探究最小二乘配置法在高層建筑物中的應用

曾 致，雷 剛

（西安市勘察測繪院，陜西 西安 710054）

0 引言

隨著社會技術的進步和中國現代化進程的不斷加快，城市各類高層、超高層建筑越來越普及化和密度化[1]。城市建筑物高度以及承載度的增加，使得地基基礎及周邊的地層發生形變，建筑物發生不可預估的沉降，如果沉降形變值超過某一限值時，將會嚴重影響建筑物安全和人民生命安全[2-3]。因此，城市高層建筑物在建設過程中必須對其進行不定周期的沉降監測，以便對建筑物以及周邊地質的沉降量及沉降速率進行分析和預測，這也是保障建筑物安全和順利完工的關鍵[4-5]。

目前，很多學者針對建筑物的沉降觀測展開了多層次的研究。熊俊楠等[6]利用平差模型與基點穩定性的聯系對高程建筑物沉降進行了分析；牟洪洲[7]針對GM（1，1）模型、多元回歸分析模型及時間序列分析模型，得出組合模型比單一模型在擬合和預測上更具有優勢；閆宏亮和馬得花[8]對無偏灰色模型、時間序列線性移動平均法及馬爾科夫模型進行研究，并在此基礎上建立時間序列—馬爾科夫組合模型對建筑物沉降進行預測；王海城和徐進軍[9]針對構造方法的不嚴密性，給出了灰導數法背景值構造模型和參數最優估值的計算方法，對南水北調工程沉降監測實例進行建模預測，收到了良好效果；孫策等[10]提出了一種基于小波分解的SVM-AR組合預測模型，得出在小樣本、低信噪比條件下具有更好的預測性能，能夠對高層建筑物沉降進行準確模擬與預報；徐飛[11]針對高層建筑物沉降預測模型精度低、與實測值不符等問題，提出了基于時序SAR技術的高層建筑物沉降變形預測方法。通過計算，結合BP神經網絡構建高層建筑物沉降變形模型，實現沉降變形預測，王洪德和李騫[12]為了對地鐵車站深基坑施工過程引起的周邊建筑物沉降進行預警，利用改進的灰色Markov模型，預測地鐵車站施工過程中周邊建筑物的沉降量。研究結果表明：與改進的灰色模型相比，改進的灰色Markov模型預測的相對誤差從4.2%降到2.1%，程朋歡和盧德基[13]提出一種使用辛普森公式優化背景值的灰色模型，以新的積分方式優化背景值以提高模型預測精度。通過基坑沉降與地表沉降兩組實例進行實驗，結果表明，使用辛普森公式優化背景值后，模型的預測精度更高。但是對高層建筑沉降普遍性研究較少。

基于此，文章利用MATLAB對最小二乘配置法、時間序列進行建模，對高層建筑物實測沉降數據建立預測模型，對幾期沉降形變進行預測，將預測數據與實測數據進行比對分析，從而探究最小二乘配置法在高層建筑物形變監測數據處理中應用的可行性及適用性，為高層建筑施工提供參考依據。

1 研究方法

1.1 最小二乘配置法

最小二乘配置模型和隨機模型為[14-17]：

式中：L為觀測向量；Y為非隨機參數向量；X為信號；Δ 為觀測噪聲；X=（X1，X2）T，X1為觀測點信號，X2為未測點信號，R（B）=m；R（G）=t，分別為系數矩陣的秩。

誤差方程為：

按照最小二乘配置原理估計的準則有：

該公式為最小二乘配置原理，式中P為對稱正定方陣，是觀測值L的權；R為一個適當給定的正定矩陣，稱為正規化矩陣；利用拉格朗日乘數法，構造如下函數：

式中：KT=[K1，K2，...，Kn]，分別令

由此得到法方程為：

由于G，B 列滿秩，故可證明法方程系數陣可逆，未知量X?和Y?有唯一解。由法方程可以得到：

式中：M=B（BTPB+R）-1BTP，I為單位矩陣，當R矩陣正定時，就可以得到X?和Y?的唯一解。

通過上述計算可得觀測值的估值為：

令

則L?=J(α)L

在這里稱J(α)為帽子矩陣。

其中，

Y?的方差陣為

V 的方差為：DV=J(α)DΔJ(α)T

最小二乘配置法的特點：

（1）函數模型中引入了隨機參數Y，并且已知了先驗期望和方差，這是最小二乘配置最大的特點，因此這種方法的應用前提是必須要求比較準確的已知先驗統計特性。

（2）求參數的估值可稱為擬合，求已測點信號S為濾波。估計與S 之間存在協方差關系，而與觀測無直接關系的未測點信號稱為推估。

（3）由于模型中導入了信號，隨機量方差不再等于其誤差方差，而是誤差方差和信號方差合成的一種方差，但其衡量觀測精度的指標仍是其誤差方差。

1.2 時間序列

按時間順序排列的一組隨機數據稱為隨機時間序列。在工程建設中，時間序列也得到了廣泛應用，時間序列可以預測邊坡的位移、建筑地基的沉降量、隧道變形、基坑支撐軸力等。

設有連續觀測樣本序列{x1，x2，…，xn}，對應的白噪聲序列{a1，a2，…，an}，白噪聲的序列均值為0，且相互獨立。其具有以下優勢：

（1）時間序列模型是動態模型，它對動態數據具有外延特性。

（2）時間序列模型能描述隨機變量與其他變量之間的相關關系，以及時間序列內部的相關關系。

（3）由于時間序列分析是建立在輸出等價的基礎之上，可將所觀測到的時序作為系統的一維或多維的輸出。變形體位移構成時序，從統計角度來揭示各時序內部與各時序之間的統計關系。

2 高層建筑物沉降量預測

2.1 沉降觀測點分布情況

本工程以某29層高的建筑物為研究對象，現場沉降觀測點分布情況如圖1所示。監測網由逆時針方向布設在墻體上的15個監測點組成，點間距分布均勻，形變監測點埋于室內地面上方20～40 cm處。

圖1 沉降觀測點分布圖

為確保觀測成果可靠性和正確性，監測網數據處理分析采用采用已知的控制點進行聯測，利用幾何水準測量的方法進行現場觀測，觀測精度符合二等水準測量規范要求。通過檢核，在觀測中最大沉降量為7.2 mm，最小沉降量為0.8 mm，累計沉降量為42.8 mm，平均沉降量4.12 mm＜200 mm，未出現沉降異常變化，所有觀測結果均符合《建筑地基基礎設計規范》《建筑形變測量規范》《建筑物沉降觀測方法》等[18]國家規范中高層建筑物沉降的要求。

2.2 沉降數據獲取與處理

文章以S1為模型計算點，沉降觀測時間選取為2022 年3 月15 日—2022 年9 月28 日，共獲得30 期沉降數據，其中1～21 期為實測數據，22～30 期為預測數據。對所獲的1～21 期實測數據利用MATLAB軟件，用最小二乘配置法對時間序列進行建模以及平差解算，獲得22～30期的預測沉降高程及精度，為后文的沉降分析及變形異常提供數據基礎。實測高程與預測高程相關數據詳見表1、表2。

表1 S1點觀測次數與實測高程值

表2 實測高程與預測高程

由表2分析可知，殘差絕對值介于0～0.112 mm，相對誤差最小為0，最大為20%，平均相對誤差為3.81%。其中，隨著預測期數增加，實測沉降量與預測沉降量差值越來越大，從28期開始殘差絕對值和相對誤差呈倍數增加，說明了最小二乘配置在高層建筑物沉降量適合短期預測，而長期預測與實測數據還是存在一定的差距，并且隨著時間的增加而增加。同時，從圖2可看出，預測數據和實測數據相對沉降趨勢呈一致性變化，表明了該建筑物地基的穩定性。

圖2 實測高程和預測高程變化趨勢

從表3 和圖3 分析可得出，預測沉降變化趨勢與實測沉降變化趨勢基本保持一致，但由于未能考慮沉降監測存在的外部誤差，導致部分點位變化異常，這對整體預測趨勢精度有所降低。

表3 實測高程與預測高程沉降量

圖3 實測高程與預測高程沉降趨勢變化

綜上所述，最小二乘配置法適合對短期沉降進行預測，而對于高精度、觀測時間長的建筑物，不適合定量預測，只能從沉降量趨勢變化分析建筑物沉降。同時，下一步將最小二乘配置法與小波變換、灰色預測模型結合，處理觀測數據噪聲后預測沉降變化。

3 結論

基于MATLAB 對最小二乘配置法及時間序列對高層建筑物實測沉降數據建立預測模型，對幾期沉降形變進行預測，將預測數據與實測數據進行比對分析，從而探究最小二乘配置法在高層建筑物形變監測數據處理中應用的可行性及適用性。

（1）從預測數據和實測數據對比分析可知，最小二乘配置法方法簡單、預測精度高，在高層建筑物沉降中適合進行短期預測，但長期預測與實測數據還存在一定的差距，殘差絕對值和相對誤差呈倍數增加。

（2）從沉降趨勢變化可知，最小二乘配置法在沉降趨勢變化中具有優勢性，并對部分點位異常變化能夠及時反應，這為判斷沉降量是否出現異常提供了參考。

（3）該方法未能對觀測數據噪聲進行去除，使預測數據精度有所降低。下一步將最小二乘配置法與小波變換、灰色預測模型結合，對高層建筑物進行預測分析。

（4）將最小二乘配置法與時間序列組合，同時利用MATLAB 優勢，對最小二乘配置法進行了改進和程序化，提高了對大型建筑物變形數據的處理能力，縮短了變形監測的周期，便于對某一建筑進行動態監測。