高斯光束圓孔衍射光強分布的解析解

麻 歡,付 柯,隋林泓,武燕玲,李瑞芳,李喜彬

(內蒙古師范大學 物理與電子信息學院,內蒙古 呼和浩特 010022)

光束的傳輸特征,尤其是光束的衍射聚焦特征,仍是目前光學研究中的一個重要課題. 在實際工作中,高斯光束是最常見的光源,且光束傳輸常常受到光闌的限制,因此在光學工程領域,關于光闌對高斯光束的衍射效應的研究就變得尤為重要[1]. 例如在光刻技術中,需要通過增加聚焦光學系統的焦深來增強蝕刻效果,因此高斯光束衍射的詳細解析結果對于設計長焦深光刻光學系統具有一定的指導意義. 目前,對于完全透光情況的圓孔衍射問題已經有了充分的研究,利用數值方法對高斯光束衍射問題的研究同樣已經非常充分[2-4],但對于高斯光束圓孔衍射在焦點附近的光強分布目前還沒有獲得較為精確的解析解. 此外,高斯光束衍射光強分布的解析計算對于衍射理論的后續研究同樣有著一定借鑒意義.

為得到高斯光束衍射的三維光強分布,本文參考文獻[5]中對圓孔衍射的解析計算方法,利用了菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式,對模型的具體計算過程加以適當擴展,并結合貝塞耳函數(Bessel function)、洛默爾函數(Lommel function)等特殊函數的具體性質,得到了焦點附近光強分布的解析結果. 利用數值方法分析了高斯光束束腰半徑對艾里斑半徑、焦深、光強在艾里斑內的集中程度等參量的影響.

1 衍射積分的計算

高斯光束的一個重要性質是光強在與傳播方向垂直的橫截面上呈高斯分布. 理想情況下高斯光束的發散角非常小,且束腰位于衍射圓孔平面內,因此正入射情況下高斯光束在圓孔光闌平面上的振幅為[1,6]

(1)

其中σ為高斯光束的束腰半徑(通常在腰束半徑的定義式中,指數的分母上不會出現因子2,這里是為了后文中公式的表達方便,并不會影響相關結論的合理性).

(2)

圖1 圓孔上的衍射示意圖

式(2)中,k=2π/λ為波矢大小,σ為高斯光束的束腰半徑,并用到了小發散角近似條件zR=πσ2/λ>>a2/f,zR表示瑞利距離. 由菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式得到P點的光強為[5]

(3)

為計算積分式(3),引入極坐標

(4)

其中0≤ρ≤1,在波陣面W上,坐標ζ還可以近似表示為

(5)

進而

(6)

現定義新的無量綱變量:

(7)

同時將立體角積分元轉換為面積分元,即

(8)

于是積分式(3)變為

(9)

無量綱變量b的含義為高斯光束向中心的集中程度,即當入射光為勻強的光束時,滿足σ→∞,即b→0;反之當一束無寬度的線光束通過光闌時,滿足σ→0,即b→∞.

利用貝塞耳函數的定義式:

(10)

積分(9)變為關于貝塞耳函數的積分形式:

(11)

對于|w/v|≤1的情況,由貝塞耳函數關系式:

(12)

式(11)中的積分可以表示為

F(u,v)≡

(13)

式(13)中w的定義見式(7),并定義了雙變量洛默爾函數(Lommel function of two variables,以下簡稱洛默爾函數).

(14)

同時利用極限

(15)

(16)

對于|w/v|≥1的情況,則利用關系式

(17)

以及貝塞耳函數極限關系:

(18)

得到式(11)中的積分:

(19)

2 光強分布

根據式(16)和(19),焦點附近的光強表示為

I(u,v)=|U(u,v)|2=I0|F(u,v)|2

(20)

上式中I0=|U0|2表示勻強光場通過圓孔光闌后在焦點處的衍射光強,其中

(21)

為勻強光場(σ→∞或b→0)在焦點處的衍射振幅,其中A0含義與前文相同. 但是由于w為復數,無法得到式(16)和(19)實部和虛部的解析表達式. 利用數值方法,可以得到a/σ=0、0.51/4、1、21/4時焦點附近的相對光強分布I(u,v)/I0,如圖2所示. 圖2(a)中距離焦點O最近的等高線的幅值為0.9,而圖2(b)—2(d)中距離焦點最近的等照度線的幅值分別為0.7、0.6以及0.5,可見b越大,中心相對光強越弱,但整體光強分布的輪廓并未改變,只不過極值處的強度有所差異.

圖2 不同b值下高斯光束圓孔衍射在焦點附近的等照度線,即I(u,v)/I0的等高線. 虛線代表幾何陰影區域的邊界. 圖中max表示光強的極大,min表示光強的極小.

下面將詳細分析幾個特殊位置的光強分布.

2.1 幾何焦平面上的光強分布

如果P點位于幾何焦平面上時,即u=0,此時滿足φ=0,w=b,于是式(16)為

(22)

在平面波入射情況下

(23)

那么焦平面上的光強沿徑向的分布為

(24)

式(24)也稱為艾里公式[5],與勻強光場在衍射焦平面上的表達式一致.

對于b≠0的情況,焦點處的振幅為

(25)

則焦點處的光強為

(26)

顯然

(27)

圖3給出了不同b情況下焦平面上徑向的光強分布. 不過從圖中不容易看出艾里斑半徑r0(光強分布I(0,v)的第一個零點)與b之間的關系,表1中列出了艾里斑半徑r0隨b的數值結果. 可見b越大(高斯光束光強分布越向光軸集中),艾里斑半徑也越大.

表1 艾里斑半徑r0隨b變化的數值結果

圖3 幾何焦平面上光強分布關于坐標v的變化曲線,4條曲線依次對應時的情況.

2.2 光軸上的光強分布

觀察點P位于光軸上時,此時v=0,洛默爾函數簡化為V0(u,0)=1,V1(u,0)=0. 于是

(28)

對于平面波入射的情況(b=0),此時

(29)

上式與勻強光場在光軸上的衍射光強分布一致[5].回到式(28),只有當b=0時才會出現光強零點,即u=4nπ,n=1,2,3,…. 當b>0時,顯然有I(u,0)>0. 圖4給出了不同b取值情況下光軸上的光強分布. 可以發現,參數b的增大對焦點處的相對光強改變較為明顯,但并未改變光強分布的整體輪廓.

圖4 光軸上光強分布關于坐標u的變化曲線,4條曲線依次對應時的情況.

與光軸上光強分布有關的一個重要的參量為焦深,表示光軸上坐標u0處的圖像仍保持一定的清晰度,這里仍采用文獻[6]中的結論,將焦深u0定義為該點處的光強相較于焦點處衰減了20%. 表2中的數值結果表明,焦深u0與b之間的關系近似為一條二次曲線,最佳擬合結果為

表2 焦深u0隨b變化的數值結果

u0=0.021 4b2+0.000 2b+3.236 0

(30)

2.3 幾何陰影邊界上的光強分布

式(16)與(19)收斂的共同分界為|v|=|w|,其物理含義為衍射陰影區與照明區的分界線,定義幾何陰影區域邊界為|v|=|w|,即

v2=b2+u2

(31)

可見在焦平面上及附近的幾何陰影區域邊界依賴光束形狀,而在遠離焦平面處,光束形狀對陰影區域邊界無影響,而且整體輪廓與高斯光束一致,這里無量綱參數b具有與高斯光束中的束腰相類似的含義.

將條件|v|=|w|=r帶入到式(16)中,得到

U(u,r)=

(32)

再將上式帶入到光強公式(20)中,則

(33)

對于b=0,幾何陰影邊界上的光強分布為[5]

(34)

圖5為不同b值條件下幾何陰影邊界上的光強分布.

圖5 幾何陰影區域邊界上光強分布關于坐標u的變化曲線,4條曲線依次對應時的情況.

2.4 焦平面上的積分強度

定義參考光強

(35)

其含義是高斯光束在單位時間內通過光闌的總能量. 假設在焦平面上(u=0),以焦點為中心、給定的r為半徑做一圓形區域,則在該圓形區域內能量占光強總能量的百分比為

(36)

式中

(37)

將式(13)帶入到式(36),于是

[Jm(v0)Jn(v0)+Jm-1(v0)Jn-1(v0)]

(38)

上式中的第三步用到了積分[7]:

(39)

以及貝塞耳函數的性質J0(0)=1和Jn(0)=0(n=1,2,3,…). 重新定義上式中的指標,令k=m+n,于是

(40)

其中

(41)

當b=0時,當且僅當m=n=1的級數項非零,即

(42)

此即瑞利公式[5].

圖6為b取不同值時焦平面上的積分光強分布,可見b越大,能量越向中心集中. 此外,研究艾里斑內的能量百分比L(r0)更有助于直觀說明上述結論. 表3中列出了L(r0) 隨b的變化關系,進一步驗證了b越大,能量越向中心集中這一結論.

表3 艾里斑內積分光強L(r0)隨b變化的數值結果

圖6 焦平面上給定小圓內接收到的能量百分比

4 總結

本文從菲涅爾-基爾霍夫公式出發,得到了高斯光束圓孔衍射焦點附近光強分布的解析表達形式,并通過洛默爾函數表示. 之后選取了三個特殊區域(幾何焦平面、光軸以及幾何陰影區域邊界),給出了這些區域上光強分布的解析表達式,并得到了光強分布的數值結果. 數值結果表明,參數b越大,艾里斑半徑越大,同時焦深也越大. 最后分析了焦平面上的光強積分強度. 根據以上的解析以及數值結果,發現高斯光束束腰半徑的大小并不會改變衍射光強分布的整體輪廓,但較小的束腰半徑會使得光強分布向焦點處集中.

本文中的方法及結論不僅對高斯光束衍射理論的研究有著一定指導意義,而且對研究生的傅里葉光學課程的教學同樣起到了補充的作用.

最后感謝審稿人、編輯對本文耐心細致地審閱以及對本文提出的寶貴意見.