基于壓縮感知追蹤算法的低計算量分組稀疏均衡方案*

劉佳寧,牛安東,苗 碩,李英善

(1.南開大學 電子信息與光學工程學院,天津 300350;2.天津市光電傳感器與傳感網絡技術重點實驗室,天津 300350)

0 引 言

多載波波形一直在根本上影響著無線通信的發展,現如今,循環前綴正交頻分復用(Cyclic Prefix-Orthogonal Frequency Division Multiplexing,CP-OFDM)技術被高級長期演進技術(Long Term Evolution-Advanced,LTE-A)中物理層廣泛采用。然而,CP-OFDM技術難以滿足下一代通信的目標,因此許多新型多載波技術被提出[1]。其中廣義頻分復用技術(Generalized Frequency Division Multiplexing,GFDM)作為5G候選波形在2009年被提出[2]。GFDM將多個OFDM符號組成一個塊,與OFDM不同的是,GFDM在每一個塊結構后加一個CP,并采用咬尾技術進一步縮短CP,有效降低了部分開銷并提升了頻譜效率。除此之外,GFDM可以通過設置不同的原型濾波器使其相較OFDM具有更低的帶外輻射和更高的頻譜效率。GFDM是一種有前景的靈活的多載波調制方案,它在不嚴重干擾現有的服務或其他用戶的前提下,使得碎片化頻譜和動態頻譜變得可行[3]。

在信號的傳輸過程中,由于多徑傳播、信道衰落、噪聲等等原因,信號在接收端會產生嚴重的符號間干擾(Inter-symbol Interference,ISI),為了解決這個問題,通常需要在接收端使用均衡技術進行補償,來消除ISI[4]。在OFDM技術中,通常引入CP來解決ISI問題,然而均衡器必須具有大量的抽頭,這意味著每次迭代的計算量很大,需要很長的訓練序列。降低復雜度的方法就是開發稀疏均衡算法。

均衡技術可以分為線性均衡和非線性均衡。在線性信道中,線性均衡就已經可以達到很好的效果,然而實際上所要面臨的信道要復雜許多,線性均衡已經很難滿足用戶的需求,因此需要采用非線性均衡技術。Volterra模型是一種經典的非線性模型[5],一類有效的Volterra非線性均衡訓練方法在2022年被提出[6]。然而該模型的項數數量隨著記憶深度和非線性階數的增加呈指數型增長,求解復雜度隨之增大。其實基于Volterra模型,學者已經提出了很多簡化模型,其中包括人們熟知的多項式(Memory Polynomial,MP)模型[7]以及廣義記憶多項式(Generalized Memory Polynomial,GMP)模型[8]。其中MP模型沒有交叉項,丟失了部分信息,因此GMP模型更廣泛地適用于非線性系統的建模,文章在研究過程中使用GMP模型構造非線性均衡器。

GMP模型雖然對項數數量進行了修剪,但還是包括了大量的系數,在系數估算上有很大的計算量,為了對系數進行進一步的修剪,一類壓縮感知的算法進入大眾的視野,極具應用價值[9]。實際上,在通信系統中,信道通常呈現出稀疏特性,因此本文利用壓縮感知的算法研究GFDM系統中的稀疏自適應均衡問題。其中正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法在其中最具有代表性[10]。在2018年,雙正交匹配追蹤(Doubly Orthogonal Matching Pursuit,DOMP)算法被提出,對OMP做了改進,使得錯誤率更低[11]。然而這一類追蹤算法在每次迭代過程中都進行了復雜的矩陣求逆的操作,導致運算速度很低。此外在仿真中發現,一組均衡器系數并不能適應迅速變化的信道。

因此,本文采用分組數據的模式適應復雜的信道,使得均衡效果得到了改善。此外,利用分塊矩陣求逆的原理,對壓縮感知追蹤算法進行了改進,提升了均衡的速度。

1 系統模型

1.1 GFDM系統

具有均衡器的GFDM系統框圖如圖1所示。GFDM基于塊傳輸,將時隙等間隔地劃分為M個子時隙,又把每個時隙等間隔地劃分為K個子信道,分別稱為子符號和子載波。dm,k為第m個子符號上第k個子載波的信號,信號源在發射機端,產生二進制數據向量b,之后采用QPSK、QAM等調制方式得到數據塊D。

圖1 GFDM系統框圖

(1)

1.2 萊斯信道

瑞利衰落信道被用于無線電信號傳播環境的建模,但是瑞利信道不包含視線傳輸(Line of Sight,LoS),相對于瑞利衰落信道,萊斯信道包含LoS和散射成分,適用范圍更廣[13],本文采用萊斯信道模型對信道進行建模。

以下給出移動環境下萊斯信道的模型描述:

z(t)=KLoS·x(t)e-j2πfd·t+

(2)

1.3 Volterra非線性均衡器模型

本文采用的非線性均衡器模型如圖2所示,經過GFDM調制后的信號進入信道后加入高斯白噪聲得到z(n),將z(n)進行非線性建模得到A。非線性建模采用Volterra的變化形式GMP方式建模。

圖2 非線性自適應均衡器模型

GMP模型的表達式如下[8]:

(3)

式中:第一項為同步包絡項;第二項為滯后包絡項;最后一項為超前包絡項;M和L分別是記憶深度和非線性階數;P和Q分別為滯后深度及超前深度?？紤]通信系統的特性以及對系數數量的進一步簡化,在仿真時令Q為0,即僅保留同步包絡項及滯后包絡項。

改寫成矩陣形式可得到下式[15]:

yGMP=AGMP·θ

(4)

式中:θ為待估測系數向量;AGMP包含同步包絡項及滯后包絡項,其第n行可表示為

(5)

式中:

(6)

(7)

由z(n)構造出AGMP后送入均衡器,將AGMP記為A。均衡器系數θ通過壓縮感知均衡算法進行估算:

(8)

2 壓縮感知算法

2.1 OMP算法

在1.3節中,介紹了利用GMP模型構造的非線性均衡器模型,由于無線信道經常呈現稀疏特性,為了進一步修剪系數,本文采用壓縮感知算法來解決式(8)的問題。

OMP算法是一種典型的壓縮感知算法。該算法基于貪婪算法的思想,首先選擇與目標結果最匹配的待挑選向量,求出對應的待估測系數以及殘差,之后選擇與該殘差最匹配的向量,將該過程反復迭代,最后殘差在一個可忽略的范圍內,則目標結果就可以表示成之前所有被選擇向量的線性和。需要說明的是,在迭代的每一步都對全部選擇的向量進行正交化處理。OMP算法流程如下[10]:

輸入:x,A,K

1 初始化:殘差向量r=x,Λ0=φ,P0=φ,t=1

2 循環部分

2.1 求得目標索引λ,滿足

2.2

Λt=Λt-1∪{λt}

Pt=Pt-1∪{A(:,λt)}

2.5t=t+1,如果t≤K,跳到2.1,循環繼續;反之,退出循環

算法中A∈m×n為非線性建模的感知矩陣,x∈m×1是輸入信號向量,n×1為待估計的稀疏向量,K為系數的稀疏度。用該算法解決式(8)所提出的問題。

2.2 DOMP算法

DOMP算法強化了在模型的稀疏參數識別中系數的選擇,在OMP算法的過程中增加了一步施密特正交化的操作,進一步將選擇的回歸變量和待挑選的回歸變量解相關,使選擇的基集與殘差正交的同時,與沒有被選擇的回歸變量也正交,實現了雙重正交。

3 低計算量分組稀疏均衡方案

為了解決引言中提到的信道變化復雜的問題,本文提出使用分組數據模式進行均衡。此外,為了降低壓縮感知追蹤算法的復雜度,本文利用分塊矩陣求逆的原理,對追蹤算法進行了改進,減少了算法的計算量。

3.1 分組數據模式

在復雜信道中,一組均衡器的系數估計不能很好地適應信道的快速變化。因此采用分組數據的模式,將數據分組分別經過壓縮感知均衡算法,對每組數據估算出不同的均衡器系數。將時域中串行的信號按照每組長度為Bl分組后分別進入均衡器,再將經過均衡器的信號串在一起進行后續的解調等一系列操作。經過仿真驗證,均衡效果得到了有效提升。

3.2 較低計算量的追蹤算法

OMP算法及DOMP算法都是壓縮感知中效果很好的追蹤算法,然而如2.1節中算法所示,OMP算法循環部分的2.3節中,對向量的估計所使用的最小二乘求解的方法,在每一次循環中都需要進行矩陣PtHPt求逆的操作,復雜度非常大。為了降低算法的計算量,本文提出一種基于分塊矩陣求逆求解(PtHPt)-1)的方法。為了說明方便,記(PtHPt)-1=St。

t=1時,

P1∈m×1

(9)

t=i時,

Pi∈m×i

Pi=[Pi-1A(:,λt)]

(10)

記A(:,λt)為A{λt},則有

Pi=[Pi-1A{λt}]

(11)

(12)

分塊矩陣求逆的公式由式(13)給出[16]:

(13)

使用式(13)需要滿足的條件是A可逆,D可逆,且|D-CA-1B|≠0

(14)

其對應的

(15)

顯然,滿足使用式(13)的條件,繼而推出

(16)

因此得到

(17)

式中:

(18)

可以看出,追蹤算法中只需要保留上一次循環所求逆的結果,就可以在新一次求逆的過程中避免復雜的求逆過程,得到新的數值。

綜上,將追蹤算法的2.3步進行如下改進可降低算法的計算量:

F=Pt-1HA{λt}

(19)

(20)

(21)

(22)

綜上所述,將每次循環中求解St的步驟做了改進,避免了矩陣求逆的運算,在第t次循環中,改進前后求解St計算復雜度分別為O(m·t2+t3)和O(m·t+t2),m代表輸入向量x的長度。本文提出的方法在每一次循環中都降低了計算復雜度,進而達到減小算法整體復雜度的目的。

對于OMP算法及DOMP算法,當使用快速變換后,正交化的步驟中矩陣求逆通常成為算法的瓶頸。在本文提出的低復雜度的算法中,摒棄了復雜的求逆運算,只需要在每步的循環中,使用矩陣乘法進行迭代計算。實際上使用快速變換后,矩陣乘法的運算速度能夠得到進一步地提升,因此本文提出的低復雜度的方式具有相當明顯的優勢。

3.3 改進的稀疏均衡方案

本文提出了一種基于壓縮感知追蹤算法和分組數據模式的低計算量分組稀疏均衡方案。將進入信道前的時域信號x進行分組,每組數據長度為Bl,分別進入均衡器,將每組的輸出串行在一起得到與x長度相同的y,y再進入GFDM解調器。在1.3節中敘述了本文采用的非線性均衡器模型,為了解決式(8)所提出的問題,可采用3.2節中提出的低計算量的改進OMP算法或低計算量的改進DOMP算法,其中輸入的x為經過分組的時域信號,A為經過分組的信號進行1.3節所述GMP方式建模之后的測量矩陣。

低計算量的改進OMP算法流程如下:

輸入:xBl×1,ABl×n,K

1 初始化:r=x,Λ0=φ,P0=φ,t=1

2 循環部分

2.1

2.2

Λt=Λt-1∪{λt}

Pt=Pt-1∪{A(:,λt)}

F=Pt-1HA{λt}

2.5t=t+1,如果t≤K,跳到2.1,循環繼續;反之,退出循環

低計算量的改進DOMP算法流程如下:

輸入:xBl×1,ABl×n,K

1 初始化

1.1r=x,Λ=φ,P=φ,t=1,Z=A

2 循環部分

2.1

2.2

Λ=Λ∪{λ}

P=P∪{Z(:,λ)}

施密特正交化:

U=Z(:,λ)Hr

Z=Z-U?Z(:,λ)

式中:?代表克羅內克乘積,也叫張量乘積。

F=Pt-1HA{λt}

2.5t=t+1,如果t≤K,跳到循環部分的2.1,循環繼續;反之,退出循環

4 仿真結果與分析

4.1 仿真參數

為了驗證本文所提出的基于壓縮感知追蹤算法和分組數據模式的稀疏分組均衡器方案在GFDM系統中的效果,在Matlab R2019a中進行仿真驗證。GFDM系統的參數見表1,其中有效信息載波位置表示前端的6個載波和末尾的5個載波。

表1 GFDM系統參數

本文主要參考鄉村視距(Rural Line of Sight,RLoS)無線傳輸信道模擬信道環境,對萊斯信道的仿真參數說明如下:散射路徑數目L=2,最大多普勒頻移fd=100 Hz,直射路徑的歸一化功率為 0 dB,萊斯因子Kr=10,散射路徑的時延為τl=[83 ms,183 ms],散射路徑的歸一化功率為Pl=[-14 dB,-10 dB],散射路徑多普勒頻偏fdl=[61.5 Hz,-36.9 Hz]。

非線性均衡器采用節1.3中所述的GMP模型建模,令記憶深度M=6,非線性階數L=3,滯后深度P=5,系數總數為78個。綜合考慮計算量及信道的稀疏特性,在使用追蹤算法時,令稀疏度K=30。

4.2 信號分組長度對均衡效果的影響

將數據分成多組,每組的信號長度記為Bl,圖3給出了Bl分別等于48,66,88,726,1 452,5 808時,在RLoS信道下,使用低計算量的OMP算法,誤碼率性能隨信噪比變化的曲線,圖4給出了在信噪比為15 dB時接收信號的星座圖。

圖3 RLOS信道中OMP均衡算法下不同Bl的誤碼率曲線對比

圖4 RLOS信道中OMP均衡算法下不同Bl對應的接收信號星座圖

通過比較可以看出,均衡器不同程度地消除了信道帶來的ISI,Bl越小,均衡效果越好。若信號不進行分組,或Bl選擇過大,誤碼率會很大。

4.3 改進的低計算量算法對均衡的作用

固定每組信號長度Bl=48,在RLOS信道中進行仿真分析。圖5給出了使用OMP算法、DOMP算法、改進OMP算法、改進DOMP算法、不進行分組的OMP算法,以及無均衡器時,誤碼率性能隨信噪比變化的曲線。為了分析計算復雜度及運行時間,本文在同一臺電腦上將幾個算法依據不同信噪比仿真2 000次所用的運行時間做了平均處理,并進行了比較分析,具體結果如表2所示。

圖5 不同算法的誤碼率性能比較

通過圖5可以看出,不進行分組的OMP算法的均衡效果不太理想,分組后的OMP算法與改進OMP算法誤碼率性能幾乎相同,DOMP算法與其改進算法誤碼率性能也幾乎相同,整體好于OMP算法及其改進OMP算法,即提出的新的低計算量的算法的誤碼率性能跟改進前的算法維持在幾乎相同的水平。但是,如表2所示,DOMP算法2 000次的運行時間比OMP算法耗費時間長約300 s,改進的OMP算法比OMP節省了約500 s的時間,改進的DOMP算法比DOMP算法節省了約400 s的時間。由此可知,DOMP算法精度的提高是以提升復雜度為代價的,然而本文所提出的算法僅增加了O(1)量級的空間復雜度,卻使得仿真所需的時間縮短了接近一半,同時將78個均衡器系數修剪為30個,使均衡器的實現變得更加高效,減小了自適應均衡的計算復雜度,縮短了均衡所需時間。

5 結 論

GFDM系統作為5G候選波形之一具有頻譜利用率高、復雜度低、帶外泄露小等諸多優點,但在多徑傳播信道環境中同樣會存在嚴重的符號間干擾問題,而合適的均衡方案可以解決此問題。為了提升對復雜信道的均衡效果,利用多徑信道的稀疏特性,本文提出了一種基于壓縮感知追蹤算法和分組數據模式的低計算量稀疏分組均衡方案。為了應對復雜的稀疏信道模型,本文先使用GMP模型對均衡器的輸入信號進行了非線性建模,且均衡過程中采用了分組數據模式,其次利用分塊矩陣求逆的原理,摒棄了復雜的矩陣求逆運算,在每步的循環中使用矩陣乘法進行了迭代計算,改進了原先的OMP算法及DOMP算法。

Matlab仿真實驗表明,該方案不但將78個均衡器系數修剪為30個,降低了均衡器復雜度,而且將矩陣求逆運算轉換為迭代計算矩陣乘法,明顯地降低了計算量,縮短了仿真所需的時間,并且有效地消除了ISI,提升了誤碼率性能。分組均衡中,每組信號的長度越小,均衡效果越好。但是,應對簡單的信道,分組長度不需要很小就已經可以得到很好的誤碼率性能,因此,應適當選取參數,避免造成資源浪費。