一種基于模型概率單調性變化的自適應IMM-UKF改進算法

王平波 陳 強 衛紅凱 賈耀君 沙浩然

(海軍工程大學電子工程學院 武漢 430033)

1 引言

交互式多模型(Interacting Multiple Model,IMM)算法將目標狀態定義為多個運動模型的融合來解決目標的復雜運動態勢估計，目前已經有廣泛應用[1-3]，通過不同的濾波器進行目標狀態估計實現目標跟蹤。但由于濾波器需利用目標先驗或后驗信息，導致模型切換存在遲滯性和模型轉移速率慢的缺點，從而影響目標跟蹤精度。

IMM算法中的濾波器選擇很大程度影響了目標跟蹤精度，現有的主要濾波算法有擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter, EKF)、無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)、粒子濾波(Particle Filter, PF)等[4,5]。EKF通過泰勒級數展開實現非線性系統線性化，近似算法導致誤差增大，且計算過程涉及雅可比矩陣，計算量較大；UKF采用無跡變化(Unscented Transformation, UT)來處理均值和協方差的非線性系統[6,7]，算法簡單且精度較高；PF采用空間隨機樣本，獨立于系統模型，精度很高，但計算量遠超前兩種算法。本文選用UKF作為IMM算法中的濾波器。

現有的IMM-UKF算法優化方向主要有模型選擇[8,9]、濾波算法優化[10]及后驗概率修正[11-15]。文獻[8]通過修正轉彎模型對目標轉彎角速度進行實時修正，減少算法中的模型數量，從而提高了運算速度。文獻[9]建立Skew-T分布非對稱重尾噪聲來表示模型。文獻[10]提出了一種改進的強跟蹤自適應無跡卡爾曼濾波對目標進行跟蹤，縮短誤差收斂時間，有效提高了跟蹤精度。文獻[11]提出一種端到端學習的自適應IMM算法，提高了跟蹤精度和魯棒性。文獻[12]通過對相鄰時刻同一模型概率的變化修正轉移概率，文獻[13]定義了兩模型間誤差壓縮率比值，對轉移概率進行修正，文獻[14]在文獻[13]的基礎上對修正因子進行改正，并設立轉移概率的閾值，對大于閾值的轉移模型概率進行二次修正，文獻[15]在文獻[14]的基礎上，通過設立步長判定窗的方式，加快了模型轉移后模型的穩定性。文獻[11-15]均是利用后驗信息修正馬爾可夫轉移矩陣提高算法精度，但后驗信息修正需要基于新的信息，而水下目標在模型間切換初期，初速和角速度變化都較小，在運動軌跡上的體現不明顯，單純利用此信息無法使當前不匹配模型概率快速下降及匹配模型概率快速提升，因此仍存在模型之間切換的遲滯和模型轉換慢的問題。

本文在現有的自適應IMM-UKF算法的基礎上[13-15]，利用后驗信息中的各模型概率的單調性變化對馬爾可夫轉移概率矩陣及模型概率進行二次修正，實現了更快的模型轉換，有效解決了模型的遲滯性，提高了目標跟蹤精度。

2 目標模型

2.1 運動模型

基于2維直角坐標系建立目標的運動模型和觀測模型。本文采用勻速直線(Constant Velocity, CV)模型、勻加速直線(Constant Acceleration, CA)模型、協同轉彎(Coordinate Turn, CT)模型對目標運動狀態建模。目標運動的離散時間狀態方程為

2.2 觀測模型

以聲吶位于原點對同一目標進行觀測，目標的觀測模型為

其中，z(k) = (rk,θk)為k時刻距離和方位的觀測值；X(k)為k時刻目標狀態信息；v(k)為觀測噪聲，由傳感器的量測誤差決定；h(·)為狀態向量和觀測值之間的轉換方程，其轉換關系為

聲吶在實際量測過程中，量測誤差會隨著距離的增大而增大。為使模型更加貼近實際，可以將其考慮為隨距離線性增大，假設聲吶的距離誤差取實際量測值的α倍，方位誤差取固定值φrad，因此噪聲協方差矩陣G(k)為

其中，rk為k時刻目標距離，v(k)為噪聲傳輸矩陣，ωk為2維零均值的高斯白噪聲向量。

3 自適應IMM-UKF算法

3.1 標準IMM-UKF算法

標準的IMM-UKF算法可分為4個模塊，可根據上一時刻狀態的輸入交互、UKF濾波、模型概率更新及狀態估計融合輸出交互計算，算法原理如圖1所示，初始化目標狀態估計及模型概率和模型轉移概率，交互后作為IMM模型的輸入，通過UKF對模型概率進行更新，最后通過對不同的模型進行交互，得到各模型狀態和對應的協方差的融合值，估計混合器將結果輸出。

標準的IMM-UKF算法的基本過程如下。

(1) 交互輸入。由k時刻的目標狀態估計和每個模型對應的概率，得到濾波器輸入的狀態估計和協方差。

其中，式(5)和式(6)分別為對模型概率和協方差矩陣概率的初始化，為k時刻模型j的狀態交互值，為k時刻濾波器i的狀態輸出值，為k時刻j的協方差矩陣狀態交互值，為k時刻濾波器i的協方差矩陣輸出值。μij(k+1|k)為轉移概率矩陣從模型i切換至j的概率，式(7)中，πij為轉移概率矩陣的第i行第j列元素，μi(k)為k時刻i模型為匹配模型的概率預測值。

(2) UKF濾波。通過交互作用輸出的混合狀態估計和混合協方差，在不同運動模型下的UKF濾波器濾波，得到k+1時刻狀態估計和協方差估計。

(3) 模型概率更新。

其中，Λj(k+1)為模型的似然概率；zj(k+1)為量測殘差；Sj(k+1)為殘差協方差，通過UKF濾波獲得，μj(k+1)為k+1時刻模型j為匹配模型的概率，μi(k)為k時刻模型i為匹配模型的概率。

(4) 估計融合。對當前時刻各個子濾波器輸出的狀態估計值和對應的協方差進行加權求和得到融合后的狀態估計。

3.2 自適應IMM-UKF算法

標準的IMM-UKF算法根據先驗信息確定轉移概率矩陣，這種辦法可以很好地解決多模型切換的問題，但是由于使用的是先驗信息，必然會存在模型切換遲滯的問題，進而導致跟蹤精度不高?；诖?，文獻[13]依據當前時刻自適應更新轉移概率πij，修正后的轉移概率為

但實際應用中，轉移概率矩陣易發散，文獻[14]對概率轉移矩陣進一步修正，重新定義修正因子為

其中，l為調整系數，該值越大調整速度越快，該種辦法仍存在下一時刻模型轉移錯誤的問題。文獻[15]在文獻[14]的基礎上，提出用步長定義判定窗對轉移概率進行2次修正，若模型概率最大的模型在3個步長內有2個步長為同一模型，且模型概率高于設定的閾值，則提高該模型的轉移概率。該方法可使匹配模型概率維持在較高水平，從而提高模型匹配時的跟蹤精度。若模型發生切換，該法轉移概率會相應改變，但無法快速增加匹配模型概率和減少不匹配模型概率，使不匹配模型在較長時間內仍為概率最高的模型，模型間的切換速度會因此滯后。

4 改進自適應IMM-UKF算法

模型切換速度是影響跟蹤精度的重要因素。若模型發生切換，當前概率極大模型變為不匹配模型，其概率呈遞減趨勢，與目標運動狀態匹配的模型概率呈遞增趨勢，但由于模型概率變化是一個漸變的過程，易出現切換滯后的問題。因此，為了加快模型切換速度，提出一種根據模型概率單調性變換對轉移概率矩陣和模型概率進行2次修正的改進算法。該法將極大模型概率的單調性變化作為模型切換的判定依據，分兩類判定修正其模型轉移概率，從而加快模型概率變化過程。

根據文獻[14,15]的仿真數據分析，在發生模型切換的情況下，以3個運動模型的交互式多模型算法為例，修正規則如下：

(1) 排序，根據時刻各個模型概率的預測值由大到小進行排序，定義標志矩陣L,k時刻模型概率極大值、次極大值和極小值分別賦值lmax(k)=1,lmid(k)=0,lmin(k)=-1。則

其中，標志矩陣L的橫排為各模型的標志值，縱列為各時刻模型的標志值。

(2) 判定，通過標志矩陣L連續3個步長的標志值進行兩類判定

第1類判定：

第2類判定：

其中，l(n,i)為i時刻第n個矩陣的標志值，μn(k)為k時刻n模型的模型概率，λ1,λ2為本文設定的概率判定閾值。本文判定閾值λ1,λ2取0.9與文獻[14]相同。

第1類判定是連續3個步長，極大模型概率遞增且大于判定閾值；第2類判定是連續3個步長，極大模型概率單調遞減，次極大模型概率單調遞增，且極大值大于判定閾值。關于判定閾值λ1,λ2的取值，通過僅改變判定閾值進行控制變量的仿真實驗，結果表明λ1,λ2的取值均不宜過小，當取值低于0.9時，更易落入判定，使得模型切換變得不穩定，當取值高于0.9時，更難落入判定，使得算法無法實現。

(3) 調節參數

第1類判定：

其中，πmax,πmid,πmin為模型概率極大、次級大和極小的模型轉移概率，為修正后模型概率極大、次級大和極小的模型轉移概率。

當3個步長內的模型符合第1類判定，則判定目標狀態在向極大值模型轉變，將最大模型的轉移概率提升至調節閾值λ，剩下的模型概率歸一化。

第2類判定：

當3個步長內的模型符合第2類判定，則判定目標狀態開始從極大值模型向次極大值轉變，將次極大值模型的轉移概率提升值調節閾值λ，剩下的模型概率歸一化。調節閾值λ的概率應在[0.9,1]之間取值，以提升模型轉換速度。

(4) 在數據長度小于3個步長和不滿足兩類判斷的情況時，采用文獻[14]的自適應算法進行修正。

5 仿真分析

5.1 CA-CV-CT運動模型

為驗證本文提出的自適應IMM-UKF算法的效果，進行200次蒙特卡羅仿真實驗，并與文獻[14,15]的算法效果進行比對。

假設目標在2維平面運動，以聲吶平臺位置為原點(0,0)，運動目標0～30 s做勻加速直線運動，30～150 s做勻速直線運動，150～210 s做角速度為0.02 rad/s的勻速右轉彎運動，210～300 s做勻速直線運動，間隔5s做一采樣。目標初始狀態向量聲吶量測誤差服從正態分布，協方差矩陣為G(k)=IMM算法使用CA, CV, CT模型。3個模型在第1個目標點的概率均為1/3，概率轉移矩陣Pij=(0.8,0.1,0.1;0.1,0.8,0.1;0.1,0.1,0.8)，經過200次蒙特卡羅仿真，得到本文自適應IMM算法與文獻[14,15]算法的對比如圖2-圖4所示。

圖2 CA-CV-CT軌跡3種算法跟蹤軌跡對比

圖2是3種算法的跟蹤軌跡對比，從圖中可以看出，本文算法在目標勻速狀態和轉彎狀態均更接近真實值，受聲吶量測影響小，可以保持良好的模型狀態匹配。圖3是3種算法的位置均方根誤差和速度均方根誤差的均值對比，可以看出在模型切換的時刻，本文算法位置均方根誤差突變明顯更小。圖4是3種算法模型概率對比，從圖中可以看出，在運動模型切換至勻速轉彎模型時，本文算法較文獻[14]在保證切換時刻較快的同時，模型概率明顯更高，較文獻[15]能夠提前35 s切換模型，且匹配模型的模型概率能夠快速提升，匹配的模型概率基本在60%以上，不僅使得主次模型更加分明，而且算法的模型與實際情況更加匹配。表1是3種算法位置ARMSE和速度ARMSE的對比，可以看出本文算法的位置均方根誤差均最小，相比文獻[14]減小了6.0%，比文獻[15]減小了3.8%，目標跟蹤精度有所提升。

表1 CA-CV-CT軌跡3種算法ARMSE對比

圖3 CA-CV-CT軌跡3種算法均方根誤差對比

圖4 CA-CV-CT軌跡3種算法模型概率對比

5.2 CV-CT(左)-CT(右)運動模型

為充分驗證算法性能，參照文獻[14,15]的目標軌跡及參數進行仿真對比，運動目標0～60 s做勻速直線運動，60～110 s做角速度為0.02 rad/s的勻速左轉運動，110～180 s做勻速直線運動，180～240 s做角速度為0.02 rad/s的勻速右轉彎運動，240～300 s做勻速直線運動。經過200次蒙特卡羅仿真，本文算法與文獻[14]、文獻[15]算法對比如圖5-圖7所示。

圖5 CV-CT(左)-CT(右)軌跡3種算法跟蹤軌跡對比

通過對比圖5-圖7及表2可以看出，總體上本文算法跟蹤精度優于文獻[14,15]算法。從圖6可以看出，本文位置和速度ARMSE均優于文獻[14,15]，從表2的結果可以看出，本文的目標跟蹤精度較文獻[14,15]均有所提升，其中位置ARMSE較文獻[14]提高12.5%，較文獻[15]略有提升，速度ARMSE較文獻[14]提升11.1%，較文獻[15]略有提升。從圖7可以看出，在目標運動模型轉入CT右模型時，本文算法較文獻[14]提前了15 s，較文獻[15]提前了35 s切換至匹配模型，改善了模型切換遲滯問題，同時模型的概率峰值高于文獻[14,15]，提升了模型概率。本例中，由于目標狀態改變較為頻繁，因此文獻[14,15]算法的模型概率較低，跟蹤誤差較大，本文算法通過減少遲滯和提高匹配模型概率的方式，能更好地適應模型狀態快速變化，跟蹤效果更優。

表2 CV-CT(左)-CT(右)3種算法ARMSE對比

圖6 CV-CT(左)-CT(右)軌跡3種算法均方根誤差對比

圖7 CV-CT(左)-CT(右)3種算法模型概率對比

6 結束語

本文針對已有自適應IMM-UKF算法中模型間切換的遲滯和切換后轉換慢的不足，在文獻[14,15]的基礎上，提出一種改進的自適應IMM-UKF算法，利用模型概率單調性變化，對馬爾可夫轉移概率矩陣進行二次修正。仿真實驗表明，較現有的自適應IMM-UKF算法，該算法能有效提升水下目標跟蹤精度，具體而言，無論是目標運動狀態平穩，還是目標運動狀態頻繁切換，本文算法精度均更佳，因此在實際水下目標跟蹤中更具應用價值。