一類帶p-Laplace算子的非線性二階m點共振邊值問題解的存在性

劉美玉,馬錦然,裴明鶴

(北華大學數學與統計學院,吉林 吉林 132013)

0 引 言

本文主要研究帶p-Laplace算子的非線性二階微分方程m點共振邊值問題

(1)

近30年來,非局部邊值問題已經成為微分方程定性理論中一個快速發展的研究領域。對這類問題的研究不僅受到理論興趣的推動,而且還受到工程、物理和生命科學中的一些現象可以用這種方式進行建模事實的推動[1-2]。自1995年,GUPTA[3]首次研究了二階m點共振邊值問題解的存在性,非局部共振邊值問題的研究取得了較大的進展[2,4-15]。注意到,以上文獻所采用的研究方法主要有不動點指數理論[4,13]、迭合度理論[6,9,15]、Leray-Schauder連續性定理連同一些不動點定理[7-8,10,13]以及上下解方法等[11-12,14]。但有關帶p-Laplace算子的二階微分方程多點共振邊值問題解的存在性研究較少見到[16-17]。

受上述文獻以及文獻[18-19]的啟發,本文主要利用拓撲橫截方法連同障礙帶技巧,建立帶p-Laplace算子的非線性二階m點共振邊值問題(1)的解的存在性結果。這里,我們想強調的是,本文的結果不僅是新的,而且對非線性項f不附加任何增長限制,同時非線性項f中的導數項的次數可以超過p次。

1 主要結果

在本文中,我們將使用如下條件:

(H1) 存在M>0,使得

xf(t,x,0)>0, ?t∈[0,1],|x|>M。

(H2)存在常數Li,i=1,2,3,4滿足L3

f(t,x,y)≤0, (t,x,y)∈[0,1]×[-M,M]×[L1,L2] ,

f(t,x,y)≥0, (t,x,y)∈[0,1]×[-M,M]×[L3,L4] 。

引理2[19-20]假設

則H(·,1)是本質的,從而H(1,1)在D內有不動點。

由連續函數的介值性,不難得到如下結果:

考慮邊值問題族

(φp(x′) )′=λf(t,x,x′),t∈[0,1] ,

(2)

(3)

其中λ∈(0,1] 。

引理4假設(H1)成立。則對邊值問題族(2)-(3)的任意解x=x(t),都有

|x(t)|≤M,t∈[0,1] 。

(4)

證明:假設存在t0∈[0,1]使得|x(t0)|>M,不妨設x(t0)>M。令t1∈[0,1]使得

(5)

則根據引理3,我們可設t1∈[0,1), 從而x′(t1)=0。于是根據條件(H1),有

(φp(x′(t)))′|t=t1=λf(t1,x(t1),0)>0 ,

x′(t)>0,t∈(t1,t1+δ) 。

這與式(5)矛盾。證畢。

現在我們利用障礙帶技巧得到x′(t)的先驗界。

引理5假設(H1)和(H2)成立,則對邊值問題族(2)-(3)的任意解x=x(t),有

(6)

證明:首先,定義兩個集合S0和S1如下:

S0={t∈[0,1]:L1

則S0和S1均是空集。事實上,假設S0≠?,則存在t0∈S0,從而0

L1

(7)

并且

x′(t1)≤x′(t)≤x′(t2),t∈[t1,t2] ,

從而[t1,t2]?S0。注意到,由引理4,|x(t)|≤M,t∈[0,1],所以根據(H2),有

(φp(x′(t)))′=λf(t,x(t),x′(t))≤0,t∈[t1,t2] 。

x′(t2)≤x′(t1) ,

這與式(7)矛盾。這表明S0=?。類似可證S1=?。于是由邊界條件(3)以及x′(t)在[0,1]上的連續性,我們可知式(6)成立。證畢。

現在,我們定義Banach空間X=C1[0,1]×具有如下范數:

設

U={(x,r)∈X:x(0)=0,r∈}

以及

則U是X的閉凸子集,并且D是U的相對開子集。

則F是本質的。

則易證H(x,r,λ)是緊算子。顯然H(x,r,1)=F(x,r),H(x,r,0)=(0,0)∈D, 所以根據引理1,H(x,r,0)是本質的。

現在我們證明

H(x,r,λ)≠(x,r), (x,r)∈?D,λ∈[0,1] 。

(8)

顯然,當(x,r)∈?D時,H(x,r,0)≠(x,r)。假設存在(x0,r0)∈?D以及λ0∈(0,1],使得H(x0,r0,λ0)=(x0,r0),則x0=0以及

從而

因此,根據(H1)可推得|r0|≤M, 從而(x0,r0)∈D,這與(x0,r0)∈?D且D為開集矛盾。這表明式(8)成立。于是根據引理2,F(·,·)=H(·,·,1)是本質的。 證畢。

定理1假設(H1)和(H2)成立,則邊值問題(1)至少存在一個解x=x(t)滿足式(4)和式(6)。

其中符號“*”表示向量的轉置。利用Arzelà-Ascoli定理容易證明算子G是緊算子。

假設(x1,r1)是G(·,·,1)的一個不動點,則

以及

于是

以及

因此

令x2(t)=x1(t)+r1,t∈[0,1]。易見,x2是問題(1)的解,并且根據引理4和引理5可知x2滿足式(4)和式(6)。因此,為了證明問題(1)的滿足式(4)和式(6)的解的存在性,只需證明算子G(·,·,1)具有不動點。注意到,G(·,·,0)=F(·,·),并且由引理6可知F是本質的,所以為了得到G(·,·,1)的不動點的存在性,只需驗證引理2的條件(ii)成立。假設存在(x0,r0)∈?D,λ0∈[0,1],使得G(x0,r0,λ0)=(x0,r0),則由引理6知,λ0≠0,所以λ0∈(0,1]。于是

以及

(9)

因此

特別地,有

x′0(0)=0 。

即

茲令x(t)=x0(t)+r0,t∈[0,1]。 則易見,x是邊值問題(2)-(3)當λ=λ0時的解。因此,根據引理4以及引理5,有

‖x0+r0‖∞=‖x‖∞≤M,

(10)

以及

注意到,x0(0)=0, 所以由式(10)知|r0|≤M,從而

‖x0‖∞≤M+|r0|≤2M<2M+1 。

綜上可得,(x0,r0)∈D,這與(x0,r0)∈?D且D為開集矛盾。故引理2的條件(ii)成立。證畢。

2 應用舉例

例1考慮帶p-Laplace算子的二階m點共振邊值問題

(11)

令

則f在[0,1]×2上連續。再令ri(i=1,2,…,ν,ν≤n)是n次多項式的所有實根。記

M=max{|r1|,|r2|,…,|rν|}>0 。

則當t∈[0,1],|x|>M時,有

Pl(y)-F≤f(t,x,y)≤Pl(y)+F。

于是若sup{Pl(y)-F:y<0}>0且inf{Pl(y)+F:y>0}<0,則(H2)成立,從而由定理1,帶p-Laplace算子的二階m點共振邊值問題(11)至少存在一個非平凡解。