動態擴展裂紋附近的應力分布形式，結果表明脆性斷裂在鑄鐵中間歇式地傳播。20 世紀90 年代，相關梯度敏感（coherent gradient sensor,CGS）方法開始應用于透明材料的斷裂力學研究。Tippur 等[4]采用了CGS 方法，通過映射生長裂紋附近的裂紋尖端應力梯度，研究了受沖擊載荷作用下邊緣裂紋PMMA 板的動態裂紋擴展。20世紀末以來，數字圖像相關（digital image correlation, DIC）方法在聚合物、金屬和復合材料的變形測量中得到廣泛應用[5-8]。DIC 方法可實現對透明材料的形貌和變形測量。Hu 等[9]采用三維DIC 方法結合納米熒光顆粒測量了透明材料的厚度和輪廓。Chen 等[10]基于彩色熒光散斑，通過校正折射率測量了透明材料內部位移。Dai 等[11]將電子散斑干涉與DIC 方法相互結合，對透明平板厚度變化進行了測量。除了上述的光學方法，Periasamy 等[12]在2012 年引入了數字梯度敏感（digital gradient sensing, DGS）法的全場光學方法，用于測量透明固體中的面內應力梯度。Dondeti 等[13]同時采用了透射光彈性、二維DIC和透射DGS 3 種流行的光學技術來可視化透明鈉鈣玻璃板在名義上相同的載荷下的裂紋尖端場。付保飛[14]在DIC 與DGS 技術的基礎上提出了一種將兩種方法相結合以實現透明材料的應力梯度場與位移變形場同步的測量系統，并開展三點彎曲實驗進行數據分析以及精度對比，驗證了測量系統對位移測量和應力梯度場測量的可行性。

本文在付保飛[14]研究的基礎上將DGS 方法與熒光DIC 方法結合使用，提出了一種半平面受集中載荷下透明材料的應力應變同步測量方法。使用熒光分光的方法分離透明試樣和散斑板表面的散斑圖案，分別計算并處理后，可獲得透明試件表面應變與應力梯度場。這種方法可同時獲取應力應變數據，能夠更好地表征材料的力學特性，同時也能對透明材料斷裂破壞等力學機理進行更加深入的研究探討。

1 基于熒光分光的透明試樣應力應變同步測量

1.1 熒光分光原理

1.1.1 熒光散斑

熒光DIC 方法是DIC 技術的一個分支，由Berfield 等[15]于2006 年發明。熒光散斑圖案在傳統的白光照明下不可見，只有被特定波長范圍內的紫外線照射時，熒光散斑圖案才能受到激發并發出一定波長的可見光（如紅光、藍光），并被相機傳感器接收。這是熒光散斑相比普通散斑的最大區別。與常規 DIC 技術相比，熒光 DIC 方法使用自發光的熒光散斑，具有消除鏡面反射、高散斑對比度和多表面變形測量能力等優勢[16]。

熒光散斑的制備與普通散斑制備類似，區別在于使用熒光印油顏料?，F有的散斑制備方法主要有人工噴涂和噴繪技術、微/納米尺度散斑圖紋技術、刮擦/研磨、旋轉鍍膜技術、壓縮空氣技術和納米膜重塑技術、光刻技術[17]、光敏印章技術[18]等。針對特殊的水凝膠材料，王義茹[19]提出了一種使用菲林片技術實現水凝膠表面幾何尺寸精確可控的熒光散斑的制備方法。針對在透明材料上制備熒光散斑，主要適用的方法為噴涂法和光敏印章法。

為了同時實現應力應變的測量，需要制備兩種不同顏色的熒光散斑，并且這兩種顏色的散斑都需要是三原色（紅、綠、藍）之一，因為只有這樣， 3CCD 相機才能有效濾光。對這3 種顏色的熒光散斑進行了實驗，實驗證明紅色與藍色的組合是最佳的，在濾波分光時可以最大限度地避免濾波不凈的情況。紅光的波長大約為700 nm，綠光的波長大約為550 nm，藍光的波長大約為470 nm。紅藍兩種光的波長差距最大，所以組合最佳。

1.1.2 3CCD 相機

3CCD 相機是一種專業的彩色圖像采集設備，通常用于高質量圖像和視頻的捕捉。它由3 個CCD 圖像傳感器組成，每個傳感器負責接收紅、綠、藍三原色的光信號。如圖1，通過鏡頭進入的光線將經過分光鏡，被分為紅、綠、藍3 個光束。通過處理和合成紅、綠、藍3 個傳感器輸出的數字信號，形成最終的彩色圖像。對3CCD 相機進行參數的調整，只輸出單個傳感器的數字信號，采集的圖片將只有一種顏色。

圖1 3CCD 相機分光原理Fig.1 3CCD camera light splitting principle

將兩塊帶有紅色和藍色熒光散斑的透明試件置于3CCD 相機鏡頭前，進入相機的光有藍光和紅光。因為熒光散斑幾乎是透明的，對光線沒有遮擋作用，所以前方的熒光散斑不會遮擋后方熒光散斑發出的光，前后兩塊熒光散斑發出的光都可進入鏡頭并通過3CCD 相機進行成像。

1.2 應力應變同步測量光路

圖2 為使用熒光散斑并結合DGS 方法與DIC 方法進行應力應變同步測量的光路。它包括一個散斑板、一個平面透明試樣、一個3CCD 相機和紫外光源。在透明試樣和散斑板上分別預制藍色和紅色熒光散斑。將透明試樣置于散斑板的前方并與之平行，相距為?。?為試樣中間層和散斑板表面之間的距離。一臺裝有較長焦距鏡頭的3CCD 相機置于樣品后方，且相距為L(L ??)，并透過樣品對目標散斑板平面上感興趣的區域進行聚焦。使用兩個紫外光源均勻地照亮透明試樣和散斑板上的熒光散斑。紫外光源需距離樣品較遠，以降低在實驗過程中光源對樣品附近熱流的影響。選擇合適的相機參數和鏡頭參數，保證前后兩種散斑成像清晰，同時保證樣品平面上的重要特征（例如，樣品邊緣和加載點）在記錄圖像中清楚可見，方便圖像后處理。

圖2 應力應變同步測量光路Fig.2 Simultaneous stress–strain measurement of optical path

通過分光，3CCD 相機可分別拍攝出紅色和藍色散斑的變形情況。藍色散斑附著在透明試樣表面，將藍色散斑加載前后的圖像變化進行二維DIC 方法處理，可計算出透明試樣表面全場的位移與應變。

同時對紅色散斑在加載前后的變形進行DGS 方法處理，可以得到透明試樣全場的應力梯度。透明試樣和散斑板平面的坐標分別為x，y和x0，y0，且光軸與z軸重合。透明試件的厚度為B，不受載荷時折射率為n。當透明試件處于參考狀態（無載荷狀態）下，透過透明試樣可拍攝散斑板平面上的紅色散斑。這種情況下，散斑板平面上的一個普通點P對應于試樣平面上的點O。當受到機械載荷時（例如，力F作用在圖中的試件邊緣），試件內部的折射率和厚度都發生變化，這些變化會使光線偏轉。當透明試樣受力變形后，在參考狀態下的光線OP對應于試件變形后的光線OQ。光線偏轉與載荷導致的應力變化有關，文獻[11]推導了偏轉角和位移的關系，得到了光力學控制方程，為

式中，?x和?y分別為x–z和y–z平面上的光線角偏轉，δx和δy表示向量PQ在x和y方向上的分量，Cσ為試樣材料的彈性–光學常數，σxx和σyy分別為透明試樣在x和y方向上的平面應力參數。

上述控制方程表明，首先測量局部的位移δx和δy值，然后將其除以試件與散斑板平面的距離?來獲得角偏轉?x和?y，從而獲得x和y方向上的應力梯度?？梢允褂脗鹘y的二維DIC 方法對散斑圖像進行計算，求得兩個位移值δx和δy。

通過3CCD 相機分光可以分別得到透明試樣上的藍色散斑圖片和散斑板上的紅色散斑圖片。藍色散斑制于透明試樣表面，通過DIC 方法計算，可以算出透明試樣的表面應變。紅色散斑制于散斑板表面，通過DGS 方法計算，可以得到透明試樣的應力梯度，將二者結合，即可實現透明試樣的應力應變同步測量。

2 實驗測量

2.1 標定光力學參數

DGS 方法在計算過程中需要使用到一個關鍵的參數：光–學參數Cσ。然而，Cσ作為一個特殊參數，并非所有材料都有明確的數值。計算Cσ需要已知材料的力學參數泊松比υ，彈性模量E和光學參數D1。本文使用的透明材料為商業 PMMA透明板，并未提供參數Cσ。因此，在進行DGS方法測量前，先對被測透明材料的光–力學參數Cσ進行標定可以提高測量的精準度。本文參考文獻[20]中方法，在半平面體邊界受集中力加載模型下使用結合牛頓迭代法和最小二乘原理的參數Cσ標定方法。透明材料標定結果如表1 所示，取平均值–1.411×10–3mm2/N 作為參數Cσ的標定結果。

表1 不同載荷下光力學參數Cσ 標定結果Table 1 Calibration results of photomechanical parameters Cσ under different loads

2.2 應力應變同步測量

2.2.1 實驗步驟

應力應變同步測量實驗采用前文提到的光路，實驗測量系統如圖3(a)所示。主要的實驗裝置有3CCD 相機（150 萬像素），PMMA 透明試樣，紫外光源（365 nm），散斑板，熒光散斑（紅色和藍色）以及力加載臺。選用商業PMMA板作為試樣，試樣彈性模量E=2100 MPa，泊松比為0.3。透明試樣尺寸外觀如圖3(b)。為了同時實現應力應變的測量，首先需要制備兩種不同顏色的熒光散斑。采用噴涂熒光顏料的方法進行制備，此方法有著方便快捷，成本低，操作簡單的優點。制備好的熒光散斑如圖4(a)。將PMMA透明試樣以及散斑板放置于加載臺上，試樣置于加載頭中心處，散斑板置于試樣后方。散斑板距離透明試樣厚度中心的距離為Δ=31 mm，（Δ應該在5 cm 以內）。相機到透明試樣距離為L=120 cm。關閉日光燈，排除白光光源對實驗的影響，打開紫外光源，調試3CCD 相機的焦距及光圈，調整亮度，并保證景深足夠大，以確保前后兩個散斑圖均可成像清晰。以半平面體邊界受集中力模型[21]進行加載。加載方式如圖3(b)。

圖3 應力應變測量系統及試樣尺寸Fig.3 Stress–strain measurement system and specimen size

圖4 分離圖像Fig.4 The separated image

開始實驗后，轉動加載桿，在0 N 時使用3CCD 相機拍攝一張圖片，然后每隔100 N 拍攝一幅圖片，直到1500 N，停止加載。拍攝時要對3CCD 相機的參數進行調整，每次分別拍攝一張紅色散斑圖片和一張藍色散斑圖片。分離后的散斑圖如圖4 所示。采集結束后，分別對紅色圖片和藍色圖片進行計算處理。使用紅色散斑圖片計算2 個光線角偏轉量：?x和?y，使用藍色散斑圖片計算3 個應變量：εxx，εyy和γxy。

2.2.2 結果與分析

以500 N，1000 N 和1500 N 載荷為代表，繪制實驗測得的集中力加載區附近的光線角偏轉?x和?y圖，如圖5 和圖6 所示。結合式（1）以及半平面問題的應力理論解[21]，可得到半平面集中載荷下的理論角偏轉公式

圖5 不同載荷下實驗（上）以及解析（下）角偏轉?x 圖Fig.5 Experimental (top)andanalytical(bottom)angulardeflection?xfigures under different loads

圖6不同載荷下實驗（上）以及解析（下）角偏轉?y 圖Fig.6 Experiment al (top)and analytical(bottom)angular deflection?yfigures under different loads

使用理論公式計算光線角偏轉并繪制圖，并將實驗解云圖與解析解云圖進行比對。

為了更直觀地反映實驗解與解析解之間的相對誤差，驗證此方法的可行性，對云圖進行誤差計算，結果如表2 所示。

表2 光線角偏轉的相對誤差Table 2 Relative error of angular deflection of light rays

從圖5 和圖6 中實驗值云圖與解析值云圖的對比可以看出，兩個角偏轉?x和?y的實驗值和解析值是較為吻合的。表2 計算了角偏轉的相對誤差，?x的最大相對誤差為19.29%，平均相對誤差為17.69%。?y的最大相對誤差為18.74%，平均相對誤差為16.15%。這驗證了本方法的可行性，說明此方法可用于求解角偏轉量。由式（1）可知，角偏轉量與應力梯度成正比，求解出角偏轉后除以(B·Cσ)即可得到應力σxx+σyy在x和y方向上的應力梯度。所以此方法可以實現透明試樣應力梯度的測量。

以500 N，1000 N 和1500 N 載荷為代表，繪制實驗測得的集中力加載區附近的3 個應變分量εxx，εyy和γxy圖（單位為微應變），如圖7 所示。

圖7 不同載荷下應變 εxx （上）， εyy （中）和 γxy （下）實驗圖Fig.7 Experimental figures of strain εxx (top), εyy (middle) and γxy (bottom) under different loads

半平面邊界受集中力模型的應變場存在解析解，解析解計算公式為

為了與實驗測得數據進行對比，繪制1500 N載荷下解析值云圖，如圖8。

圖8 應變分量解析圖Fig.8 Analytical figures of strain components

從實驗云圖與解析云圖對比可以看出，實驗得到的應變值并不能像理論值一樣均勻有規律，主要原因是PMMA 材料作為高分子材料，往往兼具黏性和彈性而被稱為黏彈性材料。黏彈性材料應變不僅僅與應力相關，也與溫度、時間和加載速率相關[22]。黏彈性材料本構關系復雜，且不同生產商生產的PMMA 材料力學參數不一，無法得到準確的解析解。本文計算3 個應變分量的解析解時只考慮了彈性項，而不考慮黏性項，所以實驗值與解析值存在一定區別。但是在形狀與趨勢上實驗值與解析值較為吻合，說明本方法能實現透明試樣表面應變的測量，能夠反映出透明試樣表面的應變場。通過實驗結果和解析解的對照，證明了本文提出的基于DGS 與DIC 的測量方法可以實現平面應力條件下透明試件應力應變的同步測量。

3 結論

基于DGS 方法和DIC 方法，本文提出了一種透明試樣應力應變同步測量的方法。使用圖2所示的測量光路，展開半平面集中力加載實驗，通過3CCD 相機對熒光散斑的紅藍光分離，并對測量數據進行DGS 與DIC 分析獲得了應力梯度場與應變場。將角偏轉實驗值云圖與解析值云圖進行對照，二者較為吻合。同時，計算出?x的最大相對誤差為19.29%，平均相對誤差為17.69%。?y的最大相對誤差為18.74%，平均相對誤差為16.15%。對照3 個應變分量的實驗值與解析值云圖，在形狀和趨勢上較為吻合。證明此方法可以實現對透明試件應力梯度和應變場的同步測量。此方法未來可用于透明材料的斷裂與破壞力學機理研究、材料質量檢測、工程設計與驗證等。