水化-凍融耦合條件下大理巖蠕變損傷本構模型

趙越 司運航 張譯丹 趙京禹

摘要：為描述巖石在水化-凍融耦合條件下的蠕變特性，以大理巖為試驗對象，分別開展酸性、堿性、中性溶液與不同凍融循環條件下的單軸壓縮蠕變及核磁共振試驗，分析T₂（弛豫時間）譜分布和蠕變試驗結果，并進行耦合損傷演化，得到一個新的考慮水化-凍融與應力耦合的蠕變損傷本構模型。結果表明：1）大理巖T₂譜表現為三個譜峰，巖石以大孔徑孔隙為主。2）凍融循環作用促進大理巖孔隙發育，不同溶液環境對孔隙發育影響從大到小的關系為酸性、堿性、中性。3）分別構建水化-凍融和受荷損傷變量，從而建立耦合損傷變量?；诖罄韼r蠕變特性，確定蠕變基礎模型，進行耦合損傷演化，得到新的水化-凍融耦合條件下的大理巖蠕變損傷本構模型。4）新建模型模擬大理巖三種溶液凍融循環50次的的平均R²達0.985 4，遠高于基礎模型平均R²（0.919 4），說明本文新建模型對三種巖石蠕變數據辨識效果更好。

關鍵詞：水化-凍融；大理巖；核磁共振；蠕變；損傷；本構模型

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230153

中圖分類號：TU452

文獻標志碼：A

收稿日期：2023-06-23

作者簡介：趙越（1995-），男，副教授，博士，主要從事地質資源與地質工程方面的研究，E-mail： zhaoyue9501@163.com

基金項目：國家自然科學基金項目（51774165）；中國科協青年托舉工程項目（2023QNRC001）；2023年度遼寧省教育廳基本科研項目（青年項目）（JYTQN2023212））；遼寧省經濟社會發展研究課題（2024lslqnrckt-017，2024lslybwzzkt-002）

Supported by the National Natural Science Foundation of China （51774165）， the Young Elite Scientists Sponsorship Program by CAST （2023QNRC001），the Basic Scientific Research Project of Liaoning Provincial Department of Education in 2023 （Youth Project） （JYTQN2023212） and the Economic and Social Development Research Project of Liaoning Province （2024lslqnrckt-017， 2024lslybwzzkt-002）

Creep Damage Constitutive Model of Marble Under

Hydration Freeze-Thaw CouplingZhao Yue^1，2，Si Yunhang¹，Zhang Yidan³，Zhao Jingyu³

1.? Mining Institute， Liaoning Technical University， Fuxin 123000， Liaoning， China

2. College of Innovation and Practice， Liaoning Technical University，Fuxin 123000， Liaoning， China

3. Chemical Geological Prospecting Institute of Liaoning Province Co. Ltd.， Jinzhou 121000， Liaoning， China

Abstract： To describe the creep characteristics of rocks under hydration freeze-thaw coupling conditions， uniaxial compression creep and nuclear magnetic resonance tests were conducted on marble under acidic， alkaline， neutral solutions and different freeze-thaw cycle conditions. T₂spectrum distribution and creep test results were analyzed， and coupled damage evolution was carried out. Finally， a new creep damage constitutive model considering the coupling of hydration freeze-thaw and stress was obtained. The results show that： 1） The T₂spectrum of marble exhibits three peaks， and pore in the rock is mainly composed of large size pores. 2） The freeze-thaw cycle promotes the development of pores in marble， and the influence degree of different solution environments on pore development from high to lower is acidic， alkaline， and neutral. 3） The hydration freeze-thaw and load damage variables were constructed to establish a new creep damage constitutive model of marble under the coupling conditions of hydration freeze-thaw. 4） The average R²of 50 freeze-thaw cycles of three different solutions of marble simulated by a new model is 0.985 4， while the average R²of the basic model is only 0.919 4.

Key words： hydration freezing-thaw; marble; nuclear magnetic resonance; creep; injury; constitutive model

0 引言

隨著我國基建開發速度的提升，實際工作中越來越多地涉及到寒區巖體的工程建設問題^[1]。寒區巖石受地下水、化學、凍融、應力等因素的綜合作用，蠕變現象明顯，影響到工程建設安全，嚴重時可導致質量事故^[2-4]。蠕變本構模型是描述巖石蠕變特征的重要途徑之一，若能建立考慮多因素的蠕變本構模型，可為多因素耦合作用下巖石蠕變研究提供必要參考。

目前前人針對水化學、凍融、應力因素的巖石蠕變特性試驗已有一定的研究成果，如：丁梧秀等^[5]、吳洋^[6]、張峰瑞等^[7]、馮學志等^[8]分別開展了巖石在水化學、凍融及應力綜合作用下的蠕變特性研究，得到了不同水化學、凍融作用下的蠕變規律；童慶闖^[9]、Li等^[10]、陳國慶等^[11]、宋勇軍等^[12]、萬億等^[13]分別針對不同凍融、應力條件構建了巖石蠕變本構模型。目前針對水化學、凍融、應力因素已有相關巖石蠕變試驗研究，但三者耦合蠕變模型研究則少見報道。

鑒于此，本文以大理巖為試驗對象，進行水化-凍融耦合條件下蠕變損傷本構模型研究。首先開展酸性、堿性、中性溶液與不同凍融循環條件下的單軸壓縮蠕變及核磁共振試驗，分析T₂（弛豫時間）譜分布和蠕變試驗結果，建立水化-凍融與受荷耦合損傷變量；然后基于大理巖蠕變特性，擇取蠕變基礎模型，進行耦合損傷演化，得到一個新的考慮水化-凍融與應力耦合的蠕變損傷本構模型；最后給出模型參數求取方法，分析損傷參數敏感性及損傷演化，并引入相關文獻中石英巖和黃砂巖蠕變數據，采用所建模型辨識三種巖石蠕變曲線，對比驗證所建模型的可行性和適用性，以期為水化-凍融耦合條件下大理巖蠕變本構模型研究提供有益參考。

1 試驗設置與結果

1.1 試驗工況設置

以鄂西北地區某露天邊坡大理巖作為試驗對象，現場鑿取巖樣，運回試驗室后制作直徑50 mm×高100 mm規格的巖石試樣。在開展水化-凍融作用下的單軸蠕變試驗前，水化學條件設為酸性、中性、堿性溶液（pH分別為3、7、11），凍融循環，循環次數分別為0、25、50和75次，凍結—融化溫度設為-20～20 ℃，具體試驗設置見文獻[2]。

1.2 蠕變試驗結果

蠕變試驗結果如圖1所示，限于篇幅，以酸性溶液為例^[2]。

由圖1可看出，大理巖在不同工況下均表現出明顯的三階段特征，即初始受荷和增量加載的瞬間產生瞬時變形（階段Ⅰ），然后經歷衰減、穩定蠕變階段（階段Ⅱ），最后一級加載表現出加速蠕變階段（階段Ⅲ），大理巖樣發生破壞，應變量規律分析見文獻[2]。

1.3 核磁共振試驗

圖2為采用核磁共振技術得到的大理巖在不同工況下的T₂譜分布圖。

由圖2可看出，大理巖T₂譜分為三個譜峰，但不同工況下的T₂譜分布均不同，主要差異體現在T₂值和峰面積。由于T₂譜峰值與孔徑大小成正比，峰面積與孔隙數量成正比^[14]；由此認為弛豫時間從小到大的三個譜峰分別對應小孔徑、中孔徑、大孔徑的孔隙，且大理巖孔隙空間結構以大孔徑孔隙為主。

在同一種溶液環境下，隨著凍融循環次數的增大，T₂譜三個譜峰的面積均遞增，由此說明凍融循環作用對大理巖內部結構的孔隙發育起一定的促進作用。在同一凍融循環次數下，三種溶液環境下的第一峰、第二峰的峰面積差距不大，第三峰的峰面積從大到小為酸性、堿性、中性，這說明酸性溶液對孔隙發育的促進作用最強，堿性次之，中性最弱。

綜合分析認為，大理巖在不同溶液環境、凍融循環次數下，孔隙發育表現出一定規律性，巖石內部結構發生損傷，導致巖石力學性能發生變化。

2 巖石蠕變損傷模型

2.1 損傷變量

大理巖是碳酸鹽類巖石經變質而成的巖石，受溫度、水、自然風化等外界影響，在荷載作用下致使巖石材料力學性能衰退，這種導致性能衰退的巖石內部變化即為損傷發展的過程^[15]。本研究中的大理巖首先經歷了不同程度的水化-凍融作用，接著經受了不同應力作用，在水化-凍融及應力作用下，大理巖的內部微結構發生變化，損傷不斷累積，蠕變效應增強，巖石力學性能衰減。利用蠕變損傷模型來描述大理巖的損傷和蠕變發展無疑是一條有效途徑，在此之前，應先定義損傷變量，對大理巖損傷發展進行量化。

由于大理巖受水化-凍融及應力作用影響，巖石內部均產生了損傷，故應考慮不同因素共同作用下的耦合損傷。令巖石微單元總數量為A，A的組成為

A=A₁+A₂+A₃。??? （1）

式中：A₁為未受損單元數量；A₂為受應力作用影響的受損單元數量；A₃為受水化-凍融作用影響的受損單元數量。由于大理巖是先在水化學溶液浸泡，接著再進行凍融循環，受這兩種作用影響的受損單元會有共同損傷部分，無法單獨定義，故本文將水化-凍融簡化為一種附加在巖石上的整體作用。

按照損傷單元數量占比，將不同因素作用下的耦合損傷變量D定義為

假設巖石在水化-凍融作用下受損部位已損壞，該部位在應力作用下不再發生損傷，根據不同受損單元占總單元數量的比例，將A₃與A的比值定義為水化-凍融損傷變量D_w，將A₂與（A-A₃）的比值定義為受荷損傷變量D_s，即

聯合式（2）（3）得

D=D_w+D_s-D_wD_s。??? ?（4）

式（4）即為本文建立的反映水化-凍融和應力共同作用的耦合損傷變量。水化-凍融和應力對巖石的損傷機理是不一樣的，前者更偏向于“物理化學”范疇，后者偏向于“時效力學”范疇。由于本文已假定巖石內部已損部位不再重復受損，水化-凍融損傷和受荷損傷在未損區域持續反饋調整，使得巖石內部結構不斷劣化，造成力學性質衰減。

根據文獻[16-17]，巖石在水化-凍融作用下，彈性模量衰減較明顯，而損傷力學理論中亦有基于彈性模量變化的損傷定義方式，故將D_w定義為

D_w=1-E_w/E₀。??? （5）

式中，E₀、E_w分別為巖石水化-凍融前后的彈性模量，通過單軸壓縮試驗確定。

根據文獻[18]，彈性模量隨時間增長表現出指數型衰減規律，故將式（5）改寫為

D_w=（E₀-E_w）（1-e^-δt）/E₀。??? （6）

式中：δ為時效損傷相關參數；t為時間。令E₀=15 GPa，E_w=3 GPa，代入式（6）得到D_w演化曲線，如圖3所示。

由圖3可看出：隨著時間推移，D_w先逐漸（或迅速）增長再趨于穩定；δ決定D_w的增長速率，δ值越小，損傷累積速率越慢。綜合來看，式（6）較為靈活，D_w取決于巖石水化-凍融前后的彈性模量，δ控制損傷累積速率，利用式（6）描述水化-凍融損傷是可行的。

巖石在長期外界應力作用下，內部顆粒錯位，裂隙發育甚至貫通，微結構在一定時間段內發生隨機性變化，巖石內受荷損傷區域隨機分布?；谶@種時效損傷的隨機性，引入概率分布的思路，假定巖石受荷損傷遵從Weibull概率密度分布，則時效損傷概率密度函數φ（t）為

φ（t）=（m/α）（t/α）^m-1exp-（t/α）^m。??? （7）

式中，α和m為與巖石性質有關的隨機變量。對式（7）積分可得

式（8）即為D_s的損傷演化表達式。

將式（6）（8）代入式（4）變形可得

D=1-（2E₀-E₀e^-δt-E_w-E_we^-δt）·（1/E₀）exp-（t/α）^m。??? （9）

式（9）即為耦合損傷變量D的損傷演化表達式。

2.2 蠕變模型建立

在圖1對每一級加載0.1～60.0 h的過程中，其中第0.1 h時刻對應的是0 h的瞬時加載點，擇取7個數據點繪制等時應力-應變曲線，通過取拐點確定長期強度σ_p，如圖4所示，以酸性環境凍融循環50次為例^[2]。

由圖4可看出，第0.1 h時刻的曲線呈線性，10.0～60.0 h的曲線簇呈非線性，且隨著時間推移，曲線的非線性“偏轉”增大；這說明大理巖在加載瞬間，應變對應力的瞬時響應是彈性的。根據蠕變元件模型理論^[19-20]，可通過一個彈簧體（H體）來描述巖石瞬時彈性變形。通過圖4中10.0～60.0 h呈非線性狀態的曲線簇，可認為巖石蠕變三階段均具有非線性特征：當巖石發生衰減蠕變行為，應變率ε·>0（ε為應變，上標圓點表示ε對t的一階導數）；進入穩定蠕變階段后ε·=0，此時巖石應變表現出黏性和黏彈性，其中黏性性質可用一個牛頓體（N體）描述，黏彈性可用H和N體并聯的結構（H/N）來表征。通過取拐點的方法得到大理巖在酸性環境凍融循環50次下的長期強度為38.34 MPa，低于第三級加載應力40.75 MPa；這說明當應力超過長期強度后，存在巖石并未發生屈服的情況，此時巖石仍處于穩定蠕變階段，但應變表現為黏塑性，故可采用具有開關功能的黏塑性體（N/S）。當巖石應力超過長期強度σ_p且達到一定水平時，巖石會發生加速蠕變，短時間內巖石屈服，這里仍用黏塑性體進行描述?？偨Y以上分析，得到大理巖蠕變模型選用示意圖，如圖5所示。

由圖5可看出，應變由三部分組成，其中：區域①中瞬時彈性應變ε_e服從Hooke定律；區域中②中黏性和黏彈性應變之和記為ε_ve，以H-H/N結構模型描述；區域③中黏塑性應變ε_vp通過N/S結構模型表征。值得注意的是，文獻[4，15]中σ_p均低于倒數第二級加載應力，本文大理巖的σ_p亦低于倒數第二級加載應力，但大理巖屬于硬巖，其倒數第二級穩態蠕變曲線的ε·近乎于0，而一般軟巖存在倒數第二級穩態蠕變曲線ε·>0的情況，其蠕變曲線處于區域③內，這可能由于硬巖和軟巖的結構性質差異，導致硬巖蠕變變形的黏塑性行為弱于軟巖。

串聯圖5中元件，得到H-N-H/N-N/S結構，將其作為大理巖的基礎蠕變模型，如圖6所示。

為方便計算，在圖6中將區域①—③分解為4個部分，根據元件模型理論，圖6模型的狀態方程為：

式中，E為彈性模量。

解析式（10）得

式（11）即為蠕變基礎模型的一維本構方程，當σ≥σ_p時，〈σ-σ_p〉變為（σ-σ_p）；當σ<σ_p時，〈σ-σ_p〉為0。

假設大理巖經歷各向同性損傷，其初始力學參數M經歷發生損傷劣化，表示為

M（X）=M（δ，α，m，t）=M（1-D）。??? （12）

式中，M（X）為損傷后的力學參數。式（9）中，影響D的參數為δ、α、m和t，為方便描述，由X表示損傷相關變量。

將式（12）和（9）同時代入式（11）得：

式（13）即為本文水化-凍融耦合條件下的巖石一維蠕變損傷本構方程。

3 模型驗證

3.1 參數求解

1）參數E₁

根據Hooke定律，結合蠕變曲線，計算應力與瞬時應變的比值即可得E₁。

2）參數E₀、E_w

E₀、E_w通過單軸壓縮試驗確定。統計E₀、E_w繪制曲線，以酸性溶液工況為例，結果如圖7所示。

由圖7可看出，在同樣溶液環境下，彈性模量隨著凍融循環次數n的增加而遞減，在同一n值情況下，彈性模量從小到大關系為酸性、堿性、中性。取n=0時的彈性模量作為E₀，根據循環次數可確定E_w。當n=0時，E_w=E₀，D_w=0，參數δ無解，不影響損傷計算，此時D=D_s。

3）長期強度σ_p

通過圖4中等時應力-應變曲線，通過取拐點確定長期強度σ_p，當σ≥σ_p時，巖石黏塑性應變累積，最后一級加載下發生加速蠕變。

4）參數η₂、η₃、η₄、E₃、δ、α和m

當加載應力低于σ_p時，式（13）中開關無效。當加載應力超過σ_p時，式（13）中開關生效，采用數學軟件1stOpt，基于BGFS（Broyden Fletcher Goldfarb Shanno）算法進行非線性擬合，得到模型參數。值得注意的是，參數δ、α和m是耦合損傷變量的參數，由于損傷發展是一個持續過程，每一級加載均會導致損傷累加，故取不同應力水平下δ、α和m的平均值作為參數計算。

3.2 模型辨識

采用式（13）辨識大理巖不同工況下的蠕變曲線，同時選取圖6基礎模型作為驗證對比，得到辨識對比曲線如圖8所示，基礎模型參數見表1，新建模型參數見表2。

限于篇幅，圖8和表1僅以酸性、堿性和中性溶液環境下凍融循環50次為例。

根據數學軟件1stOpt計算結果可知：基礎模型對未發生加速蠕變的曲線辨識能力尚可，三種溶液凍融循環50次未發生加速蠕變的平均R²為0.959 3；基礎模型對最后一級蠕變曲線辨識效果較差，平均R²僅有0.786 4；基礎模型對三種溶液凍融循環50次全部蠕變曲線的平均R²為0.919 4（表1）。由圖8可看出，在三種溶液下，基礎模型模擬應變值大多數情況下低于本文新建模型模擬值。本文新建模型對不同工況下大理巖蠕變曲線的辨識能力較強，由表2計算得知三種溶液凍融循環50次平均R²達0.985 4；說明新建模型克服了傳統模型難以精確模擬加速蠕變行為的困難，能較為準確地描述大理巖在不同水化-凍融工況下的蠕變特性。

3.3 損傷參數敏感性

損傷參數δ、α和m決定了大理巖耦合損傷累積，分別取不同的δ、α和m值，將表1中除該值以外其余參數代入式（13），可繪制不同δ、α和m值的蠕變曲線，如圖9所示，以酸性溶液凍融循環50次的最后一級加載為例。

由圖9a可看出，參數δ主要影響蠕變曲線的衰減、穩定階段的曲線形態，不影響加速蠕變階段的應變率和應變值。δ值越大，衰減蠕變階段的應變率越高。

由圖9b可看出，參數α主要影響進入穩定蠕變階段的持續時間和加速蠕變階段的時間及應變率，不影響衰減蠕變階段。α值越大，穩定蠕變階段持續時間越長，巖石越慢地進入加速蠕變階段，該階段應變率遞減越小。

由圖9c可看出，參數m同時影響蠕變三階段，不同的m值對應不同的曲線形態，m值越大，曲線逐漸向應變軸靠攏，應變值越小。

綜合圖9可看出，損傷參數δ、α和m的取值對巖石蠕變三階段曲線模擬影響明顯，使得蠕變曲線更為靈活，對于描述巖石蠕變曲線這種非線性曲線具有一定優越性。

3.4 損傷演化分析

取t為某一種工況的試驗總歷時（圖1），同時將表1中損傷參數δ、α和m代入式（9），得到耦合損傷變量D隨t的累積曲線，如圖10所示。以不同溶液凍融循環50次為例。

由圖10可看出，D隨t的增長而遞增，當t增長到某一閾值點t_e時，D趨于平衡，大致判斷酸性、堿性和中性溶液的t_e分別為140、155和235 h。同樣時刻點下，不同溶液下的D值從大到小表現為酸性、堿性、中性，t_e值從小到大表現為酸性、堿性、中性；這說明酸性溶液環境下巖石損傷累積更快，堿性次之，中性最慢。值得一提的是，t_e在巖石倒數第二級加載時間范圍內，該級加載的應力剛好超過長期強度σ_p；這表明此時巖石內部微缺陷大量發育、擴展甚至局部貫通，接著在最后一級加載下便發生屈服破壞。

3.5 模型適用性

為驗證本文模型適用性，引用文獻[7-8]中石英巖、黃砂巖在不同溶液環境不同凍融循環條件下的蠕變數據，采用本文新建及圖6中模型進行對比辨識，得到模擬曲線，如圖11所示，由于文獻[7-8]為三軸壓縮蠕變試驗，模型辨識時，將偏應力替換式（13）中的σ。

由圖11中的模型值與試驗數據吻合程度來看，圖6模型難以描述巖石不同工況下的加速蠕變行為，平均R²僅有0.735 2，而本文新建模型能較精準辨識不同形態的蠕變曲線，平均R²達0.891 4；這說明本文新建模型對不同水化-凍融條件下的巖石蠕變模擬具有一定的適用性。

4 結論

1）大理巖T₂譜表現為三個譜峰，巖石以大孔徑孔隙為主。凍融循環作用的增強促進孔隙發育，化學溶液對孔隙發育影響從大到小為酸性、堿性、中性。

2）分別構建水化-凍融和受荷損傷變量，從而建立耦合損傷變量?；诖罄韼r蠕變特性，確定蠕變基礎模型，進行耦合損傷演化，得到新的水化-凍融耦合條件下的大理巖蠕變損傷本構模型。

3）給出模型參數求取方法，進行損傷參數敏感性及損傷演化分析，采用所建模型辨識三種巖石蠕變曲線，發現所建模型模擬值與試驗數據吻合較好，證明所建模型的可行性。

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