混合灰色關聯和有限元法的鋁合金三明治板輕量化設計

龔青山，吳東雨，張光國，孫章棟

（湖北汽車工業學院機械工程學院，湖北 十堰 442000）

1 引言

汽車輕量化技術是目前汽車行業關注的熱點問題，而鋁合金三明治結構具有質量輕、耐腐蝕、較好的力學性能，從而在汽車、高速列車上都得到廣泛應用。三明治結構起源于仿生學，最早應用于航空航天領域，以鋁為原料的三明治板在提高產品性能的同時又能大大降低成本。國內外學者對三明治夾層結構進行了許多研究。文獻［1］通過有限元軟件ABAQUS從數值模擬的角度對比了單層不銹鋼板、波紋三明治板、管狀交叉三明治板、方形蜂窩三明治板四種結構在爆炸沖擊載荷下的性能，證明了相同重量下方形蜂窩三明治板防護效果最佳，并考慮脫焊缺陷下的抗沖擊能力得出在工程實際中管狀交叉三明治板具有良好的抗沖擊與穩定性。文獻［2］研究了管狀三明治在靜態壓縮工況下的變形、能量吸收進行了數值仿真分析，并通過實現驗證了仿真的正確性。結果表明在壓縮過程中芯體橫管的彎曲、縱管的壓縮吸收了靜載壓力下的動能，保證了下板的承載壓力較小。文獻［3］基于蜂窩板等效參數模型，建立了考慮安裝及膠層附加質量的有限元模型，通過正交實驗篩選出設計變量，并基于響應面模型對蜂窩芯的密度及剪切模量進行參數優化，優化后的蜂窩模型滿足航天器微振動分析的要求。文獻［4］以民船上層建筑為對象，基于鋁質夾層板對上層建筑局部進行輕量化代替性研究，利用有限元軟件比較分析代替前后上層建筑力學性能。結果表明鋁質夾層板能夠有效減輕結構質量，并具有更好的力學性能。文獻［5］對幾種正多邊形金屬點陣格柵三明治結構在低俗沖擊下的動態響應進行研究，總結各結構能量吸收性能的差異以及不同結構尺寸的三明治板的耐沖擊性能。

目前對于三明治結構的研究主要集中于其力學性能的研究，由于三明治板的面板與芯層很薄，優化余量較小，因此關于三明治板輕量化設計方面的研究較少。這里設計出性能優良的輕量化三明治板用于貨車防滑板，分別以I型、V型、U型芯層的鋁合金板為研究對象，通過有限元分析得到不同芯層的鋁合金三明治板最大應力以及最大位移，建立以質量、最大撓度、最大應力為變量的綜合性能評價函數，并基于全局響應面法與可行方向法對性能較好的V型板進行尺寸優化，實現貨車防滑板輕量化設計要求。

2 三明治板彎曲特性分析

三明治結構通常是由比較薄的面板與比較厚的芯層膠接而成。在三明治結構中，上下面板是主要的承載者，主要承受側向載荷和平面彎矩，通常采用強度和剛度比較高的材料［6］；而夾芯則主要承受剪切力，同時起到減輕重量的作用，通常采用密度比較小的材料。這里采用鋁合金三明治板代替傳統的單層鋁合金板對某貨車防滑板進行設計。承受純彎曲的三明治構件應力應變分布，如圖1所示。

圖1 標準寬度受彎曲載荷的三明治構件應力分布Fig.1 The Stress Distribution of a Sandwich Member With a Standard Width Subjected to Bending Load

而彎曲為此構件的主要載荷情況。以寬度為標準的彎曲力矩計算如下：

在該表達式中，也必須考慮不同的局部應力分布：

可得出抗彎強度為：

整理后可得出：

當t?h時，可得：

式中：By—每單位寬度夾層結構彎曲剛度（N·m）；

EH—夾層結構面板材料彈性模量（N·m-2）；

EK—夾層結構芯層材料彈性模量（N·m-2）；

t—夾層結構上、下層面板厚度（mm）；

hk—夾層結構夾芯層高度（mm）。

3 鋁合金三明治板芯層結構優選

3.1 鋁合金三明治板模型建立

在滿足公司整體尺寸要求以及保證芯層胞元密度一致的條件下，設計出I型、U型、V型的鋁合金三明治板并進行對比分析，以得到力學性能較好的芯層結構。三種鋁合金三明治板的整體尺寸為長L=940mm、寬B=400mm，高H=22mm、單胞尺寸，如圖2所示。三種鋁合金三明治板三維模型，如圖3所示。

圖2 三種鋁合金三明治板單胞尺寸Fig.2 Three Kinds of Aluminum Alloy Sandwich Board Unit Cell Size

圖3 三種鋁合金三明治板模型Fig.3 Three Kinds of Aluminum Alloy Sandwich Board Models

3.2 靜力學分析

這里研究的鋁合金三明治板用于貨車防滑踏板，如圖4 所示。其主要作用是方便工作人員站立檢修，由于結構主要承受靜載，因此對三種芯層結構的鋁合金三明治板進行靜力學分析?；谏鲜瞿Ｐ偷慕Y構尺寸，利用有限元軟件HyperMesh建立有限元模型。由于鋁合金三明治板厚度僅為2mm且遠小于其長與寬，因此全局使用5mm的一階四邊形殼單元劃分有限元分析模型。鋁合金三明治防滑踏板兩端與車架固定連接，中心區域要求能夠承載300kg的重力，因此在下板面與車架連接位置，即下板面兩端距邊緣80mm區域施加固定約束，并施加3000N載荷在上板面中心（250×400）mm區域，如圖5所示。鋁合金蜂窩板結構材料參數，如表1所示。

表1 鋁合金材料屬性Tab.1 Aluminum Alloy Material Properties

圖4 貨車防滑踏板Fig.4 Truck Anti-Skid Pedal

圖5 鋁合金三明治板有限元模型Fig.5 Finite Element Model of Aluminum Alloy Sandwich Plate

建立有限元模型并施加對應的約束與載荷，通過HyperMesh自帶求解器進行求解，得到應力、位移云圖，如圖6所示。計算后得到不同類型鋁合金三明治板質量、最大撓度、最大應力得到數據，如表2所示。為了對不同鋁合金三明治板的承載能力進行衡量以及與后續優化結果進行比對，三明治板的彎曲剛度通過KB最大撓度ymax來衡量，最大撓度越小，則板的剛度越大。

表2 有限元分析結果Tab.2 Finite Element Analysis Results

圖6 三種芯層鋁合金三明治板的應力、位移云圖Fig.6 Stress and Displacement Cloud Diagrams of Three Core Aluminum Alloy Sandwich Panels

3.3 基于灰色關聯法結構優選

基于灰色關聯法建立評價函數并通過評價函數大小來進行鋁合金三明治板的結構優選?；疑P聯法是一種多因素系統的分析方法［7］。用灰色關聯度來描述系統之間關聯度，最后得到不同系統之間主次大小關系的方法。在實際問題中根據評判目的選擇一組參考序列，對各評價對象分別計算與參考序列對應元素的關聯度，利用灰色關聯法判斷各評價對象（比較序列）與參考序列之間的關系，從而得到各因素之間的權重系數。

根據表2中不同類型鋁合金三明治板質量、最大撓度、最大應力的數據建立起原始數據矩陣：

由于原始數據矩陣中的各數據量綱不同，所以要對數據進行初始化：

令第一組數據為參考序列X0=(1 0.914 0.878)，并計逐個計算被評價對象（比較序列）與參考序列對應元素的絕對值之差，公式為：

基于灰色關聯分析法得到質量、最大撓度與最大應力之間的關聯系數，取值范圍為（0～1）?；疑P聯系數公式為：

式中：δi(k)—比較序列與參考序列之間的灰色關聯系數；ζ—分辨系數，取值在（0～1）之間，ζ越小則關聯系數之間差異越大，通常ζ取0.5；Δmin與Δmax—被評價對象（比較序列）與參考序列對應元素的絕對值之差的最小與最大值，文中最大最小值分別為0與2.826。從而得到關聯系數矩陣δij：

求關聯系數平均值：

得到各因素之間的關聯系數，并將其歸一化得到質量、最大撓度、最大應力之間的權重，如表3所示。

表3 各因素關聯系數及權重Tab.3 Correlation Coefficients and Weights of Various Factors

由各因素之間的權重與初始化后的數據矩陣建立綜合性能的評價函數：

式中：a，b，c—質量、最大撓度、最大應力的權重；

fm，fd，fs—質量、最大位移、最大應力初始化后的數據。

從而得到不同芯層鋁合金三明治板的評價函數大小，如表4所示。

由于評價函數是以質量、最大應力以及最大撓度為變量所構成，因此函數值越小綜合性能越好。由上表可知，V型板的評價函數大小均小于其他兩種鋁合金板，因此基于上述V型板進行進一步優化。

4 鋁合金三明治板結構輕量化設計

基于自適應響應面法與可行方向法對模型進行尺寸優化分析。將模型參數化，分別以板的上、下表面以及芯層厚度為設計變量并設置優化范圍為（0～2）mm；為預留一定的安全范圍，安全系數取1.5，則約束為最大應力不超過50MPa、最大撓度不超過2mm；優化目標為板的質量最小。優化問題的數學模型可表示為：

式中：T1—上板面厚度；

T2—芯層厚度；

T3—下板面厚度，如圖7所示；

圖7 優化變量Fig.7 Optimization Variables

σmax、δmax—靜載工況下最大應力值與最大位移值。

4.1 基于全局響應面法的結構優化

響應面法是通過一系列確定性實驗來用響應面函數近似隱士極限狀態函數，通過合理地選取迭代策略和樣本點，從而保證多項式函數能夠在失效概率上收斂于真實的隱式極限狀態函數的失效概率［8］。當真實的極限狀態函數非線性程度不大時，線性響應面具有較高的近似精度。但是由于響應面法只是依靠初始樣本點數據來構造響應面函數，并用數值方法來求得最優解集。如果初始樣本點構造的函數精度不夠，那么得到的最優解也不夠精確。

全局響應面法（GRSM）是一種基于響應面法的優化方法，可以進行單目標或者多目標的優化［9-10］。這種算法是從初始值附近的隨機點開始優化，每一步迭代過程都會基于全局采樣算法產生一些新的設計點，因此可以兼顧局部搜索與全局搜索。在迭代中產生的設計點都可以并行求解，利用新產生的點進行自適應更新從而更好地擬合模型，具體優化流程，如圖8 所示?；谌猪憫娣ǖ玫侥繕撕瘮档^程，如圖9 所示。經過24 次迭代目標函數以及優化變量趨于收斂，最終的優化結果，如表5所示。

表5 基于全局響應面法優化結果前后對比Tab.5 Before and After Optimization Results Based on Global Response Surface Method

圖8 GRSM優化流程Fig.8 GRSM Optimization Process

圖9 基于全局響應面法的目標迭代過程Fig.9 Target Iteration Process Based on Global Response Surface Method

4.2 基于可行方向法的結構優化

可行方向法（MFD）是最早出現的用以求解約束優化問題的算法之一［11］?？尚蟹较蚍煽醋魇怯蔁o約束下降算法的自然推廣。該方法的基本思想是從當前的可行點出發，以一定的步長沿著目標函數下降可行方向進行搜索，求出使目標函數值下降的可行點，進而逼近最優點?？尚蟹较蚍ㄖ饕沁x擇搜索方向和確定步長兩個方面。

式中：X(k)—第n步迭代設計變量的值；n—迭代次數；a—搜索步長；S—搜索方向。

對于搜索方向，要使得每一步設計變量的值都在可行域內，并且使得目標函數值下降。為了使目標函數下降快，應該保證梯度與搜索方向成鈍角：

搜索步長a的選取主要考慮以下幾種情況：沿著可行性方向進行以為搜索，使得minf(Xk+ak?Sk)，從而求出步長a，在約束邊界上得到Xk+1；沿可行性方向碰到某個主動約束g1(Xk+ak?Sk)=0，求出步長a，并在邊界上得到Xk+1；移動距離到達預先規定的極限并停止移動得到Xk+1。

基于可行方向法得到目標函數迭代過程，如圖10所示。經過14次迭代目標函數以及優化變量趨于收斂，最終的優化結果，如表6所示。

表6 基于可行方向法優化結果前后對比Tab.6 Before and After Optimization Results Based on Feasible Direction Method

圖10 基于可行方向法的目標迭代過程Fig.10 Target Iteration Process Based on Feasible Direction Method

4.3 優化結果

兩種不同優化方法的優化結果，如表7所示。兩者均可達到輕量化效果，在減輕重量的同時滿足強度以及剛度的要求，但是使用可行方向法優化的迭代次數更少且最大應力與最大撓度均小于全局響應面法優化結果。

表7 兩種方法優化結果對比Tab.7 Comparison of Optimization Results of the Two Methods

5 結論

這里以企業的實際需求為背景對鋁合金三明治板輕量化設計展開研究：

（1）針對三種不同芯層的鋁合金三明治板進行三維模型的建立，根據實際工況對其進行有限元分析。并基于灰色關聯法建立了以質量、最大撓度、最大應力為變量的綜合性能評價函數，綜合評價得出V型芯層的鋁合金三明治板性能較優。

（2）基于全局響應面法以及可行方向法對V型鋁合金板進行優化設計，對比得出可行方向法在該結構優化中的迭代次數更少、運算效率更高。

（3）在滿足強度以及剛度要求的條件下，優化后的V型鋁合金三明治板質量減少了約29.5%，滿足生產要求。