朱嘉穎
數學源于對真實問題的思考,離不開善于觀察的慧眼。數從自然數走向小數,從正數走向負數,從有理數走向實數的漫長過程中,我們與無理數相遇了。
無理數的“真面目”
我們知道,無理數是無限不循環小數。我們還能在數軸上找到表示無理數的點。比如[2],我們可以在數軸上方畫一個Rt△ABC,點A在原點處,點B在數軸1的位置,AB=BC=1。在Rt△ABC中,AC2=2,AC=[2]。以原點為圓心,AC長為半徑作圓弧,與數軸正半軸的交點即為所求的[2](如圖1)。
觀察數軸,我們可以發現1<[2]<2,那么[2]到底是多少呢?我們可以通過不斷嘗試大于1且小于2的數,逐漸接近[2]的精確值。在數學中,不斷縮小取值范圍可以通過“二分法”實現。我們先取1與2的中間值1.5,因為1.52=2.25>2,所以1<[2]<1.5。接著試1與1.5的中間值1.25,因為1.252=1.5625<2,所以1.25<[2]<1.5。為了運算的簡便,我們不妨嘗試計算1.3,因為1.32=1.69<2,所以1.3<[2]<1.5。接下來我們嘗試1.4,因為1.42=1.96<2,所以1.4<[2]<1.5。以此類推,[2]的取值范圍不斷精確,最后,我們可以推得[2]≈1.414。如果有興趣的話,你可以繼續用“二分法”來嘗試確定[3]、[5]的大小。
無理數“PK記”
既然無法精確表示無理數的值,我們該如何比較無理數的大???如[3]和[7]。
方法一,因為[3]<[4],[7]>[4],所以[3]<[7]。
方法二,因為([3])2=3和([7])2=7,3<7,所以[3]<[7]。
方法三,把[3]和[7]在數軸上表示出來,觀察它們的左右位置。
取中間值法、平方法、數軸法,我們可以從“數與形”兩個角度,比較兩個無理數的大小。
無理數的“分割術”
我們如何拆分無理數的整數部分與小數部分?如求[3]的整數部分與小數部分。
方法一,用“數”:([3])2=3,而12=1,22=4,1<3<4,所以1<[3]<2。即[3]的整數部分是1,小數部分只要用整個數減去整數部分,即[3]-1。
方法二,用“形”:在數軸上把表示[3]的點畫出來。我們知道[3]無法表示為一個兩條直角邊都是正整數的直角三角形的斜邊,所以我們只能逆向思維,表示為一個一條直角邊為1、斜邊為2的直角三角形的另一條直角邊。如圖2,AB=1,用圓規在數軸上截取AC=2,則BC=[3]。觀察可知,[3]的整數部分是1,則小數部分是[3]-1。
顯然用“數”的方法,我們可以更快地將無理數進行“分割”。
那么,你能試著拆分一下[39]+4的整數部分與小數部分嗎?
無理數的“應用界”
當然,無理數還有很多的妙用。在數學中,我們可以在方格紙中畫一個三條邊長都是無理數的三角形;在生活中,普遍應用于藝術設計、建筑設計等領域的黃金分割比[5-12],也是個無理數……
我相信,只要我們擁有一雙善于發現的眼睛,一定可以發現更多與無理數相關的“故事”。
小作者用數學的眼光發現問題、提出問題,從有好奇心走向數學思考,進而分析問題、解決問題。我們的數學學習始于好奇,精于思考,成于堅持。讓我們像科學家一樣思考,不斷提高自己的數學思維能力。
(指導教師:張滕越)