從諾特定理引入對易關系的新教學法

王 鋒,王 巍,豐秀蓉

(北京理工大學 物理學院,北京 100081)

量子力學中的許多抽象概念,包括不確定性原理,導致在量子物理和這一領域的現代物理課程教學有很高的難度.對于大多數學生來說,量子物理的概念,包括海森伯測不準原理,都只有奇怪、神秘、抽象的數學形式主義的特點,很難理解.這些量子物理概念的學習缺陷是本科階段學生普遍在量子力學課程中遇到的困難,甚至在參加了高級量子物理課程的學生中也發現了這些困難.學生對這些問題的認識很低,受到許多誤解的影響.

在量子力學教材中,算符對易關系公式的引入過程沒有與經典物理產生有機的聯系,缺乏普遍性容易被學生誤解,本文基于經典和量子物理都普遍成立的諾特定理[9]物理體系守恒量與對稱性相對應的想法,應用數學邏輯推導提出了一種新的引入正則對易關系的方式,為這部分內容的教學提供了參考,使教學過程更具有啟發性,也為學生提供了一個簡單而自然的理解思路.另外有助于學生將已具備的各種知識形成整體體系,從而加深對算符對易關系的理解,這對學生掌握量子知識大有裨益.

1 知識準備

1.1 幺正算符

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1.2 幺正變換

幺正算符給量子系統帶來的變換稱之為幺正變換[11](從一個表象到另一個表象的變換).幺正變換能保持算符的厄米性,并保持算符之間對易或反對易關系不變.量子體系在任一幺正變換下都不改變它的全部物理內容.這個“全部物理內容”包括:基本對易規則、運動方程、全部力學量算符方程、全部概率幅.

1.3 諾特定理

諾特定理[12,13]可表述為:對于力學體系的每一個連續的對稱變換,都有一個守恒量與之對應.對稱變換是力學體系在某種變換下不變.簡單來說如果運動規律具有一種對稱性,必相應地存在一條守恒定律.諾特定理聯系了物理學中的兩個重要概念:對稱性和守恒[14,15].

2 對易關系的引入

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略去高階無窮小O(ε2)約化后可得

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至此,通過以上推導,結合量子力學的基本知識,就可以引出正則對易關系,為這部分內容的教學提供了參考,也為學生提供了一個簡單而自然的理解思路.眾所周知,所有和經典物理量對應的力學量算符本質上都可以用坐標算符和動量算符來表示,因此有了坐標與動量算符的正則對易關系,經典物理量所對應力學量算符之間的對易關系也就可以從此推導得出.

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略去高階無窮小O(ε2)約化后可得

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3 小結

在理解量子力學時,算符對易關系和海森伯不確定性原理具有基礎性的地位.但在理論量子力學課程中,這些概念往往沒有被使用更自然的導出方法充分理解,其對于學生來說被認為是非常困難的,因而在實踐中容易形成負面看法而不能正確使用.在本文中,基于經典和量子物理都普遍成立的諾特定理,提出了一種更具啟發性的算符對易關系導出的教學方法,可以用來提高學生對量子力學基本概念的理解.