一種顧及參數稀疏的GNSS瞬時鐘差模型

周圣淇 王中元 胡 超 王瑞光 姚雪燕

1 中國礦業大學環境與測繪學院,江蘇省徐州市大學路1號,221116 2 安徽理工大學空間信息與測繪工程學院,安徽省淮南市泰豐大街168號,232001

星載原子鐘作為GNSS導航衛星的重要載荷之一,維持著導航系統星上時間基準,其性能決定著導航衛星在軌服務壽命與精密單點定位(PPP)精度。衛星鐘差通過GFZ、WHU等數據分析中心發布,其采樣間隔為900 s、300 s、30 s。然而在實際應用中,接收機采樣間隔為30 s、15 s、10 s、1 s甚至更低。觀測數據不能滿歷元對應鐘差產品歷元,因此鐘差產品無法滿足實際應用需求,需要將衛星鐘差產品進行建模加密,獲得與實際觀測值相同或更小采樣間隔的衛星鐘差數據[1]。

為獲取更加連續和精確的鐘差改正值,需要使用內插或擬合方法對鐘差產品進行加密。目前,國內外常用的衛星鐘差建模加密算法有[2-3]:線性插值(linear interpolation)、拉格朗日插值(Lagrange polynomial interpolation)、切比雪夫擬合(Chebyshev polynomial fitting)、最小二乘多項式擬合(least squares polynomial fitting)等。本文在最小二乘多項式擬合基礎上,提出附加L1范數正則項(Lasso),并采用滑動建模方法,即滑動Lasso擬合法建立參數稀疏的GNSS瞬時鐘差模型。使用GFZ提供的精密鐘差產品,將滑動Lasso擬合法與滑動拉格朗日插值、滑動切比雪夫擬合、滑動最小二乘多項式擬合等3種常用的鐘差建模加密算法進行衛星鐘差擬合精度及PPP定位精度對比。

1 稀疏模型構建

稀疏模型的建立是在利用最小二乘多項式構建衛星鐘差模型時附加L1范數正則項,減少衛星鐘差數據中的誤差,以增加偏差的方式來減少方差,抑制鐘差模型過擬合,達到約束模型參數和去除次要變量的目的[4]。

1.1 Lasso擬合算法

Lasso算法函數表達式為:

W=argminW{(Y-XW)TP(Y-XW)+

α‖wj‖1}

(1)

式中,W為瞬時鐘差模型的參數矩陣;Y為真實鐘差值;α為正則化參數;‖wj‖1為W的L1范數。

本文使用快速迭代收縮閾值算法(FISTA)對Lasso進行求解,其表達式為:

(2)

式中,S(,)為軟閾值算子;ψk為Nestrerov加速迭代回歸參數。令

f(W)=(Y-XW)TP(Y-XW)

(3)

g(W)=α‖wj‖1

(4)

使用梯度下降法求解f(W),其中f(W)梯度計算使用2階泰勒展開式,忽略常數項,近端迭代式為:

Wk=argmin

λ‖W‖1+const}

(5)

設置Nestrerov加速項,ψk為Wk-1和Wk-2的線性組合,tk為組合權重因子,則:

(6)

(7)

將ψk代替Wk-1代入式(5)可得到式(1)解算的參數迭代式,若ψk-Wk小于設定的閾值或達到最大迭代次數,則返回擬合模型的系數向量。鐘差擬合模型的正則化參數選取通過K折交叉驗證(K-fold CV)來確定。研究表明[5],10折交叉驗證能夠更好地確定鐘差模型擬合的正則化參數。

1.2 滑動Lasso擬合算法

滑動Lasso擬合算法通過不斷變換擬合區域,令需要加密的區間始終處于鐘差擬合精度較高區域的中心。因此,使用滑動式方法建模加密能夠提高模型精度,大大減少擬合模型邊緣區域誤差較大的問題[6]。

2 實驗分析

為驗證滑動Lasso擬合算法在鐘差模型擬合中的精度及有效性,使用德國地學研究中心(GFZ) 2020-06-29～07-01發布的300 s采樣間隔的GBM精密鐘差產品進行衛星鐘差擬合精度與PPP定位精度分析。

2.1 鐘差數據預處理

在進行鐘差建模前,需要對鐘差數據進行預處理,去除大部分粗差以及鐘跳[7]。本文采用中位數偏差法(MAD)進行鐘差數據異常檢測,公式如下:

(8)

式中,m=Median{yi},yi為時鐘頻率數據;當|yi|>(m+n*MAD)時,則認為該數據為異常數據,需將其去除,本文n值取3可以較好地去除鐘差異常數據[8]。通過對鐘差數據進行預處理,可以減小異常數據的影響,提高鐘差數據的穩定性。

2.2 衛星鐘差擬合精度分析

通過滑動Lasso擬合、滑動拉格朗日插值、滑動切比雪夫擬合、滑動最小二乘多項式擬合對300 s鐘差數據進行加密得到30 s鐘差數據。將GFZ發布的30 s精密鐘差產品作為真值,采用均方根誤差作為擬合精度指標,比較各算法的擬合精度?？紤]到各衛星系統及不同類型原子鐘對鐘差插值建模的影響[9],選取衛星如表1所示,各算法的擬合精度如圖1和表2(單位ns)所示。

圖1 各算法鐘差擬合精度

表1 選取的衛星統計

表2 各算法平均擬合精度統計

通過圖1和表2可以看出,滑動Lasso擬合在BDS、GPS衛星上的精度有所提高,在GLONASS衛星上的擬合精度略微低于其他算法,在Galileo衛星上的擬合精度低于滑動拉格朗日插值和滑動最小二乘多項式擬合,高于滑動切比雪夫擬合。為更明顯地體現滑動Lasso擬合與其他算法的差異,以G01衛星鐘差數據預處理后第210～250歷元數據為例,鐘差頻率如圖2所示。圖中紅線為鐘差頻率中值線,紅點為變化較大但未被預處理剔除的點。對該時間段各算法的插值結果進行分析(表3)。

圖2 G01衛星部分鐘差頻率

表3 滑動Lasso擬合法精度提高率統計

綜上可知,當局部鐘差變化較大時,Lasso算法相較于其他3種算法能很好地降低異常鐘差數據對鐘差擬合模型的影響,提高模型擬合精度。此外,滑動Lasso算法在擬合銣鐘鐘差時精度最高,氫鐘鐘差擬合精度次之,銫鐘鐘差擬合精度最差。其原因為銫鐘噪聲相比于銣鐘更為平滑,發生局部跳變的現象更少[10]。因此,在原子鐘噪聲較大和局部跳變更為頻繁時,滑動Lasso擬合法能夠更好地防止鐘差擬合模型出現過擬合現象。

2.3 定位精度比較

選擇31個MGEX測站的30 s采樣間隔觀測數據進行分析,測站分布如圖3所示。

圖3 MGEX測站分布

為避免頻間鐘差等誤差項對實驗造成影響,采用雙頻無電離層靜態PPP進行解算。使用GFZ發布的最終軌道產品,截止高度角設置為15°。使用開源軟件GAMP進行解算,分別測試上述4種算法加密的30 s精密鐘差產品及300 s鐘差產品在PPP中的作用。本文設定當E、N、U方向偏差小于1 dm時濾波開始收斂,收斂后2 h的定位偏差用于統計定位精度。各測站在不同鐘差產品下的PPP定位精度以及箱線圖如圖4所示,表4(單位cm)為上述31個測站PPP平均定位精度。

圖4 各類鐘差產品不同方向PPP定位精度及箱線圖

表4 定位精度統計

由圖4與表4可知:

1)在E、N、U方向上,滑動Lasso擬合法的平均定位精度相較于滑動最小二乘多項式擬合法、滑動拉格朗日插值法、滑動切比雪夫擬合法均有所提升。

2)在N方向上,滑動Lasso擬合法的平均定位精度低于300 s精密鐘差產品,但從各測站的定位精度可知,300 s精密鐘差產品的定位精度并不總優于滑動Lasso算法,其定位精度的變化可能由多個因素的相互作用引起。

附加L1范數正則化后,Lasso算法可以有效提升最小二乘多項式擬合的定位精度,去除最小二乘多項式擬合中對擬合模型貢獻較小的非必要參數的影響,修正擬合模型誤差。因此,通過滑動Lasso算法插值加密的精密鐘差產品可以提高PPP定位精度。

3 結 語

本文提出一種顧及參數稀疏的GNSS瞬時鐘差模型構建算法,利用L1范數項對最小二乘多項式擬合進行約束,構建稀疏鐘差模型,并使用滑動建模法對精密鐘差產品進行建模。與目前常用的鐘差插值加密算法進行擬合精度與PPP精度比較,得到以下結論:

1)使用滑動Lasso擬合法建立稀疏模型能夠去除最小二乘多項式擬合中對擬合模型貢獻較小的非必要參數的影響,修正擬合模型誤差。相比于最小二乘多項式擬合法以及目前常用的滑動拉格朗日插值法、滑動切比雪夫擬合法,滑動Lasso算法建立的瞬時鐘差模型的擬合精度與PPP定位精度均有所提升。

2)在鐘差擬合建模過程中,若局部鐘差數據噪聲較大且跳變頻繁時,使用滑動Lasso擬合法對鐘差進行建模,能夠更好地去除誤差項過大造成的影響,修正鐘差模型誤差,防止鐘差模型過擬合。當采用誤差較大、局部跳變頻繁的鐘差數據進行定位時,使用滑動Lasso擬合算法進行鐘差數據建模的效果優于目前常用的鐘差差值擬合算法。