基于多階解析信號的磁源變深度成像方法

王彥國 田野 鄧居智 葛坤朋 陳曉

摘要：解析信號是磁法數據處理與解釋的常用工具。本文從不同階次解析信號及其垂向導數關系出發，引入深度縮放因子，構建了磁源變深度成像函數。該方法利用深度成像的極大值反映場源空間位置，利用反演深度及成像極大值估計場源構造指數。另外，結合不同深度縮放因子、不同階次的成像結果提高方法的可靠性與適用性。模型試驗及實例應用表明，相對于解析信號比值和局部波數的DEXP（depth from extreme points）方法，本文方法在使用更低階次導數的情況下，能夠獲得更強的計算穩定性、更高的空間成像分辨率和更準確的場源參數反演結果。

關鍵詞：磁源；解析信號；深度成像；構造指數

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20220338

中圖分類號：P631.2

文獻標志碼：A

收稿日期：2022-12-11

作者簡介：王彥國（1985—），男，副教授，碩士生導師，主要從事重磁數據處理與反演解釋，E-mail：201360026@ecut.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金項目（41504098，41862013）；江西省自然科學基金項目（20212BAB203005）

Supported by the National Natural Science Foundation of China （41504098， 41862013） and the Natural Science Foundation of Jiangxi Province （20212BAB203005）

Magnetic Source Variable Depth Imaging Method Based on

Different Order Analytic SignalsWang Yanguo^{1， 2}， Tian Ye²， Deng Juzhi^1，2，Ge Kunpeng^{1， 2}， Chen Xiao^{1， 2}

1. State Key Laboratory of Nuclear Resources and Environment， East China University of Technology， Nanchang 330013， China

2. School of Geophysics and Measurement Control Technology， East China University of Technology， Nanchang 330013， China

Abstract： Analytic signal is a common tool for magnetic data processing and interpretation. Based on the relationship of different order analytic signals and their vertical derivative， this paper introduced a magnetic source variable depth imaging function with a depth scaled factor. The new method can be used for determining the position of filed source by using the maximum value of depth imaging， and estimating structural index on basis of the inverted depth and imaging maximum value. In addition， we can use the imaging results with different depth scaled factors and different orders to improve the reliability and usability of the new method. Model tests and applications indicate that the new method can??? abtain? stronger computational? stability， higher spatial imaging resolution and more accurate field source parameter inversion results using lower-order derivatives， compared with the DEXP （depth from extreme points） methods of analytic signal ratio and local wavenumber.

Key words： magnetic source; analytic signal; depth imaging; structural index

0 引言

磁法勘探是金屬礦勘查最常用的地球物理方法之一，數據處理是磁測資料進行有效地質解釋的關鍵環節^[1]。但受磁化方向影響，磁異常往往與地質體沒有明顯的對應關系，直接進行異常解釋難度較大^[2]。常用的化極處理雖然可以將感應斜磁化磁異常轉換成垂直磁化磁異常，在一定程度上有助于異常解釋與推斷^[3]，但當存在與感磁方向不一致的剩磁時，磁異常較復雜，化極很難獲得滿意效果^[4]。由于二維解析信號不受磁化方向影響，三維解析信號受磁化方向影響較小，因此解析信號成為磁法數據處理與解釋的一種常用方法^[5-8]。

2003年，Salem等^[9]基于磁異常垂向導數解析信號和歐拉反褶積關系，提出了可以估計場源深度和構造指數的解析信號歐拉法；2005年，Salem^[10]又在解析信號導數基礎上構建了線性方程組來估計場源位置；2012年，Ma等^[11]在2階與1階解析信號比值基礎上完成了磁源深度及構造指數的估計；2014、2015年，Cooper^[12-13]也聯合不同階次解析信號確定了巖脈及臺階深度；2016年，Cooper等^[14]同樣在不同階次解析信號基礎上提出了一系列場源參數估計方法；2017年，Cooper^[15]在解析信號對數的導數基礎上實現了場源深度估計；2019年，Wang等^[16]在解析信號倒數的導數基礎上構建了場源參數反演方程組；2021年，Wang等^[17]推導出了磁異常多階解析信號的表達式，并在此基礎上構建了線性反演方程組，用于估計磁源參數；2023年，王萬銀等^[18]分析了多種重磁場源深度反演方法的應用效果，并給出了不同方法的使用建議。上述方法均通過構建基于解析信號的磁源參數估計方程組獲取場源深度和構造指數，但這類方法由于使用了磁異常不同階次的導數，因此易受噪聲干擾影響，往往需要事先進行向上延拓處理。

2013年，馬國慶等^[19]利用解析信號相關成像識別場源空間位置并試算場源構造指數；2021年，馬國慶等^[20]又采用解析信號導數與解析信號比值的相關成像來獲取場源位置；2014年，Abbas等^[21]提出了解析信號比值的DEXP（depth from extreme points）方法實現磁源位置及構造指數估計；2018年，王彥國等^[22]利用冪次平均的離散歸一化解析信號完成了場源快速成像；2022年，林濤等^[23]提出了層狀位場及其梯度數據聯合的相關成像法，提高了相關成像的縱、橫向分辨率。這類方法是基于解析信號的場源快速成像，主要利用各自方法成像圖中的極大值確定場源位置，但在一定程度上易受疊加異?；蛟肼暩蓴_的影響。

本文在前人研究的基礎上，基于不同階解析信號及其垂向導數關系式，提出了一種新的場源快速成像方法，即磁源變深度成像法。該方法利用成像圖中的極大值識別場源位置，利用成像極大值及深度估算場源構造指數。通過模型試驗和應用實例驗證本文方法的可行性、有效性及實用性，并與解析信號比值和局部波數的DEXP方法進行對比分析。

1 理論基礎

二維磁異常T的1階解析信號^[5]可表示為

式中，?T/?x及?T/?z分別為磁異常的1階水平及垂向導數。S_a1與場源位置的關系^[9]可描述為

式中：k為與磁化強度有關的參數；（x， z）為觀測位置；（x₀， z₀）為場源位置；N為構造指數，與地質體幾何形狀有關，N=0、1、2、3分別對應臺階、巖脈、圓柱體及球體。Ma等^[11]給出了2階解析信號的表達式：

Wang等^[17]推導出了n階解析信號表達式：

n階解析信號的垂向導數可表示為

基于n階解析信號垂向導數及n和n+1階解析信號表達式，引入深度縮放因子β，定義磁源變深度成像函數為

式（6）對x、z進行求導，并令其等于0，則有：

求解式（7），得

x=x₀，z=βz₀/（β-0.5）。 ???（8）

由于向上延拓高度z≤0，因此0＜β＜0.5。當0＜β＜0.25時，相當于深度軸進行了壓縮；當β=0.25時，深度軸無縮放；而當0.25＜β＜0.50時，深度軸進行了放大。由式（8）可知，在坐標點（x₀， ββ-0.5z₀）處，函數I^β_n存在極大值（易證明，此處略），因此可以利用函數I^β_n極大值估計場源位置。

當場源位置確定后，可以利用式（6）計算場源的構造指數：

雖然該方法使用了高階導數，但同樣使用了穩定的向上延拓處理，因此計算結果具有一定的穩定性。另外，當選擇較小的β時，結果具有較高的空間成像分辨率及較高的計算精度，但更易受噪聲干擾影響；當選擇較大的β時，結果具有較強的穩定性，空間成像分辨率卻較低。一般情況下，對于深部場源或者疊加場而言，建議選擇較小的β值；而對于淺部磁源，且當數據信噪比較低時，可選擇較大的β值。

為便于使用本文提出的磁源變深度成像方法，給出了該方法的主要計算流程。

1）選擇β值，給定向上延拓高度間隔Δz，則縮放后的高度間隔為βΔz/（0.5-β）。

3）計算磁源變深度成像函數，并對深度軸按（0.5-β）/β比例進行回放，然后根據成像極大值確定場源空間位置。受異常疊加或噪聲干擾影響，成像結果中可能包含虛假信息，不過這些虛假信息表現為偶極特征（同一水平位置，鄰近深度上存在極大值與極小值），因此極易被識別出。

4）根據成像極大值及深度，利用式（9）計算場源構造指數。

2 模型試驗

2.1 單一模型

為了測試本文方法的可行性與有效性，首先進行單一模型試驗。該模型是一個上頂埋深為1 km、寬度為0.1 km的巖脈、磁化強度為10 A/m、有效磁化傾角為45°。圖1給出了該巖脈在地面產生的理論磁異常及含10%噪聲的異常，其中計算點距為0.1 km。

圖2是無噪聲時β=0.10、 0.25、 0.35，Δz=0.1 km時的1、2階深度成像結果，可以看出：所有成像結果中僅存在一個極大值，均位于（5 km， 1 km）處，與巖脈的上頂位置完全一致；不過β=0.10時的成像結果更加聚焦，而β=0.35時的成像結果較為發散。I^0.1₁（圖2a）、I^0.1₂（圖2b）、I^0.25₁（圖2c）、I^0.25₂（圖2d）、I^0.35₁（圖2e）及I^0.35₂（圖2f）的極大值分別為1.098 7 km^-0.4、1.343 8 km^-0.4、1.000 2 km^-0.25、1.222 8 km^-0.25、1.039 3 km^-0.15及1.276 6 km^-0.15，利用式（9）計算得到的構造指數分別為0.99、0.98、1.00、0.99、0.99和1.00，同樣與巖脈的理論構造指數1一致。

圖3是磁異常含10%噪聲時不同深度縮放因子條件下的深度成像結果，可以看出：噪聲干擾雖然全部限制在近地表，但I^0.25₁（圖3a）反映的極大值位于（5 km， 0.2 km）處，與場源真實位置存在顯著偏差，而I^0.25₂（圖3b）無有效極大值；當β增大至0.35時，成像結果具有較強的穩定性，1、2階成像圖的有效極大值均位于（5 km， 0.9 km）處，與場源真實位置較吻合（圖3c、d）。根據極大值數據及場源位置，本文方法計算得到的構造指數分別為0.92及0.90，同樣與理論構造指數較為接近。

該單一模型實驗表明了新方法在場源成像及構造指數估計方面具有可行性，同時利用不同的深度縮放因子可提高方法的有效性及適用性。

為了體現方法的優越性，選擇與本文方法原理相近的DEXP方法進行對比分析，圖4給出了含10%噪聲時單一模型磁異常解析信號比值DEXP和局部波數DEXP的成像結果?？梢钥闯觯簾o論是2階與1階、3階與2階解析信號比值的DEXP，還是1、2階局部波數的DEXP，均無法有效反映出場源位置。這表明DEXP方法雖然使用了向上延拓，但仍會在強噪聲干擾環境下失效。

2.2 疊加模型

為了測試本文方法在疊加異常上的應用效果，建立了由1個臺階、2個巖脈和2個圓柱體構成的疊加模型，選取的測線長度為600 m，點距為1 m。臺階水平位置為100 m，上頂埋深為25 m，磁化強度為0.01 A/m，有效磁化傾角為60°；兩個巖脈分別位于200、300 m處，上頂埋深分別為15和20 m，磁化強度均為1 A/m，磁化傾角分別為45°和60°；兩個水平圓柱體半徑均為5 m，質心分別處于（400 m， 30 m）和（500 m， 35 m），磁化強度均為1 A/m，磁化傾角分別為45°和60°。圖5a是該疊加模型在地表上產生的磁異常，包含了1%的隨機噪聲。圖5b是圖5a含噪聲磁異常的1、2階解析信號，可以看出：1階解析信號存在5個明顯的極大值，分別對應著5個模型體水平位置，但受噪聲干擾影響，異常穩定性較差；2階解析信號受噪聲影響明顯，已經無法反映出有效信息。

圖6是疊加模型不同深度縮放因子1、2階磁源深度成像的結果，其中Δz=1 m?？梢钥闯觯害?0.10時1階深度成像結果（圖6a）僅在（99 m，28 m）和（198 m， 18 m）處存在極大值，極大值分別為0.225 9 m^-0.4、0.397 6 m^-0.4，對應的構造指數分別為0.21和1.63， 這兩個極大值分別對應臺階和第一個巖脈，但深度估計值及構造指數均大于真實值；β=0.10的2階深度成像結果（圖6b）可以反映出所有模型體的位置，5個極大值分別位于（99 m， 25 m）、（199 m， 17 m）、（300 m， 23 m）、（399 m， 32 m）和（499 m， 37 m），極大值分別為0.302 6 m^-0.4、0.458 5 m^-0.4、0.411 2 m^-0.4、0.401 4 m^-0.4和0.374 4 m^-0.4，構造指數分別為-0.02、1.35、1.43、2.25和2.15，估計得到的場源參數值與理論值較為接近，存在的誤差主要是由疊加異常引起的；β=0.15時的2階深度成像結果（圖6c）同樣存在5個極大值，分別處于（99 m， 27 m）、（199 m， 17 m）、（300 m， 29 m）、（399 m， 36 m）和（499 m， 40 m），極大值分別為0.338 1 m^-0.35、0.500 5 m^-0.35、0.457 3 m^-0.35、0.453 4 m^-0.35和0.425 4 m^-0.35，估計的構造指數分別為0.11、1.35、2.07、2.65和2.41，相對于圖6b而言，雖其淺部存在的噪聲干擾更加不敏感，但場源參數估計值與真實值偏差卻更大。也就是說，對于疊加場，在階次一樣的情況下，深度縮放因子越大，深度成像穩定性越好，但精度越低。

圖7是疊加模型解析信號比值DEXP的成像結果：2階與1階、3階與2階解析信號比值的DEXP均不能識別出任意場源的位置；4階與3階解析信號比值的DEXP也僅有2個極大值，位于（94 m， 25 m）和（199 m， 15 m），極大值分別為0.293 3 m^-0.5和0.515 9 m^-0.5，計算的構造指數分別為-0.07和1.00，估計的場源參數值與臺階和第一個巖脈參數值較為吻合。

圖8是疊加模型局部波數DEXP的成像結果：1階局部波數DEXP可以在（103 m， 26 m）處識別出臺階位置，極大值為0.116 5 m^-0.5，構造指數為0.19，但無法識別出余下4個場源；2階局部波數DEXP無法識別出任意模型體位置；3階局部波數DEXP存在2個有效極大值，位于（96 m， 27 m）和（199 m， 15 m），極大值分別為0.291 2 m^-0.5和0.515 9 m^-0.5，構造指數分別為0.03和1.00，較好地估計出了臺階和第一個圓柱體的位置及構造指數，但同樣不能反映出其他3個模型體。

對比圖6與圖7和圖8可以看出，本文方法具有更強的場源參數估計能力，能夠較好地反演出所有模型體的位置并估計出構造指數。而且，本文中的2階磁源變深度成像相當于使用了磁異常的3階導數，但解析信號比值及局部波數的DEXP即使使用了4階導數，也不能反映出所有場源信息。

3 實例應用

為了測試本文方法對實際資料的應用效果，選取黑龍江嫩北農場青年點地區1∶1萬地面高精度磁測數據進行測試。測區地表全部被第四系沉積層所覆蓋，下部主要是無（弱）磁性的二長花崗巖，但鉆探結果表明臨近該研究區的科洛金礦、三合屯金礦等礦床地下存在著中強磁性的閃長（玢）巖脈和褐鐵礦化蝕變帶，且與金礦體分布有著密切關系^[24-27]。圖9是點距為20 m的地面磁異常，可以看出，磁異常場中包含了數十條條帶狀磁異常，其中中部存在的兩條近南北向條帶異常最為明顯，已被槽探工作證實為褐鐵礦化蝕變帶。選取圖9中AA剖面進行磁源深度成像方法的測試，并與解析信號比值及局部波數的DEXP方法進行對比分析。圖10a是AA剖面的磁異常，圖10b是1階解析信號，可以看出，解析信號中包含了5個較為明顯的極大值，分別位于100，340，760，1 320和2 560 m處。

圖11是AA剖面β=0.1、0.2，Δz=5 m的1、2階磁源深度成像結果。由圖11可見，除了β=0.1的2階磁源深度成像不能識別340 m處磁異常對應的磁源外，其他3幅成像圖均清晰地展示出了5個有效的極大值，其對應場源位置、極大值及估算的構造指數見表1，可以看出不同深度縮放因子、不同階次的磁源深度成像結果得到的場源參數基本一致。如果所有磁源深度成像結果進行平均的話，那么場源1—5分別位于（100 m， 41 m）、（340 m， 42 m）、（760 m， 46 m）、（1 320 m， 45 m）和（2 570 m，43 m）處，構造指數分別為1.09、1.52、1.91、1.20和1.05。構造指數估計值表明場源1、4、5接近于典型的巖脈，而場源2、3則具有一定的寬度。

圖12是AA剖面解析信號比值DEXP的成像結果，結果顯示，只有2階與1階解析信號比值的DEXP可以有效識別出3個極大值，而3階與2階、4階與3階解析信號比值的DEXP只能有效識別出2個極大值。極大值對應的場源1、4、5位于（87 m， 35 m）、（1 320 m， 43 m）和（2 580 m， 35 m）處，構造指數分別為0.94、1.07和0.98，表明這3個場源均是巖脈狀的。

圖13是AA剖面局部波數DEXP的成像結果，1、2、3階局部波數的DEXP均有效地識別出了4個極大值，對應場源1、3、4、5，分別位于（100 m， 35 m）、（760 m， 40 m）、（1 320 m， 42 m）和（2 573 m，40 m）處，構造指數分別為0.91、1.72、1.02和0.96，即顯示場源1、4、5接近于巖脈，而場源3具有一定的寬度。

對比圖11與圖12、圖13可以看出，本文提出的磁源深度成像方法能夠識別出5個場源位置，而解析信號比值、局部波數的DEXP方法均不能識別出所有場源位置；另外，本文方法提供的4個反演結果可相互對比來進一步提高結果的可靠性。

4 結論

1）本文在多階次解析信號基礎上提出了一種新的磁源變深度成像方法，該方法無需先驗信息，可以快速地反映場源空間位置及估計構造指數。

2）由于新方法引入了可靈活選擇的深度縮放因子，因此方法具有較強的靈活性，還可以結合不同深度縮放因子的成像結果來提高反演結果的可靠性。另外，由于使用了穩定的向上延拓，方法可直接使用，無需進行濾噪處理。

3）模型試驗表明，相對于解析信號比值和局部波數的DEXP方法，本文方法不僅適用于強干擾情況，而且更加適合于復雜疊加異常的處理，反演得到的場源參數值也更加接近真實值；另外本文方法使用的導數階次更低些。

4）實例應用中選取的磁測剖面成像結果表明，解析信號比值、局部波數的DEXP識別出的磁源數少于本文磁源變深度成像識別出的磁源數，且本文方法提供了4個不同的場源成像結果，使得本方法計算結果更加可靠。

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