從一道研究生入學考試試題的多種解法探討積分學教學*

王 飛,南夢迪

(1.新疆農業大學 數理學院,新疆 烏魯木齊 830052;2.江南大學 理學院,江蘇 無錫 214122)

全國碩士研究生入學考試是我國的一項高級別的選拔性考試,已有許多學者對其命題進行了研究[1-6].曲線積分和曲面積分是高等數學中的難點,涉及曲線、曲面的定義,格林公式、高斯公式和斯托克斯公式,曲線、曲面積分的關系,曲線積分與路徑的無關性,曲線、曲面積分轉化為定積分或重積分等知識點,綜合性強且計算量大,歷年來考生在此考點的得分率都較低.本文以2022年全國研究生入學考試數學一的第二型曲線積分試題為例,對這類題的解法進行多角度的探討,并結合多年的高等數學教學經驗提出積分學教學方面的一些建議:深刻理解概念表達的物理意義;注意區分概念的共性與個性;構建知識網絡結構圖;加強對一題多解能力的訓練.

1 試題及其解法

試題L是曲面Σ:4x2+y2+z2=1,x≥0,y≥0,z≥0的邊界,曲面方向朝上,已知曲線L的方向和曲面的方向符合右手法則,求

I=∮L(yz2-cosz)dx+2xz2dy+(2xyz+xsinz)dz.

解法一由Stokes公式可得

由兩類曲面積分的關系可得

評注(1) 該解法先利用Stokes公式將第二型曲線積分化為第二型曲面積分,然后運用兩類曲面積分的關系轉化為僅對含變量x,y的曲面積分,再利用投影法轉化為二重積分計算.求解過程涉及知識點較多,技巧性較高,計算量大,因而得分率比較低.

(2) 在利用Stokes公式將原積分化為第二型曲面積分后,也可以直接用投影法計算,具體過程如下.

記

Dyz={(y,z)|y2+z2≤1,y≥0,z≥0},Dxy={(x,y)|4x2+y2≤1,x≥0,y≥0},

則

由于

可見,這樣求解計算量仍相當大.

解法二由Stokes公式可得

由兩類曲面積分的關系,有

從而

由于

評注這里先用Stokes公式將第二型曲線積分化為第二型曲面積分,進一步再由兩類曲面積分的關系轉化為第一型曲面積分,最后化為二重積分.該解法的計算量也非常大.

解法三將L表為L=L1+L2+L3,其中

L1={(x,y,z)|x=0,y2+z2=1,y≥0,z≥0},方向從點(0,1,0)到(0,0,1);

由第二型曲線積分的定義易知

故

補充曲線

L5={(x,y,z)|x=0,y=0,0≤z≤1},方向從點(0,0,0)到(0,0,1);

則由Green公式得

評注(1) 該解法借助第二型曲線積分的定義,將曲線方程代入被積函數化簡,把較復雜的曲線積分轉化為僅在L2上的積分,再利用Green公式快速得到了結果.該解法的計算量較小.(2) 注意到∮L2xz2dy=0,本題還可利用曲線積分與路徑的無關性求解.

解法四由Stokes公式可得

記

Σ1={(x,y,z)|x=0,y2+z2≤1,y≥0,z≥0},

Σ2={(x,y,z)|y=0,z2+4x2≤1,z≥0,x≥0},

Σ3={(x,y,z)|z=0,4x2+y2≤1,x≥0,y≥0},

其中Σ1取后側,Σ2取左側,Σ3取下側.

由第二型曲面積分的定義可知

于是由Gauss公式得

評注該解法先用Stokes公式將第二型曲線積分化為第二型曲面積分,然后由第二型曲面積分定義,通過補面法構造了封閉曲面,從而可利用Gauss公式快速求解.

2 對積分學教學的一些建議

結合上節給出的四種主要解法和教學經驗,筆者對積分學教學提出一些建議.

2.1 注重理解概念的物理意義

2.2 注意區分概念的共性與個性

2.3 構建知識網絡結構圖

從解法一到解法四涉及的知識點有Green公式、Gauss公式和Stokes公式,曲線積分與曲面積分之間的關系,曲線積分和曲面積分轉化為重積分等,綜合性很強.因此,構建知識網絡結構圖十分重要.例如對于第二型空間曲線積分,我們可以構建如下的知識結構圖.

圖1 第二型空間曲線積分計算的知識網絡

2.4 注意一題多解能力的訓練

一題多解可以啟發學生從多角度分析問題,找準突破口,從而解決問題.這樣的訓練能使學生掌握更多知識,能提升學生多知識的運用能力,提升學生思維的品質.例如,學生進行本題多種解法的探究,可以熟悉曲線、曲面積分的知識點和技巧,獲得發現簡明解答方法的機會,提高解題能力與數學素養,增強創新意識,培養熱愛探索的優良品質.