多透鏡組近軸隱形條件的理論和實驗探討

余林萱,李陸洋,王娟娟,夏 霖,盧禮萍,葛夢炎

(1. 南京農業大學 理學院,江蘇 南京 210095;2. 海寧市紫微高級中學,浙江 海寧 314400 )

電磁波隱形在科學研究和文化領域都具有很大的熱度,例如,隱身飛機和隱形斗篷等. 近些年來,對光學隱形的討論也逐漸受到國內外學者的關注,其研究結果對未來光學發展有著深刻的啟示作用. 在變換光學領域,已經有學者發現應用負折射率材料可以將光波繞過目標物體,從而在視覺上達到“隱形”的效果. 目前,人們在利用人工負折射率材料實現隱形方面,已經取得了一定的突破[1-3]. 然而這種負折射率材料存在取材難的問題. 除了負折射材料在隱形方面的應用外,基于幾何光學隱形的方法也引起了關注. 最常見的方法是利用多透鏡組實現近軸隱形,該方法簡單而且便于操作. 2014年,Joseph S. Choi[4]等人提出了利用透鏡組實現光路方向的變化,并且利用光線傳輸矩陣實現了四透鏡對稱情況下隱形區域的探究. 2020年Alicia Fresno-Hernández[5]等人進行了進一步的設計,擴展了四透鏡對稱組,研究五透鏡組的相關性質并實現了隱形的目的. 2021年,王晨陽[6]等人對四透鏡隱形區域進行了測量和研究,并更精確地給出了隱形范圍.

在幾何光學的隱形條件探究方面,利用矩陣進行計算時的工作量較大,并且不容易進行精確化處理. 光學隱形作為2022年CUPT的一道賽題,筆者在研究時,利用Matlab軟件對復雜的矩陣進行數值計算,并采用圖像交叉取點的方法更簡便地求解隱形條件. 另一方面,根據計算結果,本文搭建四透鏡和五透鏡組來測量近軸隱形范圍,并驗證理論分析. 最后利用COMSOL軟件,考慮透鏡厚度的情況下,對四透鏡和五透鏡對稱組的幾何光學進行了模擬,獲得的近軸近似條件下的隱形范圍,并與實驗測量進行了對比分析.

1 透鏡隱形條件

多透鏡組通過特定排列后,使得從近軸特殊范圍內物體發出的光無法達到觀察區域,從而達到隱形的效果,如圖1所示. 根據光的傳播矩陣理論,在近軸近似條件下,單個透鏡和空氣的傳播矩陣是

(1)

圖1 透鏡隱形效果

其中f為透鏡焦距,凹透鏡為負,凸透鏡為正,t表示光程. 對于多個透鏡組,系統在幾何光學的背景下,采用“近軸近似”原理對光線進行線性分析,即假設當光線與光軸中心夾角很小時,光線不發生偏折. 此時透鏡組達到的隱形條件可用光線傳輸矩陣(ABCD矩陣)所表示[4,5]

(2)

上式中L是光程總長,n是空氣折射率取1. 接下來討論如圖2所示的4透鏡對稱組合,Li(i=1,2,3)定義為區間,tj(j=1,2)為透鏡之間距離,此時式(2)中L=2t1+t2,fj(j=1,2)是透鏡焦距.

圖2 四透鏡對稱組示意圖

接下來求解式(2),首先建立4個方程組,令透鏡焦距f1和f2為常數,在忽略透鏡厚度的情況下求解符合4個方程的間距t1和t2數值解. 這里,我們利用Matlab的Solve 函數求解式(2)中的A、B、C、D4個方程,得到將t1作為變量的t2函數,具體方程形式如式(3)所示.A、B、C、D4個方程中,每個方程對應的有兩個解,t1和t2值只需滿足其中一個解即可.

(3)

分析式(3)中解的形式發現,tA1能同時滿足A、C、D等式,tB2滿足B方程. 因此只要滿足矩形框中的兩個方程的t1和t2值,就是隱形條件的解. 為了方便求解,作兩個方程曲線,如圖3所示,這里取f1=150 mm,f2=50 mm. 求得兩曲線交叉點對應的是t1=t2=200 mm.

圖3 四透鏡對稱組t1和t2隱形條件

圖4 透鏡對稱組合裝置示意圖

討論五透鏡對稱組時,建立如下實驗裝置

同樣地,將t1作為變量,通過式(2)A、B、C、D方程的求解,這里總長L=2(t1+t2).

(4)

分析式(4)解的形式,因為A方程和D方程的解是完全相同的,即G1(t2)=J1(t2),G2(t2)=J2(t2),記作G(t2)=J(t2),C方程的第一個解I1與A方程的第一個解G1相同,因此I1的解可以同時滿足A、C、D方程. 通過作圖得知,B方程的第一個解H1與I1無交點,H2與I1存在一個交點. 為了驗證該方法的可行性,取文獻中五透鏡組的透鏡參數[5],f1=200 mm,f2=75 mm,f3=-150 mm 得到I1與H2兩曲線的交點是t1=290 mm,t2=147 mm,見圖5(A),與文獻一致. 本實驗中透鏡參數取f1=150 mm,f2=50 mm,f3=-100 mm,相交點為t1=210 mm,t2=92 mm,見圖5(B).

圖5 五透鏡對稱組 t1和t2隱形條件

2 多透鏡對稱組隱形實驗與模擬

按照四透鏡計算的數值結果設置透鏡位置,如圖6所示. 其中用固定的手機攝像功能來觀測隱形效果. 實驗發現在L2和L3區域均存在較大范圍的隱形區域.

圖6 四透鏡實驗

對四透鏡的3個區域進行測量發現,L1區域也有一定的隱身范圍,但是范圍較小,可以忽略. 對L2和L3隱形范圍進行測量,結果見圖7.

圖7 L2(A)和L3(B)區間的隱形范圍測量

圖7中的陰影部分為隱形區域,其中最大隱形位置出現在離3號透鏡約15 cm和離4號透鏡約14 cm處. 為了驗證四透鏡隱形效果,用COMSOL對該參數下的幾何光路進行了模擬,如圖8所示. 模擬時,取透鏡直徑為40 mm,厚度為3 mm.

圖8 四透鏡對稱組的COMSOL模擬

模擬結果顯示在L2和L3區間出現范圍較大的隱形,最大隱形位置出現在離4號透鏡150 mm和350 mm處,與實驗結果吻合.

對五透鏡對稱系統,按圖3排列透鏡,透鏡和間距參數已由計算給出. 圖9是測量的L4的隱形范圍,其他區間隱形效果不明顯,這里沒有進行測量. 圖9可以看出物體在透鏡L4的隱形區間內,物體離五號透鏡距離約為14.5 cm時隱身范圍較大,此時在靠近光軸的位置處也能實現完美隱身.

圖9 L5區間的隱形范圍

五透鏡的COMSOL光路模擬見圖10所示,模擬同樣取透鏡直徑為40 mm,厚度為3 mm,其他參數則根據計算結果選擇. 模擬結果顯示離透鏡5距離約為151 mm,光斑橫截面半徑最小約為56.5 μm,為隱形范圍最大位置,與實驗中完美隱形位置近似. 實際情況中,光學隱形受到透鏡的厚度、直徑、焦距等不同參數的影響,因此計算,實驗和模擬的結果略有差別.

圖10 五透鏡對稱組的COMSOL模擬

3 結論

本文根據光傳播矩陣隱形條件,在分析A、B、C和D方程組解的特點的基礎上,采用圖像交叉的方法獲得了四透鏡和五透鏡對稱組滿足隱身條件的透鏡間距參數. 另一方面,根據計算結果搭建了兩透鏡系統,并利用COMSOL軟件模擬了兩系統的光路圖,從實驗和模擬的角度測量和分析隱形區間. 結果表明在四透鏡組的L3區間和五透鏡組的L4區間均呈現出“沙漏”狀的隱形區域. 由實驗測量和模擬獲得的最大隱形位置基本一致,四透鏡組位于里四號透鏡約14 cm處,五透鏡組位于距五號透鏡約15 cm處.