三移一轉并聯機構運動學分析*

陳會元,王 蕊,張明澤,武海軍,張金柱

(太原理工大學機械與運載工程學院,太原 030000)

0 引言

鋼鐵搬運行業大多采用傳統工業機器人,即串聯式機構,來實現對鋼鐵的空間位置輸送,以及水平姿態的調整。在此類工業應用中,機器人需要保證一定的承載能力,以及擁有較大的剛度。

并聯機構具有高剛度、高速、高精度、力學性能好等優勢[1-2]。在短距離搬運作業中,三移一轉并聯機構具有一定的適用性。

目前,對于并聯機構的研究,在運動學領域不斷深入。馮志堅等[3]推導出三自由度并聯機構的位置解,并進行了工作空間求解。江小輝等[4]對TriMule機器人進行了運動學正反解。張春燕等[5]對4-URPU并聯機構進行了運動學分析和優化。對于機構的研究普遍會著手于運動學,比如自由度以及位置解,而針對于不同的機構,解法上存在不同。

LU等[6]提出一種新的研究工作空間方法-CAD變量幾何法。此方法僅僅依賴于對桿件的約束,不需要建立數學模型,具有一定的便捷性。吳存存等[7]對2PPPaR并聯機構進行了位置求解和工作空間分析,GOSSELIN等[8]求解出了4PRRU(Quadrupteron)機構工作空間體積,此類機構均采用滑軌驅動,其工作空間體積較大,而由于滑軌占地大,在局部搬運作業中會受到一定限制。

機器人機構由運動副與桿件按照一定方式連接而成[9]。在諸多并聯機構中,執行支鏈采用平行四邊形鉸鏈,可以約束末端動平臺的轉動自由度[10-11],那么在構型上就有了新的結構設計思路。平行四邊形鉸鏈是一種封閉環結構,相對于單鏈機構有較大的剛度。而目前對可以實現三移一轉的含有雙平行四邊形鉸鏈的機構的研究較少。

本文針對鋼鐵搬運任務需求,提出一種具有較大剛度的含有雙平行四邊形鉸鏈的新型三移一轉并聯機構,建立了位置反解數學模型,并進行了軌跡規劃研究,同時驗證了位置反解的正確性,采用PID控制器實現了機構位置的精確控制,采用CAD變量幾何法得出了機構的工作空間。

1 運動學分析

提出新型三移一轉并聯機構,包括靜平臺、動平臺和3條分支,本機構采用移動副作為輸入,動平臺作3維移動和繞豎直方向的轉動。并聯機構簡圖如圖1所示,每條分支由驅動支鏈RPR和執行支鏈RPaPaR組成。在第i(i=1,2,3,4)條驅動支鏈中,轉動副Ri1和Ri2分別為支鏈上下兩端的轉動副,移動副為Pi。特別地,第一條分支有兩條驅動支鏈,其余兩條分支均只有一條驅動支鏈。在第i(i=1,2,3)條執行支鏈中,轉動副Ri0和Ri9分別為支鏈上下兩端的轉動副,6個轉動副Ri3、Ri4、Ri5、Ri6、Ri7和Ri8構成兩個平行四邊形鉸鏈Pai1和Pai2。

圖1 并聯機構簡圖

1.1 建立坐標系

如圖1所示,建立基坐標系{O}:選取靜平臺質心點O為原點,xO軸方向為點O水平指向靜平臺上的點Ri0(i=1,2,3);建立動坐標系{P}:選取動平臺質心點P為原點,xP軸方向為點P水平指向動平臺上的點Ri9;建立連桿坐標系{Qi}:選取桿Ri1Ri4質心點Qi為原點,xQi軸方向為點Qi水平指向點Ri1,zO軸、zP軸和zQi軸方向均為豎直向下(i=1,2,3),yO軸、yP軸和yQi軸由右手定則確定。設置點Ri0與桿Ri1Ri4質心點Qi距離為0,桿Ri9與桿Ri7Ri8質心點距離為0。定義θ1i為向量OQi與xO軸的夾角,根據i依次取0°、120°和-120°。設l1、l2、l3和l4分別為桿Ri1Ri4、桿Ri5Ri6、桿Ri3Ri5和桿Ri5Ri7的長度;l5和l6分別為點R41到R16的距離和點R42到R16的距離。

1.2 自由度分析

第一分支旋量系統圖如圖2所示,P1、R10～R12、R19、R41、R42和P4的螺旋分別對應＄1、＄10～＄12、＄19、＄41、＄42和＄4,R13～R16及R15～R18均等效為平行四邊形鉸鏈,分別對應的螺旋為＄13及＄14。在坐標系{Q1}:Q1-xQ1yQ1zQ1下,包含驅動支鏈和執行支鏈的第一分支的運動螺旋為:

圖2 第一分支旋量系統

＄1=(0 0 0;d10f1)
＄10=(0 0 1;0 0 0)
＄11=(0 1 0;0 0l1/2)
＄12=(0 1 0;d120f12)
＄13=(0 0 0;d130f13)
＄14=(0 0 0;d140f14)
＄19=(0 0 1;0e100)
＄4=(0 1 0;d40f4)
＄41=(0 1 0;d410f41)
＄42=(0 1 0;d420f42)

(1)

式中:d、e、f均為實數。

由式(1)得到第一分支的反螺旋為:

(2)

同理,與式(1)類似,第二和第三分支不包含＄41、＄42和＄4,可得第二和第三分支分別在坐標系{Q2}:Q2-xQ2yQ2zQ2和{Q3}:Q3-xQ3yQ3zQ3的反螺旋也為:

(3)

(4)

每個分支都對動平臺作用一個約束力偶,這3個約束力偶分別與轉動副R19、R29和R39垂直,它們都平行于動平臺平面。此時,在坐標系{P}:P-xPyPzP下,動平臺的含3個螺旋的約束螺旋系可以表示為:

(5)

(6)

(7)

式中:j和k均為實數。

由于這3個螺旋都具有相同位置的4零元素,可以確定這3個螺旋共面因而它們線性相關,只相當于兩個獨立的約束,因而其中有一個為虛約束。它們的二次反螺旋＄rr即為我們要找的確定的動平臺自由度性質的動平臺運動螺旋＄pm。

(8)

(9)

(10)

(11)

依據動平臺運動螺旋可以確定動平臺具有的4個自由度,分別為3個移動自由度和1個繞Z軸的轉動自由度。

1.3 位置逆解

在基坐標系{O}下,已知動平臺的位移參數X、Y、Z以及繞Z軸的轉動角φ,求驅動桿Ri1Ri2的長度Hi(i=1,2,3,4)。sin簡化為s,cos簡化為c。定義運算:

(12)

點Ri0在{O}中可表達為(i=1,2,3):

(13)

點Ri9在{O}中可表達為(i=1,2,3):

(14)

點Ri9在{Qi}中可表達為(i=1,2,3):

(15)

點Ri9在{O}中也可表達為(i=1,2,3):

(16)

(17)

由式(14)和式(16)相等,得:

(18)

(19)

(20)

對ΔRi1Ri2Ri3(i=1,2,3)與ΔR41R42R16使用余弦定理得驅動桿的長度Hi(i=1,2,3,4):

(21)

(22)

2 軌跡規劃與驗證

2.1 軌跡規劃

仿真實例中所用的桿件參數值如表1所示。

表1 桿件的參數值

本節的目的是將動平臺按照規定軌跡運動,并研究驅動桿的運動規律。先將已經繪制好的機構的Solidworks三維模型另存為.x_t格式,導入仿真軟件ADAMS中。并創建好桿件之間的約束,點擊仿真分析,驗證模型,模型正確。

動平臺攜帶抓取裝置,根據鋼鐵搬運任務需求,需要動平臺由初始位置A,到達抓取位置B,抓取物體后運輸到投放位置C,投放物體后到達抓取裝置維護位置D,維護完成返回初始位置A,期間需要動平臺做出相應的姿態調整。設置位移與角度的單位分別為mm和°。

點A位姿為[XYZφ]=[-5.5 12.8 110 -15.2],點B位姿為[10 20 130 -5],點C位姿為[15 -10 120 -20],點D位姿為[-2 -15 135 -10]。軌跡為A→B→C→D→A,分為4個階段,在每個階段,動平臺的4個自由度方向均需添加一個驅動。限制質心在每個階段,動平臺起始速度及加速度為0,終止速度及加速度為0,各階段運動時間為1 s,總共4 s。

已知質心在每個階段的始末位姿,設五次多項式為f(t)=c5t5+c4t4+c3t3+c2t2+c1t+c0,ci(i=0,1,2,3,4,5)為待定系數,通過式(12)被求解出。

(23)

式中:t0=0,t1=1,x0與x1分別取每個階段對應X、Y、Z和φ方向的起始值和終止值,[x0x1]按階段依次取如下數值:

第一階段:[-5.5 10]、[12.8 20]、[110 130]、[-15.2 -5];

第二階段:[10 15]、[20 -10]、[130 120]、[-5 -20];

第三階段:[15 -2]、[-10 -15]、[120 135]、[-20 -10];

第四階段:[-2 -5.5]、[-15 12.8]、[135 110]、[-10 -15.2]。

由于軟件中的模型已在初始位姿點A,所以對每個方向求解出的c0項均需減去點A對應的的初始值后代入。對應X、Y、Z和φ方向的有關位移的五次多項式驅動函數的系數按照階段次序依次在表中排列,如表2所示。

表2 驅動函數系數

在ADAMS中完成上述運動學仿真,將動平臺質心點運動數據導入MATLAB,并進行繪制,得到動平臺質心由A→B→C→D→A的運動軌跡以及動坐標系的變化如圖3所示。

圖3 動平臺運動軌跡圖

驅動桿的運動情況如圖4所示。

(a) 位移曲線 (b) 速度曲線

由圖4可知,驅動桿的運動曲線光滑,沒有突變,說明運動狀況正常,該軌跡可以實現。

2.2 位置驗證

由ADAMS導出上述運動過程中動平臺的位姿以及驅動桿的長度值(即實際值)到MATLAB中,已知動平臺位姿,在MATLAB中得到理論位置反解數學模型的計算值(即驅動桿的理論值),并將理論值減去實際值,得到兩者的誤差如圖5所示,最大誤差為2×10-3,遠小于實際值,由此得出驅動桿的位置逆解數學模型正確。

圖5 驅動桿位移誤差圖

3 位置控制

在實際應用需求中,需要實時反饋動平臺的實際位置,保證動平臺按照預定軌跡運動。本文采用PID控制器來實現對機構的模擬控制,將ADAMS機械系統模型導出,在MATLAB/Simulink中完成控制系統的搭建工作,控制系統框圖如圖6所示。

圖6 PID位置控制系統

在圖6中,主要有時間模塊、多項式模塊、Sum模塊、PID模塊、Fcn模塊(位置反解數學模型)、機械系統模塊、示波器以及delay模塊?？刂葡到y的原理為,由時間作為輸入信號,將上文動平臺軌跡規劃的X、Y、Z和φ方向的驅動函數應用于輸入中,以此作為位置反解數學模型的輸入,求解出驅動桿的位置參數,傳輸到ADAMS導出的機械系統模型中,從而驅動機構得到動平臺的實際位置,并將理想與實際位置的誤差經過PID控制器的調節作用到輸入信號中,以確保輸入與輸出一致。

PID參數采用手動調節,以達到效果最佳,其各項參數如表3所示。最終得到動平臺實際與理論位置如圖7所示。由圖7可知,動平臺4個方向的位移曲線通過PID調試后與預期軌跡規劃的曲線一致,因此該方法是可行的。

表3 PID參數

圖7 動平臺實際與理論位置對比

4 工作空間

機器人的工作空間是機器人操作器的工作區域,它是衡量機器人性能的重要指標。本文采用作圖法-CAD變量幾何法對該并聯機構的可達工作空間展開研究,該方法是通過改變驅動桿長來確定動平臺的位置,可看做求正解的過程。

參考圖1機構簡圖,在SolidWorks三維軟件中完成三維草圖搭建,根據關節運動副,建立約束。采用“鎖三驅一”原則,該并聯機構有4個線性驅動,保證3個驅動桿長度不變,驅動一個桿,進而生成動平臺中心點的運動軌跡線,多條軌跡線可以形成一個面,再由多個面相交,進而選取最外層的面作為包絡面,由多個包絡面構成的三維空間,即為工作空間。

H1～H4變化范圍為50～90 mm,桿長增量為δH=10 mm。定義ni為Hi(i=1～4)由小到大的變化次數,nimin=0,nimax=(Himax-Himin)/δH,H1max=H2max=H3max=H4max=4。

獲得工作空間的步驟如下:

步驟1:H1=H1min,H2=H2min,H3=H3min,H4=H4min+n4δH(n4=0,1～4),n4從0變化到4,記錄動平臺中心點P在{O}中的坐標,將所有的坐標值保存為text文件,并命名為A.txt;

步驟2:在SolidWorks選擇插入/曲線/通過XYZ點的曲線命令,瀏覽文件A.txt,便生成一條空間曲線;

步驟3:H1=H1min+n1δH(n1=0,2～4),H2=H2min+n2δH(n2=0,2～4),H3=H3min+n3δH(n3=0,2～4),H4=H4min+n4δH(n4=0,1～4),H1、H2和H3的組合方案共有n1×n2×n3=125種,每選取一種組合方案,n4從0變化到4,共循環125次,得到125條曲線;

步驟4:連接最外側曲線上的端點得到邊界曲線A1A2A3A4A5A6,B1B2B3B4B5B6,B1C1C2C3B4和B6C5C2C4B2。使用邊界曲面命令將這些曲線生成曲面,便獲得工作空間如圖8所示。

(a) 主視圖 (b) 側視圖

圖8中邊界軌跡線與邊界點對應的驅動情況為:

A1B1:H1=50,H2=90,H3=90
A2B2:H1=60,H2=90,H3=50
A6B6:H1=60,H2=50,H3=90
A3B3:H1=90,H2=50,H3=60
A5B5:H1=90,H2=60,H3=50
A4B4:H1=90,H2=50,H3=50
C1:H2=90,H3=90,H4=70
C2:H1=90,H2=90,H3=90
C3:H2=90,H3=90,H4=90
C4:H2=80,H3=50,H4=70
C5:H2=50,H3=80,H4=70

在操作過程中,注意到存在奇異的情況,如圖8中所示虛線條所在的位置,即H1=90,H2=90,H3=90(對應X=0,Y=0,φ=0)的情況,在實際應用中應避免出現。工作空間圍繞平面xOzO對稱,這與并聯機構的第二和第三分支圍繞平面xOzO對稱的結構設計有關。從俯視圖可以看出,工作空間是一個近似等邊三角形的輪廓,在圓周方向均有分布,由此,該機構可進行多角度作業。工作空間的底部趨向于接近一個點。通過對軟件中建立的草圖觀察,在工作空間允許的范圍內,動平臺的旋轉角度φ最大為±50°,而且動平臺位置不同,可旋轉的角度范圍有所不同。工作空間整體是個不規則體,經過SolidWorks軟件計算,工作空間的體積為5.573×105mm3。

定義安裝空間為包絡該機構的一個圓柱體空間,該圓柱體的半徑為r0+100/2=165 mm,高為150 mm,所以該圓柱體空間的體積為π×1652×150=128×105mm3,因此該機構的工作空間與安裝空間的比值為5.573/128=0.043 5,與三移一轉并聯機構Quadrupteron的比例(0.042)相比,比較相近,后續需要對此機構進行桿件參數優化,進而提升工作空間體積。

5 結論

針對鋼鐵行業搬運需求,提出一種具有雙平行四邊形鉸鏈的新型并聯機構,利用螺旋理論求證出該機構可以實現三移一轉,并對其進行運動學分析,完成了位置反解數學模型的求解。根據鋼鐵搬運任務需求,對機構進行軌跡規劃,滿足動平臺起止時刻速度與加速度為0,通過仿真得到驅動桿運動曲線,其光滑連續沒有突變,并驗證了位置反解數學模型的正確性。采用PID控制器,完成了控制系統的搭建,確保動平臺的實際軌跡與理論軌跡一致,實現了位置控制。采用CAD變量幾何法,得出了該機構的工作空間,計算出了工作空間的體積,并與Quadrupteron機構進行了對比;工作空間在圓周范圍內分布,有利于多角度作業,而且應盡量避免中心奇異位置。該機構在鋼鐵搬運行業有一定的應用價值,并為三移一轉并聯機構研究提供了參考。