基于牛頓迭代法的抓斗挖泥船智能精挖控制方法

張紅升，龐景墩，陳磊

（中交疏浚技術裝備國家工程研究中心有限公司，上海 200082）

0 引言

抓斗挖泥船，主要用于挖取海底各種淤泥、泥砂、礫石、碎石、巨石等物料，也可以用于航道疏浚、碼頭施工和海床工程的挖掘。傳統的抓斗挖泥船大多為施工人員手動控制抓斗閉合過程，抓斗下放到目標深度后，升降絞車保持靜止，開閉絞車向鋼絲繩收回的方向轉動，抓斗閉合。閉合過程中，斗齒運動軌跡在豎直平面內的投影為一條曲線，因此抓斗控制精度低，且挖掘后形成的水底面高低不平。故此研發抓斗挖泥船的精挖控制方法，采用自動化程序控制抓斗升降絞車與開閉絞車轉動速度，使斗齒運動軌跡在豎直平面內的投影為一條直線，即挖掘后形成的水底面為平面，對提升抓斗挖掘精度具有重要意義。

肖漢斌等[1]提出疏浚抓斗平挖運動控制策略，并通過仿真實驗驗證了控制策略的有效性和準確性。袁子豪等[2]基于抓斗船的挖掘高平整度模型提出高平整度挖掘方法，提高了沉管隧道建設中抓斗船挖掘平整精度。黎蓄[3]通過對疏浚抓斗進行優化仿真改善了抓斗挖掘前后抓取力矩不足的問題。由于疏浚抓斗自身結構特點的限制，在傳統操作方式下不能滿足高質量的海床平整度要求，國內外諸多學者通過對抓斗理論及其運動的研究表明抓斗挖掘曲線的高低會嚴重影響海床的平整度，并進一步證明了研究疏浚抓斗平挖運動的重要性[4-11]。

綜上所述，目前對疏浚抓斗的研究主要分為2 個方面：1）針對抓斗平挖運動模型施加約束提升挖掘精度；2）通過對抓斗結構進行優化設計以提升抓力。本文在維持疏浚抓斗現有結構的基礎上進行算法設計以改變抓斗的驅動方式，即通過對抓斗平挖運動進行分析并建立抓斗平挖運動數學模型，提出了基于牛頓迭代法的智能精挖控制方法，使斗齒運動軌跡在垂直面內的投影為一條直線，提升了抓斗挖掘精度并通過仿真實驗驗證了算法的有效性。相較于其他方法，基于牛頓迭代法的智能精挖控制方法在工程應用中成本小、效率高。

1 平挖作業及控制要求

抓斗挖泥船的平挖作業是指抓斗在挖掘過程中，斗口的軌跡為一條直線，平挖過程中絞車繩索必須處于繃緊狀態且進行一定的協調運動，進而保證工程質量。本文通過抓斗船智能精挖控制系統控制平挖作業，該系統主要由數據采集模塊、當前時刻位置計算模塊、下一時刻位置計算模塊、絞車轉速計算模塊和絞車變量泵控制模塊組成，如圖1 所示。系統主要控制對象為液壓泵、升降絞車、開閉絞車。其中液壓泵主要用來控制全船液壓系統，實現絞車的控制功能。升降絞車用于控制升降滑輪，實現整個抓斗的提升和下降。開閉絞車用于控制開閉滑輪，實現抓斗齒的打開、關閉及開度控制。系統部署了絞車編碼器、角度傳感器、潮位儀和GPS 等設備，實現抓斗智能化精挖過程中的定位定深的信號采集和感知。通過控制計算機連接相關設備，實現智能精挖決策計算，輸出相關控制參數。圖2 為部署智能精挖控制系統的抓斗船挖泥船結構。

圖1 精挖控制系統主要模塊Fig.1 Main modules of fine excavation control system

圖2 抓斗挖泥船結構圖Fig.2 Structural drawing of grab dredger

智能精挖控制系統主要思路是在精挖模式下，通過輸入精挖控制深度，在保持斗齒高度不變的前提下，同時控制升降滑輪和開閉滑輪，并實時求解，根據計算結果，控制絞車轉速達到相應速度，實現精挖控制。整個過程分為4 個步驟：

1）在抓斗船抓斗升降絞車和開閉絞車上設置編碼器，在抓斗臂架底端安裝角度傳感器；

2）基于抓斗升降鋼絲繩絞車、抓斗開閉鋼絲繩絞車編碼器和臂架角度傳感器，計算當前時刻抓斗升降滑輪高度、開閉滑輪高度和斗齒高度；

3）基于牛頓迭代法，求解抓斗平挖運動控制方程，計算下一時刻抓斗升降滑輪和開閉滑輪應該到達的位置；

4）基于下一時刻抓斗升降滑輪和開閉滑輪應該到達的位置，計算升降絞車和開閉絞車轉速，并根據絞車轉速控制泵排量，驅動相應絞車達到目標轉速。

2 模型建立

抓斗挖泥船配備有升降絞車與開閉絞車，疏浚抓斗通過鋼絲繩鏈接，由絞車轉動帶動抓斗運動。故此需要對抓斗船絞車繩索和抓斗結構進行建模分析，得出抓斗平挖運動控制方程。

2.1 絞車繩索幾何分析

圖3 為臂架及鋼絲繩尺寸標注示意圖。通過臂架角度傳感器示數α 可計算出臂架頂端點高度ybm，通過絞車編碼器示數r 可計算得出各部分鋼絲繩長度lr，式（1）—式（6）為各鋼絲繩長度的求解過程。

圖3 臂架及鋼絲繩尺寸標注示意圖Fig.3 Dimensioning diagram of boom and wire rope

式中：L 為臂架長度；α 為臂架與水平線夾角；Hd為臂架與船體連接點距離水面的高度；Hbm2為臂架底端點至船底的高度；Dd為船舶吃水；lr1、lr2分別為升降鋼絲繩和開閉鋼絲繩長度；r1、r2分別為升降絞車和開閉絞車的編碼器示數；d1、d2分別為升降絞車和開閉絞車直徑；lr1″、lr2″分別為升降絞車出繩點和開閉絞車出繩點到臂架頂端的鋼絲繩長度；dbp1、dbp2分別為臂架底端點至升降絞車出繩點和開閉絞車出繩點的距離；γ1、γ2分別為臂架底端點至升降絞車出繩點和開閉絞車出繩點連線與垂線的夾角。

2.2 建立抓斗平挖模型

抓斗由橫梁、撐桿、斗體、升降滑輪組和開閉滑輪組組成，滑輪組由絞車驅動，控制抓斗的升降和斗體的開閉，圖4 為疏浚抓斗的基本結構。抓斗的作業流程包括開斗下放、抓斗閉合挖泥、升斗卸泥3 個階段，表1 為作業時的滑輪組狀態。

表1 滑輪組工作狀態Table 1 Working state of pulley block

現以疏浚抓斗為研究對象，為了便于計算，對抓斗的基本結構進行簡化，建立抓斗平挖運動模型，研究抓斗平挖挖掘的運動規律，簡化模型如圖5 所示。以初始挖掘點水平線為x 軸，抓斗的垂直中心線為y 軸建立坐標系。圖中A、C、D分別為斗齒、開閉滑輪和升降滑輪，B 點為撐桿和斗體連接處；a、b、c、d 為抓斗主要結構尺寸，對應所在線段的長度；θ1、θ2、θ3、θ4為對應各線段夾角。平挖作業時斗齒A 點沿著抓斗平挖軌跡線水平運動，開閉滑輪吊點C、升降滑輪吊點D 沿豎直方向運動，其對應高度分別為yc、yd。

圖5 抓斗幾何模型Fig.5 Grab geometry model

同時，通過上述幾何分析，可以得到滑輪組高度和斗齒高度坐標，見式（7）—式（12）。

式中：lr1′、lr2′為升降滑輪和開閉滑輪到臂架頂端鋼絲繩長度；yd、yc為升降滑輪和開閉滑輪高度；xa、ya為斗齒水平坐標和斗齒高度。

2.3 抓斗平挖運動方程的建立

在抓斗的平挖運動中，抓斗斗齒標高始終不變，即斗齒沿水平方向做運動，升降滑輪和開閉滑輪沿豎直方向運動，精挖控制系統中通過滑輪的升降位置驅動絞車轉動進而完成平挖作業，故此設定升降滑輪和開閉滑輪的高度值yc、yd為待求解，以θ1、θ2、θ3、θ4為中間參數，根據圖5 建立方程組（13），該方程組為平挖運動控制方程。

式中：ya為斗齒高度，表示抓斗的挖掘深度。

3 方程求解

3.1 牛頓迭代法

牛頓迭代法是一種用迭代方式求解方程近似根的方法，思路是不斷取切線，用線性方程的根逼近非線性方程f（x）=0 的根[12]。設x*是非線性方程f（x）=0 的根，選取x0作為x*的初始近似值，經點（x0，f（x0））做曲線y=f（x）的切線，該切線與x軸的交點橫坐標為，x1為x*的一次近似值。同理，過點（x1，f（x1））做曲線y=f（x）的切線，切線與x 軸交點的橫坐標為x2記為x*的二次近似值。重復上述步驟，得到近似值序列{xi}。上述求解近似值的迭代過程稱為牛頓迭代法，其迭代關系式為：。通常，需設定迭代停止判斷條件ε（ε＞0），當時，迭代結束。

3.2 基于牛頓迭代法求解平挖運動控制方程

應用牛頓迭代法求解抓斗平挖運動方程，就是通過對平挖運動控制方程組的求解，得到t+1時刻抓斗升降滑輪和開閉滑輪的期望位置yd和yc。設在抓斗精挖過程中，t 時刻的斗齒坐標為（xa，ya），t+1 時刻的斗齒坐標為（xa′，ya′），t+1 時刻抓斗開閉滑輪高度為yc′，圖6 為抓斗在相鄰時刻的形態示意圖，由圖6 可得：

圖6 抓斗形態示意圖Fig.6 Grab shape diagram

式中：Δx 與設定的閉斗速度相關；θ1′為線段A′C′與中線的夾角。

基于牛頓迭代法求解平挖運動方程的具體原理流程見圖7。

圖7 牛頓迭代法求解原理流程Fig.7 Principle flow of Newton iteration method

具體實現流程如下：

步驟1：設t+1 時刻升降滑輪和開閉滑輪的垂向位置分別為yd′和yc′，則線段C′D′與中線的夾角；抓斗閉合過程中，角度θ2保持不變，則；

步驟2：求角度θ3′，由圖6 可得θ3′=arccos，c′為圖中C′點到D′點間的距離，其值，至此，確定在抓斗閉合過程中，抓斗平挖運動方程中各個角度和線段的計算參數；

步驟3：定義函數F（yd′）=θ1′+θ2′+θ3′+θ4′-π，其中F（yd′）是關于變量yd′的非線性函數，非線性方程F（yd′）=0 的根無法直接求出，因此運用牛頓迭代法進行近似求解；

步驟4：將t 時刻的D 點高度yd賦值給yd′，將yd′代入函數中，得到的函數值F（yd′）記為F；

步驟5：定義一個微小變量Δy，將當前時刻的D 點高度值記為yd′+Δy，計算函數F（yd′+Δy）的值為F′；

步驟8：根據t+1 時刻的升降滑輪高度yd′和開閉滑輪高度yc′，可以計算得到升降滑輪移動速度，開閉滑輪移動速度。根據升降滑輪移動速度計算得到升降絞車轉速nd=，開閉絞車轉速。進而通過控制變量泵排量以驅動相應絞車達到上述期望轉速。

上述步驟中，步驟3—步驟7 為牛頓迭代法求解平挖運動控制方程的過程，通過步驟4—步驟6 的迭代過程，得到滿足控制精度的滑輪組升降位置參數，為智能精挖控制系統控制絞車轉速提供具體參數。

4 實例驗證

4.1 實例仿真

本文選取在施工的某抓斗挖泥船為研究模型并搭建仿真試驗平臺，其主要參數見表2。在升降絞車和開閉絞車中分別安裝1 個變量泵和編碼器，用于驅動絞車轉動和計算絞車當前圈數。在實例仿真前對編碼器進行校零：當出繩量為0 時，絞車圈數為0。

表2 抓斗挖泥船主要參數Table 2 Main parameters of grab dredger

基于牛頓迭代法的精挖控制系統進行平挖作業，其控制過程如圖8 所示。

圖8 平挖作業控制流程Fig.8 Flat excavation operation control process

在t 時刻，船舶吃水為3 000 mm，臂架角度傳感器示數α=π/4，臂架頂端到水面的高度ybm為22 298.839 8 mm。根據絞車編碼器示數，此時升降絞車圈數r1為11.552，開閉絞車圈數r2為13.810。通過式（7）—式（12），計算得出滑輪組高度和斗齒高度，其中，升降滑輪到臂架頂端鋼絲繩長度lr1′為11 369.857 0 mm，開閉滑輪到臂架頂端鋼絲繩長度lr2′為17 123.507 0 mm，升降滑輪高度yd為10 928.983 mm，開閉滑輪高度yc為5 175.332 mm，θ1為0.831 7°，θ2為0.981 7°，θ3為1.224 3°，θ4為0.103 7°，進而得出斗齒水平坐標xa為2 933.610 7 mm，斗齒高度ya為2 502.003 1 mm。

設定閉合速度為500 mm/s，在t+1 時刻，xa=2 433.611 mm，ya′=ya=2 502.003 mm，進而求得yc′=5 637.334 mm。

應用3.2 節中牛頓迭代法編程求解，其具體求解過程如下：

1）將yd賦值給yd′，則yd′=10 928.982 8 mm，定義ε=0.1，Δy=1 mm；

2）求出各線段夾角為：θ4′=0.112 6°，θ3′=1.358 9°，θ2′=0.981 7°，此時非線性方程F=F（yd′）=θ1′+θ2′+θ3′+θ4′-π=-0.028 1°；

3）將yd′加上Δy，重復計算得：θ4′=0.112 6°，θ3′=1.358 6°，θ2′=0.981 7°，F′=F（yd′）=-0.028 4°；

該仿真實例中，經過96 次迭代，滿足迭代停止條件，此時yd′=10 840.838 5 mm。隨后計算可得升降滑輪的移動速度vd=-88 mm/s，開閉滑輪的移動速度vc=462.002 mm/s，升降絞車轉速nd=-0.028 r/min，開閉絞車的轉速nc=0.147 r/min。最后計算所需的液壓泵排量，驅動絞車達到相應轉速，完成t+1 時刻的計算。重復上述過程，直至完成作業要求，即可實現抓斗精挖自動控制。

4.2 仿真結果分析

圖9 為抓斗挖泥船在作業過程中斗齒橫向位移隨時間變化曲線。仿真結果顯示，隨著平挖運動的進行，斗齒橫向坐標不斷更新向左偏移，表征抓斗在不斷閉合，當斗齒橫坐標為0 時，平挖作業完成。

圖9 斗齒橫向位移曲線Fig.9 Lateral displacement curve of bucket tooth

圖10 為抓斗船在平挖作業過程中，吊點和斗齒垂向軌跡曲線。圖10（a）為軌跡曲線隨時間變化趨勢，主吊點隨著作業的進行先上升后下降，開閉斗吊點隨著作業的進行不斷上升，當作業完成時達到最大值，而斗齒垂向位移軌跡始終為一條直線，表征斗齒始終沿著同一深度開展作業。圖10（b）為軌跡曲線隨抓斗開口度變化趨勢，隨著抓斗的閉合，主吊點和開閉斗吊點均不同程度地上升直至作業結束，而在作業過程中，斗齒垂向位移始終保持不變。

圖10 平挖運動位移曲線Fig.10 Displacement curve of flat excavation movement

綜上所述，在作業過程中，斗齒始終沿著平挖作業的固定深度開展作業，在豎直平面內的投影始終為直線，進而表明本文提出的抓斗船精挖控制方法，挖掘后形成的水底面為平面，滿足工程實際需要。

5 結語

通過對抓斗平挖運動數學模型進行分析，提出了基于牛頓迭代法的抓斗挖泥船智能精挖控制方法，通過該方法求解抓斗平挖運動控制方程，設計自動化程序控制抓斗絞車的控制速度，并通過數值仿真試驗驗證了所提方法的準確性和有效性。與現有技術相比，基于牛頓迭代法的精挖控制方法提高了抓斗挖掘精度，能夠使斗齒運動軌跡在豎直平面內的投影為一條直線，即挖掘形成的水底面為平面，節省了疏浚工作的工程量。