點的復合運動中任意相切型問題速度分析的一種特殊解法1)

占旺龍 * 方燕飛

*(深圳技術大學中德智能制造學院，廣東深圳 518118)

?(華僑大學機電與自動化學院，福建廈門 361021)

理論力學是研究機械運動規律的科學，具有理論性強、學習難度大的特點。同時，理論力學也是工科類專業中量大面廣的基礎課程，是工科機械、土木和車輛等許多專業的重要技術基礎課，是進一步學習后續相關專業課程的基礎。以機械專業為例，理論力學的后續課程有材料力學和機械原理。在日常教學過程中發現，學生往往沒有歸納總結和再復習已學習知識的習慣，造成學期結束，對本課程知識內容的認知是“課程知識點相互割裂，內容多且雜亂”。[1-2]。

在點的復合運動這一章中，欲求動點的絕對速度、牽連運動(平移時)的速度或牽連運動(轉動時)的角速度，通常需要選擇兩個不同的參考系，即：定參考系和動參考系[3]。動點相對于定參考系的運動可以看成動點相對于動參考系運動(相對運動)和動參考系相對于定參考系運動(牽連運動)的疊加，從而可以把一個復雜運動分解成兩個簡單的運動來進行研究[4]。在實際例題講解過程中，通常將問題分為3 種類型，即：相接型、相切型和相交型，如圖1 所示[5]。相接型的典型特征是剛體1 的一端始終與剛體2 接觸，此時選擇剛體2 作為動系，剛體1 上與剛體2 接觸點為動點；相切型的典型特征是剛體1 靠在剛體2 上，兩運動剛體的邊緣相切，此時選擇剛體1為動系，剛體2 的輪心為動點；相交型的典型特征是兩剛體獨立運動，但有相交點，以相交點為動點，分別以剛體1 和剛體2 為動系，利用動點的絕對速度和絕對加速度相同，進行兩次點的合成運動分析。

圖1 點的復合運動中常見的3 類問題

相較于相切型問題，學生更容易理解相接型和相交型中動點和動系的選擇過程。相切型問題的主要難點在于動點及動系的選擇，教材中給出的例題都是利用圓心到圓周距離不變的特性進行分析，也就是說解決此類問題通常要求其中一個構件是圓形，而另一個構件的邊緣必須足夠簡單。然而，在實際機構中，如圖2 所示的平底從動件凸輪機構(凸輪作定軸轉動)，為了確保從動件的運動規律滿足給定的速度和加速度要求，凸輪的輪廓可能不是圓形，而是任意可能的封閉曲線。在這種情況下，需要根據凸輪的外形及運動規律計算推桿的運動規律。根據點的速度合成定理，絕對速度va，相對速度vr和牽連速度ve之間滿足

圖2 平底從動件凸輪機構

在教材中通常會給出這樣的說明：“若選擇一個剛體上的切點為動點，另一個剛體為動系，由于相對運動軌跡為未知的平面曲線，導致相對運動速度的大小和方向亦難以確定，這樣方程(1)中便含有3 個未知量，無法通過點的合成運動方法進行求解?！钡魞H做瞬時速度分析，選擇一個剛體上的切點為動點，另一個剛體為動系，速度分析依然可以完成。盡管相對運動軌跡未知，但是相對速度總是沿兩個相切剛體輪廓線在切點的公切線方向上，從而式(1)亦僅有2 個未知量[6]。

傳統分析方法既然無法求解，是否可以采用另外一種策略？問題根源在于相對運動軌跡未知，導致相對速度大小和方向都未知而無法求解，那么能否避開相對速度？即是否可以找到一個特殊的動點，在選擇合適的動系后，使得相對速度vr=0 ，此時式(1)變為va=ve。如果該方法可行，則任意相切型問題的求解就轉化為尋找這樣一個特殊動點。

本文綜合應用點的復合運動和剛體的平面運動分析方法，可以求解任意相切型模型的速度問題。課程講授過程中讓學生在學習新內容的同時復習前面章節的內容，達到培養學生注重課程知識體系的內在聯系和知識互通的能力，改變日常學習“只見樹木而不見森林”的現狀，同時也為后續課程的學習打下基礎。

1 特殊動點的存在性

在理論力學剛體的平面運動這一章節，欲求作平面運動剛體上任意一點速度，有基點法、速度投影法和速度瞬心法。如圖3 所示，作平面運動的剛體，若角速度ω ?=0 ，則在每一瞬間，運動的平面圖形上均唯一存在絕對速度為零的點，此點即為速度瞬心(點P)，此時平面圖形上任意點B的速度大小為

圖3 速度瞬心

將上述平面圖形的運動問題進行擴展，如圖4 所示，兩個互相獨立運動的平面圖形，通過上述分析方法可以找到各自的速度瞬心O1和O2。平面圖形上其他任意點的速度大小可以通過角速度ω與點到速度瞬心的距離的乘積得到，即

圖4 兩個作平面運動的圖形分析

由此可得到如下推論：兩個互作獨立平面運動的圖形，在每一瞬時必存在一速度相同的重合點P12，且該點在兩速度瞬心的連線上。

首先可以證明其存在性，平面圖形上任意點的速度在該瞬時可以用式(3)表示，此時只要滿足

則A1和A2速度大小一定相等，所以速度大小相等的重合點一定存在。

再證明該點一定在兩速度瞬心的連線上，可用反證法得到。假設該瞬時速度大小相等的重合點為K，此時則滿足O1K/O2K=ω2/ω1。在平面圖形1 上，K點的速度大小vK1=ω1·O1K，方向垂直于O1K連線；在平面圖形2 上，K點的速度大小vK2=ω2·O2K，方向垂直于O2K連線。在圖示點雖然速度大小相等，但由于速度方向不同，所以該點不可能。若要滿足速度大小和方向均相同，則此重合點只能在O1O2的連線上，記為P12，該點的位置滿足O1P12/O2P12=ω2/ω1。

按照點的復合運動分析方法，動點選擇平面圖形1 上的P12點，動系選擇平面圖形2，該瞬時絕對運動為以O1點為圓心、O1P12為半徑的瞬時圓周運動；牽連運動為繞O2點的瞬時定軸轉動。此時絕對速度和牽連速度的大小和方向都相同，由速度合成定理可知vr=0 ，即該動點的相對速度為零。再進一步分析可知，若ω1和ω2的方向相反，則特殊動點P12在兩速度瞬心連線之間，反之則在兩速度瞬心的延長線上。

2 特殊動點位置的確定

通過直接接觸而相對運動的剛體，由于特殊動點具備相對速度為零的特性，因此可以通過以下方法來確定其位置。即：當兩個剛體通過光滑圓柱鉸鏈連接時，特殊動點就在鉸接點處(圖5(a))；兩剛體處于純滾動狀態時，特殊動點在接觸點處(圖5(b))；兩剛體處于滾動兼滑動時，特殊動點在過接觸點的公法線上(圖5(c))。對于其他情況，可以利用特殊動點在兩平面圖形速度瞬心(特殊情況為定軸點)連線上這一特性來確定。

圖5 特殊動點位置的確定

特殊動點位置確定后，便可以通過點的合成運動分析方法，求解給定剛體的運動學量。

3 實例分析

下面通過相切型實例，利用找特殊動點方法，求解點的復合運動。

3.1 實例一

理論力學授課中經常用圖6(a)所示的偏心輪機構(偏心輪為圓形，半徑為R，以勻角速度繞定軸D轉動)來說明相切型問題“一點兩系”的選擇，由于此問題沒有持續接觸點，無論是選擇推桿2 還是偏心輪3 上的瞬時接觸點為動點，相對運動軌跡都相當復雜，需要借助計算機模擬或者解析求解。為了使得研究問題簡單，需要利用推桿BC到偏心輪圓心O距離保持不變的特性，選擇偏心輪圓心O為動點，推桿為動系。此時絕對運動為繞D點的圓周運動，牽連運動為豎直方向的直線平移，相對運動為圖中紅色線所示的直線運動，速度矢量圖如圖6(a)所示，利用點的速度合成定理

圖6 相切型問題速度分析

圖6(b)選擇偏心輪3 上與BC相切點為動點，推桿2 為動系，相對速度方向為相切點的公切線上，速度矢量圖如圖6(b)所示。根據速度合成定理

圖6(c)給出用本文方法求解過程，根據理論力學中速度瞬心的確定方法可知，D點為偏心輪3 的速度恒為零的點。推桿2 和偏心輪3 是直接接觸，它們之間的運動為滾動兼滑動，因此可知該特殊動點在過接觸點E的公法線上，過定軸D點作該公法線的垂線可確定唯一交點，此即特殊動點P23。選擇偏心輪3 上P23為動點，推桿為動系，由速度合成定理可知

得到的結果與用經典分析方法一致。

從上述3 種速度分析方法可知，經典解法需要利用切點到輪心距離不變的特性，對問題的要求較高；以一剛體上的切點為動點的方法可以求解，此時需要繪制絕對速度、相對速度和牽連速度的矢量圖，并嚴格按照速度合成定理進行分析；本文中的特殊動點方法只要找到該動點后，利用絕對速度與牽連速度相等的特性可以直接求出，求解過程簡單且直觀。

3.2 實例二

圖7 所示為一般平底直動從動件凸輪機構(凸輪為非圓形)，已知凸輪的角速度恒為ω，求該瞬時推桿的速度。

圖7 直動從動件凸輪機構速度分析

該問題用理論力學中經典分析方法無法得出，因為無論是選擇推桿2 還是凸輪3 上的瞬時接觸點為動點，相對運動軌跡都很難得到，這樣相對速度的大小和方向都是未知量。但利用本文中的分析方法很容易得到。選擇推桿2 為動系，找凸輪3 上的特殊動點，在該點上相對速度為零。尋找特殊動點的方法可以參考3.1 節，得到該特殊動點的位置為P23，如圖7 所示。最終推桿的速度大小為

方向如圖中所示。

3.3 實例三

圖8 所示為擺動從動件凸輪機構(凸輪為非圓形)，已知凸輪的角速度恒為ω3，求該瞬時擺桿的角速度ω2。

圖8 擺動從動件凸輪機構速度分析

該問題同樣因為凸輪不是特定的幾何形狀，采用經典點的復合運動分析方法無法得到結果。但可以將其轉化為尋找特殊動點問題。擺桿2 與凸輪3 是滾動兼滑動，該特殊動點一定在過接觸點C的公法線上，此外該特殊動點還需要在AB的連線上，這兩條線交點可以唯一確定該特殊動點P23，如圖8 所示。擺桿的角速度為

最終求得擺桿的角速度ω2=ω3·AP23/BP23，方向如圖所示。

4 結論

本文針對理論力學中任意形狀相切型利用經典“一點兩系”方法難以確定相對運動軌跡的難題，提出通過尋找特殊動點的方法，很好解決了任意形狀相切型點的速度合成分析求解。即通過“該瞬時絕對速度與牽連速度相等”的特性可以對該平面機構進行瞬時速度分析，并給出3 個應用實例。

該方法相比于傳統方法，求解過程更加清晰且直觀，無需繪制速度矢量圖，對只需進行速度分析的少學時工程力學教學有一定的參考價值。主要難點為如何尋找特殊動點位置。特殊動點的位置一定在兩平面圖形速度瞬心(特殊情況為定軸點)的連線上，也在相切點公法線上；當兩個相切剛體中一個剛體作直線平移，另一個剛體作定軸轉動時，這個特殊動點為定軸點作公法線的垂線，與公法線的交點。這一分析方法也為機械專業后續機械原理課程的學習打下基礎，改善不同科目間知識割裂或者跳躍性較大的現狀，讓學生更加注重課程知識體系的內在聯系，注重知識的互通。

在理論力學日常的教學中一般是先講授點的合成運動，然后再講授剛體的平面運動，本方法交叉應用了點的合成運動及剛體平面運動中的速度瞬心法，對提高學生對整體知識的把握有益，在教學過程中取得了良好的效果。