凹非球面的非零位干涉檢測技術

張 旭，李世杰，劉丙才，田愛玲，梁海鋒，蔡長龍

（西安工業大學 光電工程學院,陜西 西安 710021）

1 引言

非球面光學元件可以更好地校正像差、改善像質，提供出色的成像銳度和更高的分辨率，同時還能大大減少光學系統的鏡片數量、重量與尺寸[1]，已經越來越多地應用于軍事國防及高科技民用技術等領域[1-3]。在非球面制造過程中，高精度檢測手段可為加工過程提供準確的面形誤差分布，指導加工，為獲得高精度的非球面光學元件提供保障[4]。

常用的非球面檢測技術有輪廓檢測法、計算全息法與子孔徑拼接檢測法等。其中，非接觸式探針的輪廓測量法[5]可實現對凹、凸非球面的測量。其測量精度可達到亞微米級。但輪廓檢驗法精度受限、效率較低，適用于元件研磨期的精度檢測[6-7]。計算全息法可實現深度非球面的測量，但該方法中CGH（Computer Generated Hologram）與待測非球面之間是一一對應的關系，不具備通用性，且CGH 加工成本較高。非零位子孔徑拼接技術可實現對大口徑、深度非球面反射鏡的測量，檢測結果精度較高。但該方法的測量時間長，對機械結構要求高且數據處理復雜[8-9]，拼接算法誤差更會直接影響檢測精度。

此前，王孝坤[10]提出了一種非球面的非零位檢測方法。該方法中未給出回程誤差的具體計算方法，且調整誤差只分析了活塞誤差（Piston）、傾斜誤差（Tilt）和離焦誤差（Power）的影響，而忽略了由于光路調整距離變化而引入的球差。師途[14]在其文章中列出了3 種回程誤差的計算和去除方法，并對3 種方法去除回程誤差后的面形結果做了比較。但文中沒有具體的計算與處理方法，也未考慮檢測中產生的調整誤差。在本文中，不僅給出了回程誤差的理論模型和計算方法，還詳細分析了調整誤差引入的原因及計算去除方法。

針對拋光階段凹非球面的快速與通用化檢測需要，本文提出了將其當做球面直接用干涉儀的球面標準鏡頭進行檢測，再對由非球面度引起的回程誤差進行數據處理的非零位干涉法。文中結合實際檢測情況對非零位檢測中引入的誤差進行了原理分析，對其中的回程誤差進行建模計算及仿真，并仿真分析了回程誤差與光軸方向距離引起的誤差分離，驗證了回程誤差的固有性。分析了調整誤差與初級像差的關系，并進行了仿真與實驗驗證。最后，用該方法實驗檢測了兩個口徑為90 mm，頂點曲率半徑分別為606 mm、348 mm的不同非球面度的凹非球面，并用零位干涉法或LUPHOScan 光學輪廓檢測法的結果進行了對比，驗證了檢測結果的可靠性。

2 檢測原理與方法

2.1 非零位干涉檢測原理

將非球面當做球面直接用干涉儀的球面標準鏡頭可完成非零位檢測[10-12]，如圖1 所示。由干涉儀發出的光線在焦點匯聚后產生球面波前，由于非球面度的存在會引入回程誤差[12-14]，偏離了零位檢測的路徑，導致入射到非球面表面的參考光束不能原路返回，而是在球面標準鏡頭的焦平面處形成彌散斑?？紤]到實際檢測過程中，很難通過調整干涉儀與被測非球面之間的距離使參考球面波的焦點與待測非球面最接近參考球面的球心重合[10]，將會產生調整誤差[15]。所以，用非零位法直接干涉檢測的結果Edet(x,y)除了含有非球面的自身面形誤差Easp(x,y)、由非球面度引起的回程誤差Eret(x,y)，還存在調整誤差Eadj(x,y)，即

圖1 非零位干涉法直接檢測非球面原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of aspheric surface directly tested by non-null interferometry

因此，要獲得被測非球面的面形誤差Easp(x,y)，需要將非零位干涉檢測時產生的回程誤差Eret(x,y)與調整誤差Eadj(x,y)進行去除。

2.2 回程誤差的建模與計算

在非零位檢測中，回程誤差來源于待測非球面的非球面度，即非球面與其最接近的參考球面沿后者法向的偏離量[16]。將待測非球面視為表面無缺陷的理想面形，建立非零位檢測光線追跡模型，如圖2 所示。以非球面上的任一點B(x,y,z)為例進行光線追跡，點A為干涉儀標準鏡頭的會聚焦點，AB為入射光線，BC為反射光線，OA為待測非球面的最接近球面的曲率半徑（其值為L）。由非球面度引起的誤差反映到測量光路中具體表現為：入射到非球面的檢測光線與經非球面表面反射的光線之間的偏差，將兩者的差值稱為光程差OPD（Optical Path Difference）。

圖2 非零位檢測光線追跡模型Fig.2 Ray-tracing model of non-null test

采用空間光線追跡方法計算 OPD[17]。其中：a為入射光的單位方向矢量，b為反射光的單位方向矢量，d為待測非球面B點處的單位法線矢量。入射光線的模長 |AB|可根據檢測光路的具體參數及待測非球面方程直接求出，而反射光線的模長|BC|則要結合反射定律的空間矢量解析式[17]求出b的各單位方向矢量，即

設C的坐標為C(x0,y0,-L)，通過建立直線BC的方程可求出 |BC|，即有

式中：C0為待測非球面的頂點曲率。

通過分析非球面度引起的誤差知，OPD(x,y)中除了包含Eret(x,y)外，還存在由實際的待測非球面與其最接近參考球面在曲率半徑方向的偏離引起的誤差。該誤差包含兩部分，第一部分為實際檢測時，OA不準確等于L時產生的離焦誤差EOPD(Power)(x,y)，第二部分為不同OA值時與L的偏離量 ΔL所引起的球差。將 ΔL所引起的誤差記為△OPD(x,y)，其表達計算式如（4）式所示，則其球差可表示為EΔOPD(Sphere)(x,y)，則有

2.3 調整誤差的分離與去除

搭建實際檢測光路過程中，只能盡可能地調節使待測非球面無限接近理想位置，而非精確處于理想位置，因此，將引入調整誤差Eadj(x,y)。由于該檢測系統只有兩個部件，故兩者的調整誤差只可能包括兩者之間的距離誤差和傾斜/偏心誤差[14]，如圖3 所示。

圖3 調整誤差引入的像差。（a）距離引起的離焦；（b）光軸傾斜引起的傾斜誤差；（c）偏心引起的彗差Fig.3 Aberration caused by adjustment errors.(a) Distance induced defocusing;(b) tilt error caused by optical axis tilt;(c) coma caused by optical axis offset error

根據像差理論，當存在距離誤差時，會在檢測結果中引入離焦誤差EPower(x,y)；當存在傾斜/偏心誤差時，會引入傾斜和彗差，檢測時傾斜像差一般會去掉，故由傾斜/偏心引入的像差最終僅表現為彗差EComa(x,y)，即

由于 Zernike 多項式各項的基函數與光學檢測中觀測到的像差的表現形式是一致的，所以光學分析中常將光學像差的波陣面形態分解為Zernike 多項式的組合[18]，且如表1 所示。

表1 Zernike 多項式的項數與像差的對應關系Tab.1 Correspondence between the terms of Zernike polynomials and aberrations

如表1 所示：Zernike 多項式的Z4項對應離焦誤差（Power）項；Z7、Z8項分別對應X方向的彗差（Coma X）和Y方向的彗差（Coma Y）；Z9項對應初級球差（Primary Spherical）項。因此，文中采用Fringe Zernike 多項式[18-20]在笛卡爾坐標系中對Edet(x,y)進行36 項擬合，再根據其項數與像差的關系減去含有Eadj(x,y)的項。在Zernike 多項式擬合面形的條件下，有：

最后，將式（5）與式（7）代入式（1）中，得

通過式（8），可計算得到被測非球面的面形誤差Easp(x,y)。

3 回程誤差仿真計算

3.1 非零位法檢測凹非球面

將不同參數的待測凹非球面帶入Zemax 進行建模，可對非零位檢測的干涉條紋進行仿真分析。經分析發現，干涉條紋的疏密程度隨非球面度的增大而變密。當非球面度≤5 μm 時，產生的干涉條紋可分辨解析。若繼續增大非球面度，干涉條紋將變得過于密集而無法解析。經判斷知，該方法可實現對非球面度小于5 μm 的非球面的非零位檢測。

下面以兩個在該范圍內的不同非球面度的凹非球面作為實驗件，對文中提出的非零位檢測方法進行仿真計算與實驗檢測，其具體參數分別如表2、表3 所示。

表2 凹拋物面參數Tab.2 Parameters of concave paraboloid surface

表3 凹橢球面參數Tab.3 Parameters of concave ellipsoid surface

3.2 回程誤差的仿真及與離焦誤差的分離驗證

通過前面的分析可知，要得到Eret(x,y)，需要將OPD(x,y) 中含有的離焦誤差EOPD(Power)(x,y) 與ΔL所引起的球差EΔOPD(Sphere)(x,y)去除。去除思路是先根據拋物面的參數，建立非零位光線追跡模型，結合MATLAB 編程仿真計算出OPD(x,y) 與ΔOPD(x,y)，并將其分別擬合為36 項Zernike 多項式的形式，再用OPD(x,y) 減去EOPD(Power)(x,y)（OPD(x,y)擬合后的第4 項）與EΔOPD(Sphere)(x,y)（ΔOPD(x,y)擬合后的第9 項）。利用Zernike 多項式擬合后的精度可得到有效保證[21]。下面以兩個凹非球面為例，根據EOPD(Power)(x,y)和EΔOPD(Sphere)(x,y)的特點設計與Eret(x,y) 的分離實驗，即賦予 OA5 組不同的值，觀察最終所得到的Eret(x,y)，如表4、表5所示。

表4 凹拋物面回程誤差的仿真計算結果Tab.4 Simulation calculation results of retrace error of concave paraboloid surface

表5 凹橢球面回程誤差的仿真計算結果Tab.5 Simulation calculation results of retrace error of concave ellipsoid surface

從表4、表5 可知，在OA值不同時仿真計算得到的OPD(x,y) 值相差很大，但去除EOPD(Power)(x,y)與EΔOPD(Sphere)(x,y) 后，計算得到的Eret(x,y)值相差在亞納米量級。由此可知Eret(x,y)是非球面固有的，其只與非球面的表面形狀參數有關，OPD(x,y)中含有的EOPD(Power)(x,y)與EΔOPD(Sphere)(x,y)可直接去除。

4 檢測實驗與對比

4.1 凹非球面非零位干涉檢測實驗

根據表2、表3 設定的凹非球面參數，采用Zygo 激光干涉儀，選用F/3.3 的球面標準鏡頭，對其進行非零位檢測。檢測過程中，盡量調節圖2 中OA的距離，使其與非球面的最接近球面半徑接近。經過精密調節，獲得非零位直接檢測的結果，檢測現場及結果如圖4（彩圖見期刊電子版）所示。

圖4 非零位檢測凹非球面時（a）實驗裝置及非零位直接檢測（b）凹拋物面和（c）凹橢球面的數據Fig.4 (a) The experiment setup of non-null test for concave aspheric;data of (b) concave paraboloid surface and (c) concave ellipsoid surface obtained by non-null direct interferometry

由于該檢測光路中難以對距離、傾斜/偏心誤差進行精密監控，所以容易引入像差。下面結合2.3 節的調整誤差分離與去除方法，以凹拋物面為例，對實驗過程中的調整誤差進行驗證。

4.2 在非零位檢測結果中去除調整誤差

前面對實際檢測中產生的Eadj(x,y)進行了原理上的分析，但因檢測實驗具有一定的隨機性，本文以待測拋物面為例，在非零位檢測光路中以Eadj(x,y)調節至最小時的數據與引入不同形態后的Epower(x,y)與EComa(x,y)去除前后的結果做對比，如表6、表7 所示。從表6 可看出，調節距離誤差引入的EPower(x,y)對檢測的干涉條紋與面形有較大的影響，利用2.3 節的去除方法可去除因距離誤差引入的離焦誤差對檢測的影響。

表6 實驗中距離誤差引入的離焦誤差與去除Tab.6 Defocusing error introduced by distance errors in experiments and its removal (nm)

表7 實驗中光軸傾斜/偏心誤差引入的彗差與去除Tab.7 Comet error introduced by optical axis tilt/offset error in experiment and its removal (nm)

在表7 中可看出，調節偏心/傾斜誤差引入的EComa(x,y)對干涉條紋與面形產生的影響較小，利用2.3 節的去除方法可去除因偏心/傾斜誤差引入的彗差對檢測的影響。

通過上述分析可知，2.3 節的去除方法對實驗中可能引入的EPower(x,y)與EComa(x,y)均表現出了較好的去除效果，即可有效去除實驗中的調節誤差Eadj(x,y)對檢測結果的影響，不會對測量結果產生明顯的影響。

將用非零位檢測方法得到的檢測結果Edet(x,y)(如圖4（b）、4（c）所示)，分別讀入到MATLAB 中進行數據處理。首先，采用2.3 節的方法去除調節誤差Eadj(x,y)，然后，再去除回程誤差Eret(x,y)(如表3、表4 所示)，最終即可得到兩非球面的面形檢測結果，如圖5（a）、5（b）所示（彩圖見期刊電子版）。

圖5 非零位檢測去除調整誤差與回程誤差。（a）凹拋物面處理后的面形結果；（b）凹橢球面處理后的面形結果；Fig.5 Non-null test results after removing adjustment error and retrace error.(a)Test results of concave parabolic surface;(b) test results of concave ellipsoid surface

4.3 檢測結果對比與分析

文中用平面鏡自準直法與LUPHOScan 輪廓測量法的測量結果作為對比來驗證所提方法的檢測準確性。圖6（a）、6（b）（彩圖見期刊電子版）為平面鏡自準直法檢測凹拋物面的光路圖與檢測結果，圖6（c）（彩圖見期刊電子版）LUPHOScan 輪廓儀測量的凹橢球面結果。

圖6 凹非球面的對比實驗。(a)平面自準直法檢測光路圖；(b) 自準直法檢測凹拋物面的數據；(c) LUPHOScan 輪廓儀測量凹橢球面的數據Fig.6 Comparative experiment on concave aspheric.(a) The optical path diagram of plane autocollimation;(b) testing of concave paraboloid surface by autocollimation;(c) testing of concave ellipsoid surface using LUPHOScan

將兩個不同非球面度的非球面非零位干涉處理得到的面形結果分別與其對應的驗證實驗進行對比，即圖5（a）與圖6（b）、圖5（b）與圖6（c）分別進行比對，可明顯看出各組數據的面型分布一致，評價參數PV 與RMS 值都非常接近。上述結果表明非零位檢測處理方法的準確性。

5 結論

針對拋光階段凹非球面的快速與通用化檢測需要，提出了利用Zygo 干涉儀的球面標準鏡頭直接對其進行非零位干涉檢測的方法。分析了回程誤差與調整誤差的產生原理，并給出了校正原理與仿真實驗驗證。通過對兩個具有不同非球面度的凹非球面進行非零位檢測實驗。其檢測結果與自準直零位干涉檢測法及LUPHOScan 輪廓測量法的測量結果均具有高度一致性，驗證了本文所提方法的可靠性。由于干涉儀具有多種參數的標準鏡頭，故在不需要額外補償元件的條件下能夠匹配不同參數的凹非球面，實現其面形高精度測量，使該方法具有廣泛的應用前景。