共振激勵和重力作用下一維水平弦垂直振動駐波理論與實驗研究

蔡為睿,李智超,沈 韓,2,王 猛,2,方奕忠,2

(1.中山大學 物理學院,廣東 廣州 510275;2. 中山大學 物理學國家級實驗教學示范中心,廣東 廣州 510275)

共振現象在自然界廣泛存在,在工程應用中有利也有弊. 在眾多振動共振現象中,簡諧振動共振作為最基本的共振模式,在理論上和應用中均具有重要的研究意義. 對于均勻柔軟彈性弦的橫向小振動方程有大量的理論研究和介紹[1-8]. 文獻[9,10]對一維弦的橫向自由振動和受迫振動作了深入的理論研究. 文獻[11]討論了弦的橫振動, 證明了當弦的橫振幅與波長之比為常量時,即使波的振幅較大,其波速也近似是個常量. 文獻[12]研究了兩端固定弦駐波的進動, 得到了進動速度的依賴性及進動頻率在橢圓半長軸的修正. 文獻[13]利用幅頻公式研究了弦大振幅橫向振動的近似解,改進了幅頻公式的最大、最小近似. 文獻[14]用變分迭代法和哈密頓近似法研究了常張力易彎曲弦大振幅橫振動的確定解,并與變分近似及龍格-庫塔四階方法進行比較,符合得很好. 文獻[15]在不考慮重力的情況下,用非齊次常微分方程的通解等于它的一個特解加上與其相應的齊次方程的通解[16]的辦法求解了共振頻率激勵下一端固定、一端連接振源時弦的橫向振動問題的解析解. 文獻[17]通過靜力稱衡法和拉伸法利用駐波測量了弦線的直徑及其楊氏模量,得到與實際較為接近的結果. 文獻[18]用旋轉矢量和幾何圖形的方法,把駐波這個物理現象較好地用到了直觀教學上. 文獻[19]利用已有實驗數據和弦振動方程模擬計算了存在阻尼時,弦振動駐波的形成過程以及空氣阻力、弦長度對駐波的影響.

本文將研究考慮重力影響下的一維水平弦的垂直振動模型,與實際應用情況更為吻合.分析共振時的駐波現象,探討產生該現象的原因,由此可推廣到復雜系統的共振研究.與文獻[15,16]中所用的求解非齊次常微分方程的方法不同,本文用本征函數展開和拉普拉斯變換法求解重力作用下一端固定、另一端以小振幅作簡諧振動時一維水平弦的垂直振動波動方程的定解問題,求出解析解,并進行實驗檢驗.求解得到共振形成駐波解的條件,以及弦傳播簡諧波的波速a的表達式.實驗上連續調節弦作簡諧振動的頻率讓其共振形成駐波,測量出此時弦的張力T,記下波腹個數n和頻率f,測量出相鄰兩波節之間的距離再乘以2得到波長λ, 從而在實驗上求出波速a=λf;再代入弦的張力T,即得弦的質量線密度ρ,并與實測線密度值進行比較,對理論進行檢驗.

1 理論模型及求解

(1)

圖1 一小段弦豎向振動受力分析示意圖

對于小振動,可設θ角很小,T1=T2=T,方程(1)成為

T(tanθ2-tanθ1)-ρΔxg=

(2)

(3)

(4)

(5)

方程(4)即為外力作用下弦的橫振動方程,a為波速.體現外力作用的項為重力加速度的負值,即-g,為弦單位質量所受的重力.

假設弦的左端點(x=0)固定,右端點(x=l)接一振源(振動發生器),振源以振幅A(A<<1)作嚴格的垂直方向簡諧振動Asinωt,設繩子的初位移和初速度均為零,則得定解問題:

(6)

u|x=0=0,u|x=l=Asinωt,(t≥0)

(7)

(8)

由于邊界條件(7)非齊次,需要將邊界條件齊次化,

(9)

得v=v(x,t)滿足的定解問題為

(10)

v|x=0=0,v|x=l=0, (t≥0)

(11)

(12)

(13)

該本征函數族是完備的.于是,定解問題式(10)—(12)可以用本征函數展開法來求解.令

(14)

同時把方程式(10)的右邊也按本征函數族式(13)展開,利用

(15)

(16)

代入式(10)和(12),比較對應項系數得常微分方程的初值問題:

(17)

(18)

該初值問題可以用常微分方程理論中常用的非齊次方程式(17)的通解等于它的一個特解加上與其相應的齊次方程的通解的方法來求解[16].不同于文獻[15], 本文采用拉普拉斯變換法[1-7, 20]來求解初值問題式(17)—(18).

(19)

(20)

式(17)兩邊分別作拉普拉斯變換,利用式(20),由線性定理,有

Rep>0.

(21)

其中,Rep>0是為了保證變換的積分收斂,是拉普拉斯變換存在的條件.由式(21),用代數方法解出

(22)

注意到

(23)

(24)

(25)

由折積定理,若f1(t)≒F1(p),f2(t)≒F2(p),則

(26)

(27)

式(27)中的第一個定積分:

(28)

式(27)中的第二個定積分:

(29)

得初值問題式(17)—(18)的解式(27)可寫為

(30)

代回式(14)和式(9),得定解問題式(6)—式(8)的解為

(31)

其中Tn(t)由式(30)給出.

(32)

即得

(33)

其中k=1,2,3,…為正整數,且當n的取值確定時,k≠n.

由于振源的振幅A很小, 隨著時間t的增加,式(33)中右邊的第二項起主要作用,則有

(34)

2 實驗結果及數據分析

圖2 一維弦垂直方向振動駐波的實驗裝置圖

開啟振動驅動器,從零振幅和0 Hz開始, 緩慢增加振幅和頻率,以得出最明顯的振幅駐波現象(即共振),數出共振時的駐波波腹個數n,從振動驅動器讀出頻率f,由λ=2l/n算出波長λ,由a=λf算出波速a,記錄的波腹個數n、波長λ、波速a與頻率f如表1所示.進行數據擬合,可得波腹個數n隨共振頻率f變化的曲線如圖3所示.由圖3可以看到,R平方值為0.999,皮爾遜相關系數值為0.999 5,說明其線性擬合程度非常好,波腹個數n隨著頻率f的增加嚴格線性增加.

表1 不同頻率f下波腹個數n、波長λ及波速a的實驗觀測值

圖3 駐波波腹個數n隨共振頻率f的變化

對于本實驗,由圖3可知,n=15時的點明顯偏離擬合曲線(直線),會引入較大的誤差,若把該點校正或舍棄,理論與實驗更加符合,誤差會更小.

3 結果和討論

本文用本征函數展開和拉普拉斯變換法,求解了考慮重力作用情況下一維水平弦的垂直方向振動在方程非齊次、邊界條件非齊次下的嚴格解析解,得到共振產生駐波時的條件,發現共振頻率和共振時駐波波腹大小、位置均與重力無關.通過一維水平繩子的垂直方向振動實驗,觀察到其共振時的駐波現象,分析其產生的原因為弦的任意穩態振動是一系列本征振動的疊加,并且從定量上探究其物理意義與物理圖像,得到的理論與實驗均符合得相當好.另外,本文利用理論推導公式從測量弦在振動時的波腹個數隨著共振頻率變化的關系來求解繩子的質量線密度,進一步可求出繩子的質量,在教學和工程上有一定應用價值.