大氣湍流對高分辨率遙感衛星的成像影響研究

毛紅敏，丁致雅，楊燕燕，江蘇奇，彭建濤，曹 楠，胡立發，曹召良

（1.蘇州科技大學物理科學與技術學院,江蘇 蘇州 215009；2.江蘇省微納熱流技術與能源應用重點實驗室,江蘇 蘇州 215009；3.江南大學理學院,江蘇 無錫 214122；4.中國航天科技集團公司上海衛星工程研究所,上海 201109）

1 引言

光學遙感衛星在地理探測、自然災害預防、航空航天和軍事等方面都發揮著重要作用。目前，高分辨率、甚高分辨率成為新一代光學遙感衛星的主流發展趨勢[1-2]。各國都致力于研究大口徑光學相機，以實現遙感衛星的高分辨率成像。但隨著相機口徑的增大，大氣湍流對光波的干擾也隨之增加[3-4]，模糊、重影、畸變、光束漂移和閃爍等現象使遙感衛星的成像質量和定位精度受到影響。因此，研究大氣湍流對遙感衛星成像質量的影響非常有必要。

目前，大氣湍流對地基望遠鏡成像質量的影響已被廣泛研究[5-6]，并且以Kolmogorov 湍流理論為基礎，建立了一套成熟的評價體系[7]。該體系可以定量分析評價大氣湍流對望遠鏡成像質量的影響，進而用于自適應光學系統的設計和評估。但是目前關于大氣湍流對空間相機成像的影響研究較少。地基望遠鏡觀測空間目標時，目標距離地面非常遠，此時目標發出的光可以近似看作平面波，其以柱狀光束穿過大氣湍流層進入望遠鏡。但是當遙感衛星對地面目標進行成像觀測時，湍流層緊貼目標表面，目標發出的光則以錐狀光束穿過大氣湍流層，然后進入遙感光學相機。因此，針對地基望遠鏡的大氣湍流影響規律無法直接應用到空間相機上。1966 年，Fried 首先針對此問題進行了研究[8]，其以點光源發射的球面波傳輸模型分析了大氣湍流對空間相機成像的影響，并推導出空對地觀測時的位相結構函數,基于此，并結合Hufangel 和Stanley 的大氣湍流折射率結構常數模型數據，假設相機口徑無窮大，分析了最小地面分辨率和大氣相干長度（r0）隨海拔高度的變化[9]。閻吉祥等以平面波模型作為對象，通過計算到達角起伏，討論了大氣湍流對高空光學遙感系統地面圖像分辨力的影響，發現在較強湍流時，高分辨力光學遙感系統需用自適應光學等方法進行湍流校正[10]。張曉芳等采用空-地觀測時錐光（球面波）傳輸模型，針對不同的大氣湍流折射率結構常數模型，對比分析了空-地和地-空觀測時，大氣相干長度的不同[11]。王仁禮等進一步研究了大氣湍流對天基遙感系統成像分辨率的影響，其以r0=16 cm 的弱湍流為例進行分析，結果表明地面分辨率優于0.5 m 的高分辨率遙感成像需要考慮大氣湍流因素[12]。陳欣欣等基于球面光波傳輸模型，以HV5/7 模型、合肥白天和夜間模型的大氣湍流輪廓線仿真分析了大氣湍流對空基成像系統分辨率的影響[13]。由于一個湍流輪廓線僅能描述一個固定的大氣湍流強度，因此其僅分析了3 個固定湍流強度下空間相機的成像分辨率。

由上可知，研究者以球面波傳輸形式初步研究了遙感衛星對地觀測時，大氣湍流對衛星成像的影響。這些研究都是以幾個固定的大氣湍流強度為例，分析大氣湍流對衛星成像分辨率的影響，沒有得到任意大氣湍流強度對遙感衛星成像影響的普適規律。為此，本論文針對該問題展開研究，基于空對地大氣湍流傳輸模型，對湍流波前進行仿真，構建了大氣湍流對遙感衛星成像影響的普適公式。本文研究可為高分辨率遙感衛星相機的設計和優化提供理論依據。

2 空對地大氣湍流波前仿真

2.1 空對地大氣湍流傳輸模型

大氣湍流使光束在傳播過程中發生波前畸變，導致光束產生漂移、閃爍和擴展等現象，對遙感衛星分辨率及探測精度產生影響。大氣相干長度是表征湍流強度的參數，在地對空觀測系統中其表示為[6,14]：

式中：h為大氣層高度；β表示天頂角；z為海拔高度；k=2π/λ，其中λ表示光波波長；是大氣湍流折射率結構常數。大氣折射率結構常數用于表征湍流起伏強度，其不是常數，而是隨著溫度、風速、地理位置以及海拔高低的變化而變化?？諏Φ赜^測模型如圖1 所示。由于湍流層主要存在于距離地面30 km 以下，而衛星軌高通常大于150 km，因此衛星軌高變化時，大氣湍流強度不發生變化。

圖1 衛星對地面目標探測示意圖Fig.1 Schematic diagram of satellite detection to ground target

對于空對地觀測系統，需建立如圖1 所示的球面波模型，當受大氣湍流干擾的球面波傳輸到遙感衛星相機入瞳處時，大氣相干長度則表示為[8]：

式中H是衛星軌道高度?？梢钥闯?，是衛星軌道高度的函數，即衛星處于不同高度時，即使大氣湍流強度相同，對應的值也不同，其描述的是大氣湍流對遙感衛星光學相機的影響程度，而不代表大氣湍流的強度。因此，對于空對地觀測而言，大氣湍流對衛星成像質量的影響與衛星的軌高有關。地面被測目標發出的球面波經湍流層被星載相機接收，當衛星高度增加時，相機對目標的張角減小，此時，光波經過的湍流區域減小，因此湍流的影響隨之減弱。

若要利用公式（2）研究大氣湍流對遙感衛星成像的影響，需要知道隨海拔高度的分布情況。有多種分布模型[15]，本文不考慮溫度和風速的影響，重點討論衛星處于不同軌道高度時成像質量受大氣湍流的影響，故選擇研究者廣泛采用的Hufnagel-Valley 5/7 模型[16]:

依據HV 5/7 模型，大氣折射率結構常數隨海拔高度的變化規律如圖2 所示?？梢钥闯?，高度低于5 km 時,數值大，湍流強；在5～30 km區間，湍流逐漸變弱；當高度超過30 km 時，湍流很弱不再考慮。因此，湍流對光波的影響主要集中于距地面高度30 km 以內。

圖2 折射率結構常數隨高度z 的變化曲線Fig.2 Refractive index structure constant varying with height z

2.2 基于Zernike 多項式的湍流波前仿真

根據公式(3) 的大氣折射率結構常數模型，可計算得到地對空大氣相干長度r0和空對地大氣相干長度的典型值，為討論湍流強度變化提供參考。如軌高為150 km，計算得r0=5.56 cm，。此結果與張曉芳論文計算數據一致[11]。但是上述方法僅能夠得到一個固定大氣湍流強度，無法針對不同大氣湍流強度進行仿真分析。為此，本文采用Noll 的基于Zernike 多項式的大氣湍流仿真方法，以仿真不同湍流強度的畸變波前[17]。

湍流波前可用單位圓上正交完備的Zernike多項式來表示[17]：

其中：ai表示第i項Zernike 多項式的系數，Zi是第i項Zernike 多項式。利用Noll 描述湍流波前采用的Zernike 多項式[17]：

式中：odd 是全體奇數組成的集合；even 是全體偶數組成的集合；R表示極軸；θ為極角；n和m表示Zernike 多項式對應的徑向級次和角向級次，n和m都為整數，且滿足 0≤|m|≤n且 (n-|m|)為偶數。其中，可利用下式計算：

根據Kolmogorov 理論，湍流的位相結構函數可以表示為[17]：

式中r為徑向變量，結合相位結構函數和Zernike 多項式，任意兩項Zernike 多項式系數ai(ni,mi)和ai’(ni’,mi’)間存在時間相關性，其協方差可以表示為[18]：

由于實際空間的大氣湍流是隨機動態變化的，本文仿真過程中隨機模擬100 幅波前，利用其統計平均值表示湍流波前。同時，本文采用慣用的工作波長λ=550 nm 進行仿真分析。圖3（彩圖見期刊電子版）是r0=5.56 cm、H=150 km、D=4 m時，仿真的湍流波前，其波面的 PV 值為1.28λ。

圖3 仿真湍流波前Fig.3 Simulated turbulence wavefront

3 大氣湍流對成像分辨率的影響

大氣湍流產生的動態像差會嚴重影響遙感衛星的成像質量，且湍流波前的均方根(RMS)決定著大氣湍流對遙感衛星的成像分辨率。為此，首先分析大氣湍流對波前RMS 的影響規律，然后推導出其對衛星成像分辨率的影響公式。

3.1 大氣湍流對波前RMS 的影響規律

依據空對地大氣湍流仿真模型，可以得到不同大氣湍流強度下的湍流波前，其RMS 值可由下式求出：

式中 φRMSi是一幅仿真湍流波前的RMS 值。本文中，N=100。同時，影響遙感衛星成像分辨率的參數有相機口徑、衛星軌道高度和大氣湍流相干長度，下面分別分析其對湍流波前RMS 的影響。

3.1.1 相機口徑

為了分析相機口徑和湍流波前RMS 的關系，選取r0=5.56 cm，衛星軌高H分別為150 km、350 km、550 km，仿真分析湍流波前隨相機口徑的變化情況，結果如圖4 所示，其中離散點為仿真計算數據?？梢钥闯?，隨著相機口徑的增加，波前RMS 呈增大趨勢。為了定量分析其變化規律，對仿真數據進行曲線擬合，連續線為擬合曲線。擬合結果顯示，WRMS和D滿足如下關系：

圖4 相機口徑D 對WRMS 的影響Fig.4 Influence of camera aperture D on WRMS

式中D的單位是m。衛星處于不同軌道高度時，系數a1具有不同的數值，H分別為150 km、350 km、550 km 時，有：a150km=0.08，a350km=0.02，a550km=0.01。公式(10)表明WRMS與D的5/6 次方呈線性變化。

3.1.2 衛星軌道高度

同樣選取r0=5.56 cm 進行湍流波前的仿真分析。同時，設置D分別為4 m、6 m、8 m，仿真分析衛星軌高對湍流波前RMS 的影響規律，結果如圖5 所示。

圖5 衛星軌道高度H 對WRMS 的影響Fig.5 Influence of satellite orbital height H on WRMS

可以看出，隨著軌道高度的增大，湍流的影響急劇減弱。采取和上節類似的方法，對仿真的離散點進行曲線擬合，獲得湍流波前隨衛星軌高的變化規律如式（11）所示：

式中H的單位是km。對于不同相機口徑，系數a2也不同，對于D分別為4 m、6 m、8 m 時，其值分別為：a4m=1132.6，a6m=1592.1，a8m=2023.8，可以看出，WRMS與H的-5/3 次方呈線性變化規律，對于不同相機口徑，僅系數不同。

3.1.3 大氣相干長度

為了研究大氣相干長度對湍流波前的影響，選取衛星軌高H=150 km，在D分別為8 m、6 m和4 m 時，仿真分析湍流波前隨r0的變化規律，結果如圖6 所示?？梢钥闯?，在不同相機口徑下，湍流波前RMS 均隨湍流的減弱而快速減小。同樣對離散點進行曲線擬合，得到WRMS和r0的變化關系為：

圖6 大氣相干長度r0 對WRMS 的影響Fig.6 Influence of atmospheric coherence length r0 on WRMS

式中r0的單位是m?？梢钥闯?，WRMS與r0的-5/6次方呈線性變化。對于不同相機口徑，僅僅是系數a3的值不同。對于D分別為8 m、6 m 和4 m時，a3的值分別為：a8m=0.043，a6m=0.034，a4m=0.024。

3.1.4 規律歸納

式(10)～式(12)分別給出了湍流波前RMS隨D、H、r0的變化規律。為了得到湍流波前隨D、H、r0變化的統一規律，須對式(10)～式(12)進行進一步分析歸納。其可以統一寫成如下形式：

式中A是系數，如果能夠求解出A，便可以得到湍流波前的RMS 隨D、H、r0的統一變化規律。為此，根據公式(13)，可以把式(10)～式(12)進行重寫。對于r0=5.56 cm、H=150 km，公式（10）可重寫為：

對于r0=5.56 cm、D=8 m,公式（11）可重寫為：

對于H=150 km、D=8 m,公式（12）可重寫為：

再結合曲線擬合時得到的系數a1,a2,a3，可求出系數A1=31.86、A2=32.36、A3=32.18?？梢钥闯?，3 個值都接近32，因此取A=32。此時，湍流波前隨D、H、r0的變化規律可以表示為：

式中，D和r0的單位是m，H的單位是km，WRMS的單位是波長λ。

為了驗證公式（17）的有效性，令公式（17）中的3 個變量D、r0、H隨機選取不同值，然后利用式（17）計算出理論波前RMS 值；再依據選取的參數進行湍流波前仿真，獲得波前RMS 的仿真值；將二者進行比較，以確認該公式是否有效。

隨機選取3 個變量的8 組數值，如表1 所示。仿真和理論計算結果如圖7 所示。從圖7(a)可以看出，理論值和仿真值非常接近。為了定量分析理論公式的有效性，計算了仿真值和理論值的相對誤差，結果如圖7(b) 所示。其平均相對偏差為0.6%，最大相對偏差為0.7%，說明公式（17）可用于計算任意條件下湍流波前的RMS 值，因此具備普適性。

表1 隨機選取的變量Tab.1 Randomly selected variables

圖7 (a) 不同參量值下的仿真值與理論值及(b)仿真值與理論值的相對誤差Fig.7 (a) Simulated and theoretical values under different parameters;(b) relative error for simulated and theoretical values

由公式（17）便可以求解出任意條件下，大氣湍流對空間相機波前RMS 的影響，結果如圖8（彩圖見期刊電子版）所示。

圖8 波前均方根隨大氣湍流強度和衛星高度的變化規律Fig.8 Variation of root mean square of wavefront with atmospheric turbulence intensity and satellite altitude

通常也可以用D/r0來表示湍流的強度，可以看出，湍流強度越強、軌高越低，湍流波前的RMS 值越大。因此，可以利用式(17)的湍流變化普適規律，來評估湍流對空間相機波前的影響，從而為分析其成像分辨率提供依據。

3.2 大氣湍流對成像分辨率的影響

為了分析大氣湍流對空間相機成像分辨率的影響，需要建立湍流波前RMS 值和成像分辨率的關系。而湍流波前和斯特列爾比S之間的關系可以表示為[19]：

由湍流波前可以求出系統的斯特列爾比。而光學系統的角分辨率θ和S有如下關系[20]：

因此，利用式(17)～式(19)，便可以求出大氣湍流對空間相機成像分辨率的影響。此外，其線分辨率可由下式求出：

為此，由式(17)～式(19)，即可得到空間相機的成像分辨率公式：

該公式是評估大氣湍流對空間相機角分辨率影響的普適公式，利用其可以求出任意條件下空間相機的角分辨率。圖9（彩圖見期刊電子版）是在r0=5.56 cm、λ=550 nm 時，角分辨率隨軌道高度和相機口徑的三維空間分布?？梢钥闯?，衛星軌高越低、口徑越小時，角分辨率 θ越大，表明分辨能力越差。

圖9 角分辨率隨衛星高度和相機口徑的變化規律Fig.9 Variation of angular resolution with satellite altitude and camera aperture

根據公式(20)，線分辨率可以表示為：

當λ=550 nm,D=4 m,r0=5.56 cm 時，遙感相機的線分辨率隨衛星軌高的變化規律如圖10 所示。同時，為了對比分析大氣湍流的影響，也給出了理想情況下線分辨率隨衛星軌高的變化曲線，如圖中實線所示?？梢钥闯觯寒敍]有大氣湍流時，線分辨率隨衛星軌高呈線性變化趨勢；當存在大氣湍流時，線分辨率隨衛星軌高先逐漸減小，然后又逐漸增大，在軌高為240 km 處最小，即線分辨能力最強。同時，當衛星軌高在大約600 km時，兩條曲線近似重合，說明此時大氣湍流對遙感衛星的分辨率幾乎沒有影響。綜上所述，大氣湍流對遙感衛星成像分辨率的影響，與衛星軌高緊密相關。

圖10 線分辨率隨衛星高度的變化規律Fig.10 Variation of line resolution with satellite altitude

為了驗證上述線分辨率仿真的可靠性，把圖10 的結果和文獻[8]中的圖2 和圖3 結果進行對比分析。文獻[8]的圖3 給出了大氣相干長度隨衛星軌高的變化規律，結合該文獻中的計算公式可以得出，當衛星軌高為680 km 時，其r0=4 m。本文圖10 顯示，當衛星軌高為600 km時，兩條曲線重合，此時，大氣湍流對4 m 口徑光學相機的成像分辨率無影響。這說明，此時大氣相干長度等于相機的光學口徑，即r0=4 m。因此，本文的結果和文獻[8]中的圖3 結果都表明：當衛星軌高為680 km 時，r0=4 m。兩者相互印證。

文獻[8]中的圖2 給出了最小線分辨率隨衛星軌高的變化情況。該結果的前提條件是，在不同海拔高度處，空間相機的口徑都大于等于大氣相干長度，或者說空間相機的口徑為無窮大。在此前提條件下，當空間相機的高度大于大氣層高度時，最小分辨率為定值，不再隨衛星軌高的變化而變化。因此，對于4 m 口徑的空間相機，為了和文獻[8]的圖2 進行對比，需要滿足r0≤D。取r0=D=4 m，其對應的衛星軌高H=600 km。由圖10 可知，在H=600 km 時，其線分辨率約為10 cm。文獻[8]在其討論部分給出的最小線分辨率δl0也是10 cm。因此，該結果也說明本文圖10 的仿真結果有效。

4 大氣湍流對空間相機調制傳遞函數的影響

光瞳函數可表示為：

式中φ(x,y)是波前相位分布，A(x,y)是孔徑函數：

光學傳遞函數(OTF)是光瞳函數的自相關：

利用OTF 的振幅部分即可得到調制傳遞函數MTF 。因此，如果已知光瞳函數便可以得到系統的MTF。在光瞳函數中，孔徑函數和相機的口徑相關，相機一旦確定，其便是已知量。由此可知，如果能夠獲得波前相位分布φ，便可以求出相機的MTF。而大氣湍流產生的畸變波前φ可以利用文中的湍流仿真方法獲得，因而可以進行大氣湍流對相機MTF 的影響分析。

為分析大氣湍流對MTF 的影響，也同樣隨機產生100 幅湍流波前，并利用式(23)～式(25)獲得100 組MTF 曲線，同時進行統計平均，獲得平均MTF 曲線。例如，對于r0=5.56 cm、H=150 km、D=6 m，其x方向MTF 曲線如圖11 所示，實線為100 幅隨機湍流對應的MTF 曲線，虛線為系統的理論MTF0曲線，■代表MTF 的統計平均值。

圖11 100 組湍流波前在x 方向的MTF 曲線Fig.11 MTF curves of 100 sets of turbulent wavefronts in the x-direction

利用上述方法，分別仿真分析了衛星軌高、相機口徑和大氣相干長度對相機MTF 的影響，結果如圖12 所示。圖12(a)中，r0=5.56 cm、D=6 m，對應的虛線、點線和實線分別表示H=150 km、350 km、550 km 時的MTF 曲線?？梢钥闯?，隨著衛星軌高的增大，相機的傳函明顯變好，并逐漸接近理想傳函。圖12(b)中，r0=5.56 cm、H=350 km，對應的實線、點線和虛線分別表示D=4 m、6 m和8 m 時的MTF 曲線?？梢钥闯?，隨著相機口徑的增加，曲線下方的面積有所減小，但變化不明顯，表明在大氣湍流影響下，光學口徑已經不是影響MTF 的主要因素。圖12(c)中，D=8 m、H=150 km，對應的虛線、點線和實線點線分別表示r0=3.91 cm、6.36 cm 和14.61 cm 時的MTF 曲線?？梢钥闯龃髿庀喔砷L度越小，即湍流越強，則曲線下所包圍的面積越小，系統傳函明顯變差。

圖12 調制傳遞函數隨不同參數的變化曲線Fig.12 Curve of modulation transfer function varying with different parameters

在設計遙感相機時，通常以MTF 值等于0.15時對應的空間頻率作為相機的最高分辨率。為了分析大氣湍流對MTF 的影響程度，引入MTF 相對誤差 Δ：

式中f0為理想情況下系統MTF 等于0.15 時對應的空間頻率，f為受大氣湍流影響時MTF 等于0.15對應的空間頻率。Δ 越小，表明光學系統受湍流的影響越弱，成像質量越高。利用該評價指標仿真分析MTF 的相對誤差Δ 隨相機口徑、衛星軌高和大氣相干長度的變化規律，結果如圖13 所示。

圖13 MTF 相對誤差隨不同參數的變化規律Fig.13 Variation of relative deviation of MTF with different parameters

圖13(a)為r0=5.56 cm、H=350 km 時，相對誤差隨相機口徑的變化曲線，離散值為仿真結果，實線為擬合曲線。結果顯示，隨著相機口徑的增大，MTF 的相對誤差也增大。但是其相對誤差較小，當口徑在10 m 以內時，相對誤差都小于10%。說明在該湍流強度下，當衛星軌高為350 km 時，相機口徑對MTF 的影響較小。根據擬合結果，MTF 的相對偏差可以表示為：

說明MTF 的相對誤差Δ 隨相機口徑D呈e 指數變化。

圖13(b)是在r0=5.56 cm、D=8 m 時，MTF 相對誤差隨衛星軌高的變化情況?？梢钥闯?，隨著衛星軌高的變大，大氣湍流對相機傳函的影響減弱。但是在軌道較低時，湍流對MTF 的影響較大。曲線擬合結果顯示，MTF 的相對誤差隨衛星軌高的變化情況可表示為：

可以看出，MTF 的相對誤差Δ隨衛星軌高H呈e 負指數變化。

圖13(c)為D=8 m、H=150 km 時，MTF 相對誤差隨大氣相干長度變化的結果。仿真結果顯示，隨著大氣相干長度的增大，即大氣湍流的減弱，MTF 的相對誤差也逐漸減小。但是，即使在弱湍流下，當衛星軌高較低時，湍流對相機MTF 的影響依然較大。曲線擬合得到MTF 的相對誤差與大氣相干長度的關系為：

可以看出，MTF 的相對誤差Δ 隨大氣相干長度r0也呈e 負指數變化。

從上述仿真結果可以看出，MTF 的相對誤差Δ 隨相機口徑D呈e 指數變化，隨衛星軌高H、大氣相干長度r0則呈e 負指數變化。實際空間相機設計中，可依據這些變化規律評估遙感衛星的成像質量。

5 結論

本文研究了遙感衛星對地觀測時，大氣湍流對其成像質量的影響。首先，基于Kolmogorov 大氣湍流理論，以球面波傳輸方式建立遙感衛星的空對地大氣湍流仿真模型，以實現大氣湍流畸變波前的模擬仿真。然后，利用空對地大氣湍流仿真模型，仿真分析衛星軌高、相機口徑和大氣相干長度對湍流波前RMS 的影響，并歸納建立了三個變量隨機變化時湍流波前RMS 值的普適公式。接著，基于該普適公式給出了大氣湍流對空間相機分辨率的普適影響規律。結果顯示，成像分辨率隨衛星軌高的增加先逐漸減小，然后又逐漸增大，并在拐點處（240 km）達到最高線分辨能力。同時在衛星軌高大于600 km 時，理想曲線和湍流影響曲線近似重合，說明此時大氣湍流對遙感衛星的分辨率幾乎沒有影響。最后，研究了大氣湍流對空間相機MTF 的影響，建立了MTF 相對誤差的評價方法。仿真結果顯示，MTF 的相對誤差隨相機口徑呈e 指數變化，隨衛星軌高、大氣相干長度則呈e 負指數變化。

本文得到的大氣湍流對遙感衛星成像分辨率影響的普適規律和公式，可為高分辨率遙感衛星的設計、分析和應用提供理論依據，進一步推動大口徑空間相機在遙感衛星上的應用。