細棒入水動力學特性的解析計算與數值模擬

張宇鋒,謝 東,韋相忠,上官王佐

(1. 廣西中醫藥大學 藥學院及公管學院,廣西 南寧 530200;2. 貴州電子信息職業技術學院,貴州 凱里 556000)

重物入水問題廣泛存在于我們生活的各個領域之中,如水上飛機、海上濺落的工程器件、潛艇入水,魚雷入水[1]等.在物體入水的過程中會伴隨著一系列運動現象,比如當入水速度較快且物體入水有效面積足夠大,在物體與水面接觸碰撞的時候會在水面下產生空泡[2],影響物體的運動狀態.

從試驗上和理論上研究重物入水問題及其影響因素具有重要的實際應用價值[3].上世紀50年代前后,美國海軍聯合多家研究機構和高校等開展了大量的入水問題的基本研究.當時Duez等人[4]和Korkmaz及其合作者[5]分別對不同親水性表面和不同親水程度的球體和柱體進行了入水對照試驗研究.Worthington從實驗上對垂直入水的鋼球所產生的入水空泡、噴濺的現象用閃光照相機來進行記錄研究[6].進入21世紀以來重物入水問題仍然是一個被廣泛研究的課題,例如苗圃等人對圓柱體高速入水做了數值模擬研究[7],安偉光、蔣運華等人研究了運動體高速入水非定常過程[8].

一般而言,物體入水會產生水下空泡從而影響物體的運動狀態,因此入水問題常與水空泡的產生一起受大量研究者的廣泛關注,例如最近侯宇、黃振貴等人的空心圓柱低速垂直入水試驗研究[9], 施紅輝等人研究了細長物體高速入水時產生的空泡對其速度變化的影響[10],楊柳等人研究了超彈性球體入水過程空泡演化及球體變形特性[11].

本文結合理論解析計算與數值模擬,研究了質量均勻分布的細棒從水面垂直低速入水這一典型物理過程,探討了細棒入水初速度、水的阻力系數和細棒密度這幾個主要因素對細棒入水后的運動狀態的影響.此前已有多位學者研究了物體入水問題,并進行了數值計算與實驗的研究討論[12],但較少涉及對重物密度和水的阻力因素的討論,包括理論上和實驗上的.下面我們從這一物理模型出發,對細棒進行受力分析后根據牛頓第二運動定律建立細棒運動的動力學微分方程,并求得該方程的解析解,然后進行數值計算,并討論入水過程中各個因素對其入水動力學特性的影響.

1 物理模型與動力學方程

如圖1所示,現考慮一質量均勻分布的細棒,設其密度為ρ、長為l、橫截面積為s、質量為m,從水面以初速度v0垂直入水.選取水平面為坐標原點,以重力方向為正方向建立坐標系.假設水的阻力系數為k,且阻力大小與物體運動速率成正比,即

圖1 物理模型

Ff=-kv

(1)

對其進行受力分析可知,細棒總共受到3個力的作用,即重力mg,浮力B,阻力Ff,其中重力mg為恒力,阻力正比于細棒的運動速率,而浮力B在細棒完全入水前為變力,隨細棒的運動距離x(t)變化而變化.當細棒完全入水后,浮力B變為恒力.因此我們需要進行兩種情況的討論.即細棒完全入水前和完全入水后.

1.1 細棒完全入水前

(2)

式(2)為二階非齊次微分方程,其特征方程為

mr2+kr+ρ′sg=0

(3)

定義參數Δ:

Δ2≡k2-4mρ′sg

(4)

當Δ≠0時,r1≠r2.式(2)的解為

(5)

這里c1、c2為積分常數.根據速度的定義式,由式(5)對時間求導一次可得細棒的速度為

(6)

根據初始條件,當t=0時,初始距離為0,初始速度為v0,即x(0)=0,v(0)=v0,聯立式(5)和(6),求得積分常數為

(7)

(8)

積分常數c1、c2代入式(5)得

(9)

此即細棒的位置函數.由式(9)對時間求導一次可得細棒完全入水前的速度函數:

(10)

需要注意的是,位置函數式(9)和速度函數式(10)僅適用于0≤x≤l.,即細棒完全入水之前.假設細棒完全入水的時刻為t0,理論上t0可以從式(9)求解得到,即

x(t0)=l

(11)

但該方程非常復雜無法得到精確解析解.在下一節,本文將用數值求解的方法求得近似解.

1.2 細棒完全入水后

(12)

式(12)的解為

(13)

其中c3、c4為積分常數,而t0為細棒剛剛完全入水的時刻,由式(11)定義.注意,式(13)所給出的位置函數的適用范圍為x≥l.

由式(13)對時間求導一次可得細棒的速度函數為

(14)

根據初始條件t=t0時,x=l,v=vt0,這里vt0為細棒剛剛完全入水時的速度,可以確定

(15)

(16)

至此,求得了細棒完全入水前后的位置函數x(t),即式(9)和(13),以及速度函數v(t),即式(10)和(14).

2 數值模擬與結果分析

現在根據在上節我們所求得的細棒入水動力學方程的解析解,進行數值計算,從而分析細棒在水中的動力學特性.不失一般性,設細棒長度l=2 m,橫截面積s=1 cm2.我們考察不同的細棒密度和水的阻力系數,以及不同入水初速度,對細棒運動狀態的影響.預先說明:為了避免重復書寫簡練,本文此后所有物理量數字,如果沒有專門注明(除非特別標出其單位),均默認為國際單位制單位,比如速度單位為m/s,加速度單位為m/s2.

圖2所示為水的阻力系數為k=1的結果,其中所有較粗的線為入水初速度不為零的結果,而所有稍細的線為入水初速度為零的結果.為簡單起見,對非零初速度入水的,設所有不同密度的細棒均為v0=4 m/s,如圖2所示.另外,同種類型的線都屬于相同密度的細棒.

圖2 不同密度和入水初速度的細棒入水后的速度演化

從圖2可以看到,所有曲線的一個明顯的共同特征是,當時間足夠長后,同種類型(即細棒密度相同的2條)的曲線都趨向于相同的飽和值(漸進值).這個飽和值就是細棒的終極沉降速度.當細棒密度比水大時,即ρ>ρ′,細棒完全沒入水后經過足夠長的時間以后,隨著細棒的速度不斷增加,但增加的速率逐漸變小,細棒的阻力達到了最大值,最終阻力與浮力之和與其重力達到動態平衡,此時其合外力為零,故加速度為零,速度不再繼續增加.這個速度的極限值,可以由細棒入水后的動力學微分方程(12)求出:令該方程等式左邊的二階導數項為零,即其加速度為零,可得kvmax=mg-lρ′sg,由此可得

(17)

另一方面,在式(14)中如果令t→∞,則該方程等式右邊第一項趨向于零,也可得到同樣的結果,因為細棒質量m=ρls.以圖2中對應ρ=4 000的那條劃線為例子,根據上述計算結果其極限速度應該為

vmax=(4 000-1 000)×2×0.000 1×9.8/1=5.88

這與圖2所示結果是吻合的.相比各條曲線,可以看到當細棒密度比較大時,達到飽和速度的所需時間比較長,因為相應地其重力比較大,達到動態平衡所需的時間就比較長.由圖2可見,這個極限速度,是不依賴于細棒的入水初速度的,即不管入水初速度是否為零.這個結果也可以從上述分析vmax的達到過程或者式(17)可以看到,vmax是不依賴于v0的.這個結論具有現實的物理意義,它適用于一般阻力系數可以近似為常數的沉降過程,如空中雨滴的下落的,跳傘者在空中的下落,重物在水中的沉降,等等.

然而,以非零初速度入水,較之于細棒由靜止開始從水面釋放入水(即初速度為0),從圖2可以看到,細棒入水后最初的一段時間內其運動狀態是不一樣的.為方便起見,對不同密度的細棒,我們都賦予相同的初速度,即v0=4 m/s.如果細棒的入水初速度v0vmax,那么細棒入水所受到的阻力占比就較大,使得其入水后急劇減速最終降低到vmax,表現為v(t)曲線的斜率變大而快速下降.初速度v0比vmax大得越多,入水后減速越急劇,在圖上表現為下降越陡峭.這個結果是很容易理解的,比如跳水運動員入水后,其向下的運動速度迅速減小繼而開始向上浮出水面.當物體入水初速度非常大而其橫截面積不是足夠小,物體入水后將會激起大量水泡,從而極大地影響其動力學特征而使其變得極其復雜,這正是大量文獻致力于研究的重物入水過程空泡演化問題[13].在這種情況下,本文所采用的模型,即入水物體所受到水的阻力與其速度大小成正比這一前提條件,也就是阻力Ff=-kv這條方程,將不再成立.由于本文所研究的入水物體為細棒,其橫截面積足夠小,且其入水初速度不是太大,入水空泡問題可以忽略.

如果細棒的密度不大于水的密度(即小于或等于水的密度),如圖2中底部ρ=1 000,ρ=500 2組(4條)曲線所示,其極限速度為0,表明細棒最終會靜止地懸浮于水中(這里我們暫且不進一步討論此后細棒是否會從立著的狀態翻轉而最終橫著懸/漂浮于水中,因為這是后續的問題不在本文討論范圍之內).為了驗證這個結果,我們考察細棒的x(t)變化曲線.圖3所示為細棒的x(t)曲線圖.可以看到,綠色所示的為ρ=1 000的情形,其極限位置趨向于2 m,表明細棒恰好完全浸入水中,而紅色所示的為ρ=500的情形,其極限位置小于2 m(實際數值為1.0 m),意味著細棒沒有完全沒入水中,而是懸浮于水中.其它3條曲線均為細棒密度比水的密度大的情形,因而細棒不斷下沉而其位置隨時間推移不斷增大.這些曲線的斜率給出了各個對應情況下的細棒速率v(t),也就是圖2所示的內容.為了能夠更好地觀察細棒密度不大于水的那2條曲線,該圖的縱坐標取值范圍的上限已經從50調整到了12,而圖3內嵌的小圖,則給出了縮小了的全局畫面.同樣地,所有較細的線代表入水初速度為零的,而較粗的線代表初速度為非零的情形.從圖3可見,所有非零初速度入水的,其v(t)均在零初速度入水的v(t)之上,因為非零初速度的相比之下在相同時間內位移更大,這也可以從圖2各組相同類型的曲線跟橫軸所圍面積大小的比較看出,這個面積就是位移.

圖3 不同密度的細棒入水后的位置函數

(18)

推導上式過程中已經結合式(4)進行了簡化.完全入水后則為

(19)

其中vt0為細棒剛剛全部沒入水中瞬間(此刻時間為t0)的速度.

圖4給出了根據式(18)和(19)而計算a(t)得出的數值結果.首先來觀察實線那一組曲線,即細棒初速度為零的情況.當細棒從水面由靜止剛剛被釋放的那個瞬間,其合外力最大,為mg,即為細棒自身重量,所以此刻的加速度為a=mg/m=g,這個結果適用于全部不同密度的細棒,與ρ無關.這個結論與圖4給出的數值結果是吻合的:這組實線都開始于同一點,(0, 9.8),然后快速下降.另一方面,也可以從細棒完全入水前的加速度方程式(18),結合Δ的定義式(4),簡化之后可得到細棒初始時刻的加速度為

(20)

圖4 細棒加速度變化曲線

令上式中v0=0可得a(0)=g,可見當細棒零初速度入水時,其初始加速度都是g,與密度無關.

但如果細棒以一非零初速度入水,則情況有所不同.從圖4可以看到,a(t)曲線的初始點都逐個離開了點(0,9.8),而細棒的密度越小,偏離越大.這是因為從細棒剛剛入水那一刻開始,水的阻力開始作用于細棒,方向向上,與其重力方向相反.在數值計算中,我們都賦予不同密度的細棒以相同的初速度,v0=4 m/s.這意味著所有密度不同的細棒在剛剛入水后的那一刻受到水的阻力的大小都是一樣的,但重力卻各不相同,密度小的則重力較小,因而水的阻力在其所有外力中占比就較大,特別對于密度較小的細棒.比如ρ=500,1 000這兩種情形,水的阻力遠大于其重力,入水后使得其合外力向上且與其速度方向相反,從而使其加速度為負數,表現在a(t)曲線發端于縱軸負半軸非常下方處,如圖4 中的對應ρ=500,1 000兩條較粗的線所示.這種情形跟上述提到的高臺跳水運動員入水,或者魚雷入水等高速運動物體入水后的動力學特征相似.除了上述定性的分析,類似地也可以根據式(19)定量而精確地算出其初始時刻的加速度.以ρ=1 000為例:其質量為m=ρls=0.2,由式(20)算得其初始時刻的加速度為

a(0)=9.8-1×4/0.2=-10.2

與圖4所示一致;而對ρ=500,其初始加速度a(0)達到驚人的-30.2,即大小達3倍重力加速度以上.

根據上述分析我們看到水的阻力在細棒的入水運動過程中對其動力學特性起到很大作用,而水的阻力是由入水物體的速度和水的阻力系數決定,即Ff=-kv.前面我們已經分析了物體運動速度,尤其是不同初速度入水,對其動力學特性的影響,下面我們考察水的阻力系數的影響.圖5所示為水的阻力系數k=3的情形,其他參數與圖2相同.在圖2中,在v0=0的入水情形中當ρ=4 000時的v(t)曲線中并沒有峰值出現,但在圖5中,則出現了一個較小但足以辨認的峰值.這點可以從k=3的a(t)曲線中看出,如圖6所示.可以看到,在t=0.4左右,加速度已經從正值跨過零軸變成負值了,不過負值幅度并不大,這恰好表現在圖5中ρ=4 000所對應的藍綠色線中那個小小的峰值.與圖2具有共同特征的是,圖5中各條v(t)曲線都趨向于各自的飽和值,不管入水初速度是否為零;而對相同的細棒密度,不同初速度入水后最終還是趨向于同一個速度飽和值,但它們趨向于飽和值的時間與圖2中各條相應曲線有所不同,而飽和值則相應成比例地減少,因為此時水的阻力系數比圖2中的要大3倍,因為速度飽和值同樣地由vmax=(ρ-ρ′)lsg/k決定.

圖5 幾種不同密度的細棒入水后速度隨時間變化

圖6 細棒加速度變化曲線

類似于圖2中對速度曲線的分析方法,我們也計算了k=3情形下的a(t)曲線,如圖6所示.相比于圖4,現ρ=4 000的劃線也下破零軸,只有ρ=8 000的實線還仍然保持在零軸之上(參見圖6內嵌圖).從圖6中可以看到,ρ=500的雙點劃線只是稍稍下破零軸(參加內嵌放大圖),但幅度不大,表明向上的合外力幅值很小,對應于圖5中ρ=500的雙點劃線中的那個小峰值.對比圖5和圖6,可以看到,加速度下破零軸的幅度越大,則對應圖5中v(t)的峰值越明顯.

從圖5可以看到,相比于k=1(圖2)的情形,在零初速度入水的情況下,雖然當細棒密度大于水時其下降速度較快地趨向于飽和值,但當細棒密度不大于水的密度時,反而比k=1時更慢地趨向于飽和值,如圖5中最下面兩條較細的曲線所示(即ρ=1 000,500的曲線).造成這種反差現象的原因是,當水的阻力系數較大(即k=3時)而細棒的密度不大于水的密度時,細棒剛開始入水不久速度還不大時,水的阻力和浮力就已經超過了其重力而使得其合外力改變方向朝上,于是細棒便開始減速.但此時離細棒的平衡位置還有一段距離,但合外力很小(參加圖6內嵌圖中對應ρ=1 000,500的兩條曲線),所以細棒比較緩慢地減速下沉而逼近其平衡位置,從而最終靜止地懸浮于水里,因而反而需要更長的時間才能到達極限速度,即零速度或靜止.

為了比較不同的k值和ρ值對細棒的入水后的加速度的影響,在圖7中我們給出了一組簡單的對比.我們只考慮零初速度入水,因為如上述,非零初速度入水的效果相當于把a(t)曲線的端點往下拉再逐漸回歸到零軸.為了能看得更清楚,我們只畫出了k=1,3和ρ=2 000,4 000兩兩組合共4種情況.對于相同密度的細棒,更大k值的意味著入水后受到更大的阻力而總的合外力越小,因此較大k值的a(t)曲線在下方,而較小k值的a(t)曲線在上方,即較大k值的在較小k值的之下,這與圖7所示吻合.類似地,在相同的阻力系數下,密度更大的在相同的位置x(t)下則向下的重力更大,因而向下的合力更大.因此,較大ρ值的a(t)曲線在上方,而較小ρ值的a(t)曲線在下方,這與圖7所示也是吻合的.

圖7 不同值k和ρ值下的加速度曲線

3 結論

綜上所述,采用理論解析推導與數值模擬相結合的方法本文研究了質量均勻分布的細棒低速入水問題,分析了水的阻力系數和細棒密度這兩個最重要的因素對其入水過程的動力學特性的影響.首先我們根據牛頓第二定律建立動力學微分方程并求得了解析解,由此進行數值計算并對細棒運動狀態的動力學特性進行了詳盡的分析.結果表明如果細棒的密度比水的大,細棒下沉過程中最終都會趨向于一個穩定的極限下沉速度,不管其入水初速度多少,該極限速度正比于細棒與水的密度差,反比于水的阻力系數;而密度差越大,從入水開始達到極限下沉速度所需時間越長.但當密度差較小時,細棒的下沉速度先達到一個峰值,然后減速并逐漸趨向于穩定極限下沉速度.根據對其受力分析和及其加速度變化的分析,速度峰值形成的原因得到了合理的解釋.相反,如果細棒的密度不大于水的密度,則細棒入水后最終會靜止不動而懸浮于水中,不管入手初速度多少.進一步的計算結果還顯示,水的阻力系數越小,細棒達到極限下沉速度的時間也越長,反之則越短.

相比于由靜止從水面釋放入水,以非零初速度入水的效果相當于在細棒入水后的最初一段時間內增加了其阻力而改變了其所有合外力中各個力的對比,從而改變了細棒入水后的動力學特性,尤其是入水后的最初一段時間內;離入水時刻時間間隔越短,差異或效果越顯著.但當細棒入水時間足夠長后,無論其入水初速度是否為零,其運動狀態終將趨于一致而無差別.