圓弧足被動行走機器人動力學參數影響研究

張婉婉，高建設，高家昌，王高峰

（鄭州大學機械與動力工程學院，河南 鄭州 450001）

1 引言

由于雙足機器人對復雜地形具有較強的適應性，受到了研究人員廣泛關注［1-2］。目前，為了實現其穩定行走，許多機構已經開發了各種具有復雜控制系統的主動雙足機器人［3-5］。然而，復雜控制系統的設計往往會導致機器人不可避免地存在能量損耗大、控制難度高、步態僵硬等問題。這些問題極大地制約了雙足機器人的發展和應用。

20世紀90年代，文獻［6］提出了被動動力學理論并實現了二維無膝關節和有膝關節雙足被動行走機器人在斜坡上的自發步行。文獻［7］表明被動行走機器人研究不僅有助于理解人類步行的內在機理，而且可以指導設計更高效靈巧的雙足機器人。然而，被動行走機器人的穩定行走在很大程度上依賴于初始條件和動力學參數［8］。為避免被動行走機器人出現不穩定甚至摔倒的情況，動力學參數影響研究成為被動行走領域至關重要的課題。

繼文獻［6］開創性工作之后，許多學者對雙足被動行走機器人進行了大量相關性研究。文獻［9］提出了一種最簡模型，研究發現，當斜坡傾角增大時該模型步態呈現出倍周期分岔現象。文獻［10］提出了一種羅盤模型，除斜坡傾角外，他們還研究了質量和腿長對模型步態的影響。文獻［11］進一步證明，隨著斜坡傾角增大，最簡模型具有周期3 到周期7 步態。文獻［12］研究表明增大斜坡傾角導致被動雙足機器人穩定性下降。文獻［13］詳細分析了羅盤模型的極限環步態和能量轉化關系并證明了被動行走過程中機械能守恒。文獻［14］通過計算雅克比矩陣的特征值討論了羅盤模型中機械參數和斜坡角對穩定性的影響。文獻［15］研究了具有點足、圓弧足和平板足的最簡模型，對比分析得出圓弧足可以擴大穩定步行范圍而平板足的情況則取決于足形參數。文獻［16］證明了引入擺臂結構能夠提高被動行走機器人穩定性。文獻［17］發現當轉動慣量增大、質心位置降低或足半徑減小，都會導致圓弧足羅盤模型步態發生分岔。文獻［18］證明了具有合理髖關節質量的圓弧足羅盤模型有更強的行走穩定性與魯棒性。

盡管上述幾位學者針對圓弧足羅盤模型已有了顯著的研究成果，但缺少系統地討論動力學參數對圓弧足羅盤模型運動特性的影響，特別是雙參數變化對機器人穩定步態的影響。另一方面，由于被動行走機器人為非光滑系統，方程中不連續處雅克比矩陣不可導，采用傳統方法求解李雅普諾夫指數比較困難。在此首先以圓弧足被動行走機器人為研究對象，對其運動過程進行了分析與建模，著重研究了圓弧足半徑、質心位置、轉動慣量和斜坡傾角變化時機器人步態演變規律，特別是當足半徑和質心位置同時變化對機器人穩定參數區間的影響。另外，采用正交擾動向量法求解被動行走機器人的李雅普諾夫指數，這種方法可以避免直接計算雅可比矩陣。

2 圓弧足被動行走機器人動力學建模

2.1 模型介紹

首先給出圓弧足被動行走機器人模型，如圖1所示。該模型是由兩個具有完全相同質量和長度的剛性桿件在髖關節處通過鉸鏈連接而成。由于髖關節和圓弧足質量可以等效簡化為兩腿質量，為簡化模型研究，不考慮髖關節和足部質量。設腿質量為m，長度為l，腿質心與髖關節的距離為c，腿相對質心的轉動慣量為Jc，圓弧足半徑為r且圓心在腿上，斜面傾角為φ，重力加速度為g。

圖1 圓弧足被動行走機器人模型Fig.1 The Model of a Passive Walking Robot with Arc Feet

機器人單步運動過程，如圖2所示。主要是支撐腿和擺動腿之間的轉換。機器人運動過程分為兩個階段，第一個階段是擺動階段，第二個階段是碰撞階段。在擺動階段，支撐腿繞其圓弧足做倒立擺運動，擺動腿繞髖關節做單擺運動，如圖2（a）、圖2（b）所示。在碰撞階段，擺動腿與斜面發生碰撞，為清楚了解兩腿角色變換，又將碰撞時刻分為碰撞前和碰撞后，如圖2（c）、圖2（d）所示。碰撞發生后擺動腿和支撐腿角色互換。

圖2 單步運動過程Fig.2 The Process of Motion in One Step

為了便于進行動力學建模，參考前人研究［9-10］，對模型做如下假設：

（1）整個模型為剛體，沒有彈性變形；

（2）髖關節與腿之間無阻尼無摩擦；

（3）支撐腿與地面之間為純滾動約束，不產生滑動與變形，且忽略摩擦；

（4）擺動腿與地面碰撞為完全非彈性碰撞且是瞬時發生。

2.2 擺動階段動力學方程

該圓弧足被動行走機器人模型為二自由度保守系統，可利用拉格朗日方法進行建模。將系統坐標系建立在斜面上，x軸沿斜面向下，y軸垂直斜面向上，選取支撐腿與斜面垂直時的垂足O為坐標系原點。設支撐腿與軸的夾角為θs，擺動腿與軸的夾角為θns，取逆時針為正方向，圖2（a）中的θs為正，θns為負。選θs和θns為廣義坐標，則系統微分形式的動力學方程為：

其中，

2.3 碰撞階段動力學方程

在碰撞階段，擺動腿足端與斜面發生碰撞。設原擺動腿足端與斜面的碰撞點為B，在碰撞前后，擺動腿與斜坡之間的作用力只有沖擊力。故碰撞前后，擺動腿和支撐腿的角度不變，角速度發生改變。根據角動量守恒定律，模型整體關于碰撞點B的角動量守恒，且原支撐腿（即新擺動腿）對于髖關節質心位置處點的角動量守恒。

設CH為髖關節質心位置，Cns為擺動腿質心位置，Cs為支撐腿質心位置，髖關節質心速度為v→H，負號和正號的上標分別代表為碰撞前和碰撞后的狀態符號。碰撞前的坐標系選取為擺動階段建立的坐標系，即以原支撐腿與斜面垂直時的垂足為原點建立坐標系，x軸沿斜面向下，y軸垂直斜面向上。碰撞后，以B點附近新支撐腿與斜面垂直時的垂足為原點建立坐標系，x軸沿斜面向下，y軸垂直斜面向上。

（1）參考點為H時

碰撞前，原支撐腿對參考點H的角動量為：

碰撞后，原支撐腿變為新的擺動腿，對參考點H的角動量為：

（2）參考點為B時

碰撞前，系統整體對碰撞點B的角動量為：

碰撞后，系統整體對碰撞點B的角動量為：

碰撞前后，擺動腿和支撐腿的角度不變，角速度發生改變。根據角動量守恒定律，得L1=L2，L3=L4。由此可得系統碰撞方程為：

2.4 方程無量綱化

為了基于一個貢獻標尺計算不同參數對機器人動力學特性的影響，需要對方程進行無量綱化。在此引入無量綱參數：

其中，

經化簡得碰撞方程的無量綱形式為：

其中，

式中：x1—擺動階段支撐腿角位移；x2—擺動階段支撐腿角速度；x3—擺動階段擺動腿角位移；x4—擺動階段擺動腿角速度；y1—碰撞后支撐腿角位移；y2—碰撞后支撐腿角速度；y3—碰撞后擺動腿角位移；y4—碰撞后擺動腿角速度。

取定參數：

由上面所取定參值可得無量綱常量

β1=0.24，β2=0.5，β3=0.04

3 單參數變化對機器人步態的影響

根據第二節所述動力學方程，選擇β1、β2、β3和φ作為目標參數，它們分別與圓弧足半徑、質心位置、轉動慣量和斜坡傾角有關。接下來借助分岔圖進行參數變化影響研究。

3.1 圓弧足半徑變化的影響

設置參數β2=0.5，β3=0.04，φ=0.01，β1從0到0.9變化。機器人支撐腿角位移隨足半徑參數β1變化的分岔圖，如圖3所示?？梢钥闯?，隨著足半徑參數β1增大，機器人支撐腿角位移未發生分岔現象，當在區間（0，0.805）變化時，機器人始終具有穩定周期一步態。但當足半徑參數β1在0.805之后增加時，角位移急劇增大并最終發散，此參數下的機器人在行走過程中將會極易跌倒。

圖3 β1變化時的分岔圖Fig.3 Bifurcation Diagram When β1 Changes

3.2 質心位置變化的影響

設置參數β1=0.24，β3=0.04，φ=0.01，β2從（0.5～0.72）變化。機器人支撐腿角位移隨質心位置參數β2變化的分岔圖，如圖4所示。從圖中可以看出，隨著β2增大，機器人步態出現了倍周期分岔現象。其中，穩定的周期一步態占據了較大參數區間，后在區間（0.6629，0.7094）內表現為周期二步態且兩個分支存在匯交于一點的現象。當β2繼續增加時，經過短暫的周期四步態后，機器人將失去失穩性。

圖4 β2變化時的分岔圖Fig.4 Bifurcation Diagram When β2 Changes

3.3 轉動慣量變化的影響

設置參數β1=0.24，β2=0.5，φ=0.01，β3從0.04 到0.19 變化。機器人支撐腿角位移隨轉動慣量參數β3變化的分岔圖，如圖5所示。從圖中可以看出，隨著β3增大，機器人步態同樣出現了倍周期分岔現象。這與質心位置增加對機器人步態的影響相同，只是分岔發生位置不一致。由圖知，機器人周期步態分別在0.109和0.184處發生分岔。以上現象說明轉動慣量的增大也會導致機器人周期步態發生分岔現象并最終失穩。

圖5 β3變化時的分岔圖Fig.5 Bifurcation Diagram When β3 Changes

3.4 斜坡傾角變化的影響

設置參數β1=0.24，β2=0.5，β3=0.04，φ從0.01到0.16變化。機器人支撐腿角位移隨斜坡傾角φ變化的分岔圖，如圖6所示。

圖6 φ變化時的分岔圖Fig.6 Bifurcation Diagram When φ Changes

從圖中可以看出，隨著斜坡傾角φ增大，機器人步態同樣地出現了倍周期分岔現象。與上述倍周期分岔不同的是，此時機器人步態由倍周期分岔通向混沌。從圖中觀察到，機器人在區間（0.01，0.138）內表現為周期一步態，區間（0.138，0.151）內為周期二步態。隨著斜坡傾角φ繼續增加，機器人經過短暫的周期四步態后進入混沌狀態。

4 李雅普諾夫指數計算

上述分岔圖定性地表現出機器人步態隨參數變化的演變規律，而李雅普諾夫指數能夠定量地確定系統在特定參數下的步態特性。由于碰撞發生，導致被動行走機器人運動方程不連續。因此，機器人運動軌跡相對于初始條件的導數即雅克比矩陣變得病態或根本無法計算，用傳統方法求解李雅普諾夫指數比較困難。利用初始正交向量的小擾動估計雅可比矩陣的思想求解被動行走機器人李雅普諾夫指數，這種方法極大地簡化了非光滑系統的李亞普諾夫指數求解問題，因為這種估計方法可以避免直接計算雅可比矩陣［19］。估計方法過程如下。根據第二節被動行走機器人運動方程為：

式中：x=[x1，x2，x3，x4]T；f=[f1，f2，f3，f4]T；?！鲎裁?。

非線性系統龐加萊截面的一般形式是：

被動行走系統通常選取碰撞面為龐加萊截面。針對圓弧足被動行走機器人，這里選取龐加萊截面為：

對于等式（6）中的離散映射，直接計算雅可比矩陣是不可能的，因為等式（6）的右邊是未知的。此時引入一個擾動向量Δn=[δ1，δ2，δ3，δ4]T，其中，δi(i=1，2，3)是小量值，可以得到：

其中，

Dui(xn)=雅可比矩陣的列向量；

DU(xn)=[Du1(xn)，Du2(xn)，Du3(xn)，Du4(xn)]T—雅可比矩陣。由等式（7）可知，雅可比矩陣中列的近似值可由下列等式求得：

具體求解步驟如下：

（1）設初始條件x00=[x10，x20，x30，x40]，將x00代入機器人動力學方程進行求解得到x10；（2）設擾動初始條件為x01=[x10+δ，x20，x30，x40]，x02=[x10，x20+δ，x30，x40]，x03=[x10，x20，x30+δ，x40]，x04=[x10，x20，x30，x40+δ]，將x01，x02，x03，x04分別代入動力學方程進行求解得到x11，x12，x13，x14；（3）求解此時雅克比矩陣的估計值為：[(x11-x10)/δ，(x12-x10)/δ，(x13-x10)/δ，(x14-x10)/δ]T；（4）將x10作為初始條件返回第一步，不斷進行迭代即可求解機器人運動軌跡的雅克比矩陣估計值。根據構造的雅克比矩陣利用傳統方法［19］即可求解李雅普諾夫指數。與圖6相對應的李雅普諾夫指數圖，如圖7所示。從圖中可以清楚地觀察到兩個分岔點和混沌分布位置。在區間（0.01，0.138）與（0.138，0.151）內，最大李雅普諾夫指數為負，說明機器人此時處于穩定運動狀態，與分岔圖中周期一和周期二參數區間相對應；在0.138 和0.151位置處，最大李雅普諾夫指數為零，此時系統處于不穩定狀態，與分岔圖中的分岔點一致。通過對最大李雅普諾夫指數進行分析，為機器人分岔動力學提供了強有力的驗證。

圖7 最大李亞普諾夫指數圖Fig.7 The Largest Lyapunov Exponent Diagram

5 雙參數變化對機器人步態的影響

上幾節討論了單參數變化對機器人步態的影響，但不同參數聯合作用下的影響仍需探究。圓弧足半徑參數β1和質心位置參數β2組合變化下對機器人步態的影響，如圖8所示。與圖8相對應的機器人穩定行走參數區間，如表1所示。由圖8和表1可得，當β1取0時，減小質心位置參數β2可增大機器人周期步態參數區間；當β1取0.2時，隨著質心位置參數β2的增大，機器人周期步態參數區間先增大后減??；當β1取0.4時，增大質心位置參數β2，機器人周期步態參數區間增大；而當β1取0.6時，減小質心位置參數β2可以增大機器人周期步態參數區間，且β2取0.6時機器人步態出現了逆倍周期分岔現象。

表1 機器人穩定行走參數區間Tab.1 Parameter Ranges of Stable Robot Walking

圖8 β1和β2取值不同時的分岔圖Fig.8 Bifurcation Diagrams of Different Values of β1and β2

另一方面，當質心位置參數β2分別取0.5，0.55，0.6，且圓弧足半徑參數β1在（0，0.4）內增大時有利于增加機器人周期步態參數區間，β1取0.6會導致周期參數區間減小。以上對圓弧足半徑參數β1和質心位置參數β2組合變化下機器人穩定參數區間分析為機器人結構設計和穩定行走提供參考。

6 結論

（1）詳細介紹了圓弧足被動行走機器人運動過程和動力學方程的建立。借助分岔圖深入討論了單參數變化影響，研究結果表明，當圓弧足半徑參數β1在（0，0.805）內增大時機器人仍保持周期一步態，但當足半徑參數β1大于0.805時會導致機器人無法穩定行走，而隨著質心位置參數β2、轉動慣量參數β3和斜坡傾角φ增大，機器人步態均出現了倍周期分岔現象。

（2）雙參數變化影響研究表明，當β1取0和0.6時，減小質心位置參數β2可增大機器人周期步態參數區間，且β2取0.6時機器人步態出現了逆倍周期分岔現象。當β1取0.4時，增大質心位置參數β2，機器人周期步態參數區間增大；當β1取0.2時，隨著質心位置參數β2增大，機器人周期步態參數區間先增大后減??；當質心位置參數β2分別取0.5，0.55，0.6，且圓弧足半徑參數β1在（0，0.4）內增大時有利于增加機器人周期步態參數區間，β1取0.6會導致周期參數區間減小。上述研究結果為圓弧足被動行走機器人結構參數設計和穩定步態分析與控制提供了重要參考意義。此外，利用正交擾動向量法求解被動行走機器人的李雅普諾夫指數，為未來研究其他非連續機械系統提供了思路。