丘建旺
課題信息:福建省石獅市教育科學“十四五”規劃(第一批)研究課題“高中數學結構不良型提問預設與生成的優化研究”,課題編號為SGC21-32.
有關多變元代數式(特別是雙變元)的最值(或取值范圍)問題,是高考、競賽等數學試卷中比較常見的一類題型.此類問題常以函數或方程的形式出現,巧妙融合函數與方程、不等式等基本知識,??汲P?,變化多端,難度中等及偏上,具有較好的選拔性與區分度,同時又有一定的技巧方法,是很好考查學生數學基礎知識、思想方法與能力的一類創新綜合性問題,備受關注.
1 問題呈現
問題? 設a>0,b>0,且2a+b=1,則1a+2aa+b(? ).
A.有最小值為4
B.有最小值為22+1
C.有最小值為143
D.無最小值
此題以雙變元所滿足的方程為背景條件,結合分式代數式來確定對應的最值問題.具體破解時,關鍵是結合題設條件中相應雙變元代數式的結構特征,合理聯想與巧妙轉化,綜合邏輯推理與數學運算,并結合相關的知識等,利用代換法、消參法、判別式法以及導數法等常見的基本技巧與方法加以切入與破解.
2 問題破解
思維視角一:基本不等式思維.
解法1:常數代換法.
由于a>0,b>0,且2a+b=1,則有1a+2aa+b=2a+ba+2aa+b=1+a+ba+2aa+b≥1+2a+ba×2aa+b=1+22,當且僅當a+ba=2aa+b,即a=2-1,b=3-22時,等號成立.
所以1a+2aa+b有最小值為22+1.故選答案:B.
點評:根據題目條件,通過常數“1”的代換,借助所求關系式的恒等變形與轉化,利用基本不等式的條件合理配湊,并通過基本不等式來放縮處理.常數“1”的巧妙代入以及關系式的配湊,是破解此類問題的關鍵所在,也是利用基本不等式確定最值的常用技巧.
解法2:消參法1.
由a>0,b>0,且2a+b=1,可得b=1-2a>0,解得0 根據基本不等式,可得1a+2aa+b=1a+2aa+1-2a=1a+2a1-a=1a+-2(1-a)+21-a=1a+21-a-2=1a+21-a[a+(1-a)]-2=3+1-aa+2a1-a-2≥1+21-aa×2a1-a=1+22,當且僅當1-aa=2a1-a,即a=2-1,b=3-22時,等號成立. 所以1a+2aa+b有最小值為22+1.故選答案:B. 點評:結合題目條件,合理轉化,代入所求的代數關系式進行消參處理,進而結合關系式的恒等變形與合理配湊,利用基本不等式來合理放縮應用,進而確定相應代數式的最值.結合條件合理轉化,巧妙消參,將雙變量代數式問題轉化為單變量代數式問題,合理配湊,利用基本不等式來確定最值. 解法3:消參法2. 由a>0,b>0,且2a+b=1,可得b=1-2a>0,解得0 所以1a+2aa+b有最小值為22+1.故選答案:B. 點評:結合題目條件,合理轉化,代入所求的關系式,通過代數關系式的恒等變形與巧妙轉化,綜合基本不等式的應用條件并通過基本不等式來合理放縮處理.借助基本不等式時的合理配湊,形式多樣,變化多端,注意配湊的目的就是使對應的代數式的積為定值,方便利用基本不等式來確定最值. 思維視角二:方程思維. 解法4:判別式法. 由a>0,b>0,且2a+b=1,可得b=1-2a>0,解得0 設t=1a+2aa+b=1a+2aa+1-2a=1a+2a1-a,整理可得(t+2)a2-(t+1)a+1=0,則知關于a的二次方程有正實根,其判別式Δ=(t+1)2-4(t+2)≥0,解得t≤1-22(舍去),或t≥1+22. 故1a+2aa+b有最小值為22+1,當且僅當a=2-1,b=3-22時,等號成立. 故選答案:B. 點評:根據題目條件,合理轉化,代入所求的關系式進行合理消參,巧妙將所求代數式進行整體化處理,進而加以變形轉化為二次方程問題.利用方程的判別式法來構建對應的不等式,借助不等式的求解來達到求解最值的目的.構建對應的方程,借助方程思維,通過判別式建立相關的二次不等式,為進一步確定最值提供條件. 思維視角三:函數思維. 解法5:導數法.