黏彈性理論中廣義Maxwell 模型的教學法及其在非晶態固體中的應用1)

喬吉超 邢光輝 郝 奇

(西北工業大學力學與土木建筑學院，西安 710072)

課程教學對于培養高素質人才至關重要，教師在教學環節應該注重培養學生的思維能力、實踐能力和創新能力等綜合素質，幫助學生全面發展[1-2]。黏彈性力學課程是連續介質力學的一個重要組成部分，介于力學和材料科學之間，其以兼具彈性固體和黏性流體特征的物質為研究對象，如高分子聚合物、瀝青、混凝土、生物體以及應用于高溫環境的金屬等[3]。黏彈性材料的時間依賴性行為對于其應用具有重要影響，尤其是高溫蠕變以及應力松弛，在航空宇航工程、預應力建筑以及極端環境下的服役中受到廣泛關注。因此，開展黏彈性力學的教學研究對于理解黏彈性材料服役具有重要意義[4]。

通常，黏彈性物質在有限時間范圍內存在寬廣的弛豫譜，如何理解弛豫譜物理起源與性質成為黏彈性理論教學的難點。弛豫是物質從非平衡態系統向平衡態轉變的過程，當黏彈性物體受到外加激勵時，如對材料施加恒定應變，系統將自發調整其內部應力狀態，這一變形過程為材料應力松弛過程[5]。針對應力松弛過程，一般采用弛豫時間來描述其變形過程的快慢。應力松弛變形過程中，弛豫特征參數弛豫時間被定義為應力衰減過程完成1/e所需時間。對于熱激活的弛豫過程，弛豫時間則作為原子團簇跨越能量勢壘速度的度量，由于物質中原子團簇空間上的不均勻分布以及熱輸運的作用，弛豫時間在空間以及時間上存在一個分布，這便是對于弛豫譜的一種普遍理解[6]。

在黏彈性力學中，通常采用線性以及非線性模型來描述材料的力學行為。Maxwell 模型為一個重要線性黏彈性模型，有助于學生理解物質黏彈性以及弛豫譜物理起源，其由一個彈簧和一個阻尼黏壺串聯而成。該模型可描述材料的瞬態響應，即短時間內的應變響應，以及持續性的應力響應，其為最簡單的應力松弛力學模型。故筆者認為Maxwell 模型在黏彈性理論課程教學中應該占據較大篇幅，以方便學生加深對黏彈性力學性能的理解，具體授課思路如圖1 所示。

圖1 授課思路示意圖

首先講解Maxwell 模型的應力松弛響應，并給出可能的微觀機制。此外，基于非晶固體應力松弛響應曲線來討論廣義Maxwell 的兩種形式，即有限個特征時間的有限譜模型和考慮特征時間分布的連續譜模型。最后討論連續譜模型所反映的非晶固體特征時間分布形式。

1 講授方法

1.1 Maxwell 模型

1.1.1 宏觀分析[7]

材料微觀結構決定其宏觀力學性能，進而決定了其對外加力場的響應。應力與應變之間的基本關聯有兩種。

在實際工況中，所使用的工程材料通常為彈性和黏性流動的結合，這種行為稱為黏彈性。常見黏彈性模型由離散的彈性元件(彈簧)和黏性元件(黏壺)以不同方式組合而成。其中，最重要的黏彈性模型為Maxwell 模型，該模型由單個彈簧和黏壺串聯而成，如圖2 所示。拉伸變形時，總變形由彈性應變εel和黏性變形εη組成。

圖2 Maxwell 模型

1.1.2 微觀分析

黏彈性教材中一般僅給出Maxwell 模型的宏觀表述，然而從微觀變尺度給出變形單元轉變動力學上的可能解釋，有助于拓展對上述黏彈性行為的認識?？紤]初始施加的變形在材料單位體積內激活了n(0) 個變形單元，考慮到在0 時刻上述變形單元均處于彈性可逆狀態，由彈簧元件導致，因此n(0)與初始應力或應變成正比可寫作n(0) =kσ0，其中k為常數。在后續應力松弛過程中，其隨時間推移逐漸向黏性不可逆變形轉變。為推導應力松弛響應，應當進行未轉變狀態與轉變狀態變形單元數目分析。設n(t) 為t時刻未轉變的變形單元，基于一階動力學，有

因此基于微觀尺度變形單元轉變所得應力松弛響應公式（9）與Maxwell 模型推導所得公式（6）形式完全相同。

1.2 廣義Maxwell 模型引入

由于Maxwell 模型中僅有單一特征時間，其形式簡單，與真實黏彈性材料應力松弛響應相差甚遠。圖3 所示為一種Zr 基非晶合金的應力松弛響應，其中實線為采用式（6）對實驗數據進行最小二乘擬合所得，其應力衰減極快，完全無法描述實驗數據。

圖3 非晶合金應力松弛響應

圖4 廣義Maxwell 模型[7]

事實上，非晶合金屬于典型玻璃態材料，其微觀結構長程無序，短程有序，存在密度、焓和熵等的起伏，在外加力場作用下存在諸多轉變位點，即能量狀態相對較高的原子團簇。各轉變位點的激活特征時間不盡相同。常見聚合物，各種玻璃態物質均有此特性。因此，采用單一特征時間Maxwell 模型無法對非晶合金的應力松弛行為進行描述，需要考慮多個特征時間疊加。因此式（6）可改寫為

采用式（10）描述非晶態材料應力松弛等黏彈性響應，通常人為給定2～5 個可能的特征時間并進行擬合，以獲得對應特征時間的松弛強度，或直接擬合實驗數據以獲得有限個特征時間及其強度[8]。如圖5(a)和圖5(b)分別為n=2 和n=4 情況下根據式（10）對應力松弛實驗數據的最小二乘擬合曲線，擬合參數見附錄部分附表1 和附表2?？芍攏=4 時有限譜法可以相當好地吻合實驗數據。

圖5 有限譜法對應力松弛響應的最小二乘擬合，其中(a)和(b)中實線分別對應于n=2 和n=4

圖6 應力松弛曲線計算結果：（a）采用Gauss 正態分布；（b）采用Gumbel 分布

然而，對于有限譜法的使用應當謹慎。因為一是有限譜法所需參量隨特征時間個數成倍增加，例如n=4 時，式（2）包含7 個未知參量，此時最小二乘擬合發散，會導致解的不唯一性。二是對于常見的非晶態物質，由于其結構無序本質，在宏觀尺度考慮幾個甚至數十個有限離散特征時間的黏彈性過程意義不大。

1.3 連續譜方法及特征時間分布形式

對于式（10）所給出的廣義Maxwell 模型表達式，若繼續增加并聯的Maxwell 單元數目，當n趨向于無窮時，應力松弛響應可通過積分形式給出

式中,g(τ) 代表特征時間分布。該公式是廣義Maxwell 模型描述應力松弛響應的連續形式，欲采用式（11）描述實驗曲線，重點在于分析特征時間的分布形式g(τ) 。

考慮到非晶態材料微觀結構空間分布不均勻性，前已述及，這種微觀結構非均勻性對應其微區域的能量（焓和熵等）參數的起伏和波動[9]。已有研究表明，非晶合金活化能量譜和彈性常數實驗測量近似于正態分布[10]，而根據Arrhenius 公式，τ=τ0exp[Ea/(kT)] ，式 中τ為 激活特征 時 間，τ0為指前因子，Ea為原子團簇激活運動所需的激活能，k= 1.38 ×10–23J/K 為玻爾茲曼常數，T為溫度。由Arrhenius 公式可知激活能分布可近似為特征時間的對數分布。因此，我們首先考慮特征時間在對數時間尺度上的Gauss 正態分布稱Gumbel 分布與實驗結果更為吻合；而采用對稱的正態分布，計算結果在松弛末尾階段無法吻合實驗結果。表明非晶態材料變形單元特征時間分布在對數尺度上可能并非對稱正態分布，而是某種與Gumbel 分布近似的非對稱形式，其分布向低能量區域有延展。

1.4 Maxwell 模型的應用拓展[13]

對于Maxwell 單元或其并聯結構而言，應力松弛過程中應力均隨時間逐漸向零應力遷移，該情況與非晶合金這種原子玻璃或者低分子量玻璃材料的松弛過程吻合。這些玻璃態材料弛豫單元相對簡單，弛豫單元主要為原子或小分子團簇。然而對于具有長鏈體系的非晶態聚合物而言，其鏈段交聯導致應力松弛并非松弛至零應力，而是到某一非零殘余應力σ∞，且交聯程度越大，該非零殘余應力越大，如圖7(a)所示。

圖7 (a)不同交聯度的非晶聚合物應力松弛響應；(b)廣義Maxwell 固體模型

采用圖4 中考慮多個Maxwell 單元的并聯模型難以描述該類型材料應力松弛響應過程，需并聯一個彈簧元件以模擬該殘余應力，如圖7(b)所示，其應力松弛響應可描述為

2 結語

本文首先引入彈簧和黏壺，給出Maxwell 模型的宏觀分析，并給出其應力松弛響應表達式。不同于現在廣泛采用的教材，本文亦結合非晶合金黏彈性變形領域的相關研究，從激活的變形單元轉變動力學角度，分析了應力松弛響應可能的微觀機制。通過采用Maxwell 模型推導所得單一特征時間的指數松弛公式無法描述真實非晶態固體的應力松弛曲線，進而引出廣義Maxwell 模型。在廣義Maxwell 模型中，通過對有限個Maxwell 單元并聯的有限譜法分析，進而考慮了廣義Maxwell模型的積分形式，并分析了由此產生的特征時間分布。最后，通過對高分子聚合物介紹，進一步拓展了廣義Maxwell 模型的應用范圍。授課過程由表及里，層層遞進，讓學生知其然，亦知其所以然。主要結論如下。

(1) Maxwell 模型是理解黏彈性理論的基礎，其應力松弛過程為指數響應。借助微觀層面可能涉及變形單元的一階動力學轉變進行分析，解決了學生在理解Maxwell 模型本質方面的困惑。

(2) 真實非晶態固體（如非晶合金）的應力松弛響應無法采用Maxwell 模型的指數響應描述，需要考慮多個Maxwell 單元的并聯。

(3) 對于廣義Maxwell 模型的積分形式，需考慮特征時間的分布形式，通常為對數尺度上對稱或非對稱分布。對于非晶態固體而言，非對稱分布更符合其松弛響應。