幾何變換在圓柱度評定優化算法中的研究

尹浩田，鄭 鵬，曹滿義，吳江昊

（鄭州大學機械與動力工程學院，河南 鄭州 450001）

1 引言

零件的形位誤差對產品精度有至關重要的影響。對于儀表等精密器械，其組成部件應嚴格滿足形位誤差的設計要求。軸類零件在機械產品中應用廣泛，圓柱度作為衡量回轉體零件形位誤差的重要指標，將對產品的旋轉精度和壽命產生重要影響。因此，實現圓柱度誤差迅速、準確地評定對提高生產效率至關重要［1］。圓柱度誤差的評定方法主要有：最小包容區域法（MZC）、最小外接圓柱法（MCC）、最大內切圓柱法（MIC）、最小二乘法（LSC）四種［2］。其中，最小二乘法在計算速度上相較于其他方法有明顯的優勢，但往往其誤差評定結果不能滿足精度要求。最小包容區域法滿足圓度評定的包容要求，得到的誤差精度高，但其運算較為繁瑣，評定效率低，常作為誤差評定標準。近些年來隨著深度學習和人工智能的不斷發展，有不少研究學者對于圓柱度誤差評定提出了新方法。文獻［3］實現了利用DNA方法計算圓柱度誤差，并通過實驗進行驗證。文獻［4］利用鞍點規劃和遺傳算法，構建了直接求解形位誤差的線性規劃模型。文獻［5］研究了粒子群優化算法在圓柱度誤差中的應用，通過求解模型實現圓柱度誤差評估。文獻［6］通過誤差分離技術（EST）設計了圓柱度誤差在線檢測裝置并進行實驗驗證；文獻［7］提出了一種基于收縮因子的粒子群優化算法來評價最小區域形狀誤差。文獻［8］提出了一種改進的協調搜索（IHS）算法來提高圓柱度的測量精度。文獻［9］提出了一種基于運動幾何優化算法（KGOA）的圓柱度最小區域誤差評估方法。利用上述算法，在測量數據充足的情況下可以很容易地進行圓柱度誤差評定。

最小包容區域圓柱度誤差求解可通過構建優化函數實現。但在實際評定中，由于圓柱度的精確原位測量比較復雜，需要對圓柱度進行測量和重構，并對圓柱度進行評定［10］。這里針對最小包容區域法運算速度慢和最小二乘法精度低的問題，將求解最小包容區域法圓柱度誤差的三維方法轉化為求解平面度的二維方法，在保證精度的前提下提高了計算速度。

2 圓柱度誤差幾何模型

由圓柱度誤差的定義所知，在圓柱度誤差評定過程中既要滿足最小條件原則，又要在基準圓柱面的基礎上得到被測要素的變化量。被測要素Pi始終位于同軸的兩理想圓柱面C1和C2之間，如圖1所示。當C1和C2的差值最小時，其差值t即為最小區域法所求得的圓柱度誤差。

圖1 圓柱度誤差幾何模型Fig.1 Geometric Model of Cylindricity Error

柱面坐標系中工件的三維表面數據的采集方式多采用截面法，即沿軸向進行等間距采樣，測量多個截面后，對整體數據進行擬合。設實際被測圓柱面各點的坐標為P（iRi，θi，Z）i，儀器的測量回轉軸線OO'沿Z軸方向，如圖1 所示。評定基準圓柱軸線O1O'1沿L軸方向，其在XOY平面上的偏心坐標為（a，b）。設L軸與Z軸的夾角為γ，其在XOZ、YOZ平面上的投影分量分別記為γx、γy，則理想圓柱面的參數方程可以表示為：

以L為基準，保證實際被測點處于圓柱面C1和C2之間，通過不斷調整軸線L的偏心坐標和夾角，求得具有最優位置和方向的軸線L’，并以此為基準軸線做最大最小包容圓柱面，即可求得圓柱度誤差值。此過程可轉化為線性規劃求極值問題，通過被測點的點集｛P｝i得到（a，b，p，q）使其滿足于式（2），即可通過求解模型獲得圓柱度誤差值。

最小包容區域法評定模型為：

3 基于幾何變換的圓柱度評定新算法

通過對測量數據進行最小二乘擬合，可以得到被測零件的最小二乘軸LLS。將最小二乘軸線與參考軸線進行坐標變換，可以得到實際被測點經幾何變換后的坐標，如圖2所示。最小二乘擬合方法是通過最小化所測數據與理想圓柱面的殘差平方和來確定參考軸線的最佳匹配函數。擬合過程可理解為通過調整理想圓柱面不斷逼近采樣數據，使映射點之間的距離不斷減小，最終得到的理想軸為最小二乘軸線。

圖2 基于最小二乘軸線的坐標變換Fig.2 Coordinate Transformation Based on Least Squares Axis

這里提出的基于幾何變換的圓柱度評定優化算法的步驟是：首先利用最小二乘軸線LLS將測量點集（Ri，θi，Z）i進行幾何變換，得到轉換后的被測點坐標（Ri'，θi'，Zi'）。將轉換后的坐標值基于最小二乘軸線展開成平面集（X'，Y'，Z'），并按照最小包容區域法的評定模型進行求解，計算所得的平面度誤差值即為經幾何變換后的圓柱度誤差。求解過程，如圖3所示。

圖3 幾何變換求圓柱度流程圖Fig.3 Flow Chart for Calculating Cylindricity by Geometric Transformation

在實際測量中，由于回轉軸線與基準軸線不重合，采集到的圓截面數據會呈規律性變化。圖3顯示的是實際圓柱的測量過程，其基準軸線與測量回轉軸線的夾角為ψ。在此形態下，測頭與圓柱面做相對運動，由測頭記錄測量數據。

由于圓柱面存在傾斜，所測得的輪廓曲線展開后是正弦曲線，如圖4所示。

圖4 測量點展開圖Fig.4 Expanded View of Measuring Points

正弦波的振幅h可表示為：

正弦波Z的方程可以表示為：

式中：θ—展開面上的角坐標；φ—相位。

Z的坐標可表示為：

考慮到圓柱的傾角ψ和正余弦波的振幅呈線性變化，令：

通過數學變換，最終將圓柱度誤差轉化為求解平面度誤差，圓柱度誤差值轉換為正弦波振幅h，如圖5所示。其中，Z1，Z2，…，Zn—n個被測截面數據所展開的正弦曲線，θ—展開面上的角坐標。平面度誤差最小包容區域法的數學模型為：

圖5 展開表面的網格和數據點Fig.5 Grid and Data Points of the Unfolded Surface

式中：w—實測的原始偏差；x、y—被測點的坐標；u、v—誤差的最大和最小值；α、β—繞x、y軸的旋轉量；m—測量點個數。

4 實驗分析

為驗證提出的圓柱度評定方法的準確性，設計并進行相關實驗進行圓柱度評定，計算并記錄評定效率。測量裝置選擇DTP-1000AE 型圓度儀，系統精度≤0.06μm。工件選擇尺寸為Φ50×42mm，材質為45#并完成精磨加工的軸類零件。實驗共測量50個零件，每個零件等間距劃分15個截面，獲得測量數據。將測量數據分別利用標準評定方法和幾何變換法進行評定，實驗裝置，如圖6所示。

圖6 實驗裝置Fig.6 Experimental Setup

將實驗數據運用Matlab 仿真分析，分別得到最小包容區域法的三維顯示，和展開后的擬合平面，如圖7 所示。圖中x，y，z是測量點的三維坐標，如圖8 所示。為了更直觀的觀察圓柱度誤差評定，圖7、圖8 中三維坐標系中的測量數據去掉了平均半徑。如圖7 所示，從中可以看出兩同軸圓柱之間包含了所有采樣點，它們的半徑差即為該工件的圓柱度誤差。如圖8所示，取圓柱度截面個數為15，采樣點數為1000時將測量點展開形成的擬合平面。

圖7 最小區域擬合的圓柱度Fig.7 Cylindricity of the Smallest Area Fit

圖8 圓柱度展開后的擬合平面Fig.8 Fitting Plane After Cylindricity Expansion

截面層數為15 層時，采樣點分別為500、1000、2000、3000、5000時的三種方法的圓柱度誤差測量結果，如表1所示。

表1 不同采樣點數圓柱度誤差結果Tab.1 Results of Cylindricity Error for Different Sampling Points

f1、f2、f3分別代表當采樣點數為1000時，截面層數分別為10，15，20時求得的圓柱度誤差值，如表2所示。比較了在采樣點數為1000，截面層數為15層時三種評定方法所用時間，如表3所示。

表2 不同采樣點數求得圓柱度誤差Tab.2 The Cylindricity Error Obtained by Different Sampling Points

表3 不同采樣點數圓柱度誤差用時Tab.3 Time for Cylindricity Error of Different Sampling Points

對實驗結果縱向對比，由表1和圖9可知，當截面層數相同時，隨著采樣點數的增加三種方法測得的圓柱度誤差也在提升。其中圖9表示當截面層數為15，采樣點數與圓柱度誤差的關系。由表2可得，當采樣點數相同時，隨著截面層數的增加，三種方法測得的圓柱度誤差的精度同樣得到了提升。由表3可知，在采樣點數和采樣界面都相同的情況下，新方法用時相較MZC有著明顯的提升。對于MZC和新方法，采取最小條件原則，隨著截面層數的增多，擬合出的理想圓柱面越來越接近實際被測圓柱，所測得的圓柱度誤差的精度在不斷提升；同時由于二者都用到線性規劃模型來求解誤差，所求解矩陣維度增加，需要處理的數據點增多，用時t也隨之增加。對于LSC，其實質是一種求近似的思想，不需要遵守最小條件原則，故隨著截面層數的增加，精度并未受太大影響，計算速度也基本一致。

圖9 采樣點數與圓柱度誤差的關系Fig.9 The Relationship Between the Number of Sampling Points and the Cylindricity Error

對實驗結果進行橫向對比，當采樣點數為1000、截面層數為10層時，新方法與MZC相比誤差值相差了3.04%，測量時間t提升了20.38%；采樣點數不變，截面層數增至15層時，新方法與MZC的誤差值相差2.53%，測量時間t提升了19.96%；截面層數增至20 層時新方法與MZC 的誤差值相差1.92%，測量時間t提升了18.34%。由于不遵守最小條件原則，LSC相較于前兩種方法誤差精度相差較大。故在精度基本一致的情況下，新方法比MZC有著更快的計算速度。

5 結論

這里介紹了一種新的評價圓柱度的方法，在最小包容區域法的基礎上運用降維的思想將三維圓柱度誤差求解轉化成二維平面度的求解。通過建立圓柱度降維求解的數學模型，沿擬合的最小二乘軸線將測量點轉化為二維平面，得到了由測量點組成的平面模型，從而將三維圓柱度轉化為二維平面度求解。由于都遵循最小條件原則，在精度基本一致的前提下，在最小包容區域法求解速度慢的問題上有所改善。通過實驗驗證了在不同采樣點數和不同截面數下新方法的可行性，結果表明，在滿足精度要求的前提下，評定時間均比最小包容區域法提升了約20%。