冰凍地球的進動與章動

劉文亮,歐建文,劉益民,莊妮亞,李義浩,龍光波

(韶關學院 智能工程學院,廣東 韶關 512005)

賈尼別科夫效應是指一個剛體繞著它轉動慣量最大或最小的主軸旋轉時是穩定的,而繞著其他主軸旋轉時則是不穩定的[1]. 該效應最初由俄羅斯宇航員弗拉基米爾·賈尼別科夫在空間站維修時偶然發現. 在沒有重力影響的情況下,空間站脫落的螺母沿著它所圍繞的主軸旋轉. 但是對于蝶形螺母,它的旋轉主軸會突然掉頭,逆向翻轉,過了一會又翻轉回來,如此反復. 也就是說,蝶形螺母的旋轉主軸是不穩定的,會發生180°周期性的翻轉. 有人將這種規律聯想到了地球,危言聳聽地指出地球可能會毀滅于賈尼別科夫效應. 要想知道地球到底會不會發生兩極翻轉,只要確定地球現在所圍繞的旋轉主軸是不是介于轉動慣量最大和最小值之間的旋轉主軸就可以了. 本文通過計算地球模型中3個正交旋轉主軸的轉動慣量,并分析了地球結冰情況下的轉動慣量大小,由此討論地球旋轉主軸所產生的進動和章動變化.

1 轉動慣量

轉動慣量通常取決于物體的形狀,物體內部的質量分布以及旋轉軸的位置. 繞定軸轉動剛體的轉動慣量定義為[2]

(1)

其中,ri為剛體上任一質點到旋轉軸的垂直距離,mi為該質點對應的質量.具有規則幾何形狀的均質物體,其轉動慣量可以通過式(1)直接計算得到.

1.1 地球的轉動慣量

眾所周知,地球不是一個正球體,而是一個赤道略鼓、兩極稍扁的不規則球體.作為合理近似,我們把地球視為赤道半徑為6 377.83 km,兩極半徑為6 356.91 km的扁球體,如圖1所示.

圖1 地球近似為赤道略鼓、兩極稍扁的扁球體(結冰緯度為l0,對應球坐標的極角φ=90°-l0)

取O-xyz為扁球體的正交坐標系,O點為地心,xy為地球的赤道平面,z軸穿過地心沿著地球的南北極方向.扁球體方程為

(2)

其中,a=b=6 377.83 km,c=6 356.91 km.根據轉動慣量定義式(1),通過三重積分可以容易算出扁球體地球繞3個正交主軸的轉動慣量.沿z軸的轉動慣量

Iz=?(x2+y2)ρ(r)dv=

(3)

由于扁球體的對稱性,在軌道平面上的2個正交旋轉主軸的轉動慣量相等

lz=Iy=?(x2+y2)ρ(r)dv=

(4)

式中ρ(r)為扁球體內部密度隨半徑r的分布函數.

固體地球可以近似看作由地核、地幔和地殼3層結構組成.李安生利用地震學家布倫從地震波速度推算得到的地球密度數據,擬合出地球內部密度隨深度h變化的經驗公式[3,4]:

(5)

地球平均半徑r與深度h有一簡單轉換關系:r=637 1-h/km.由于該經驗公式缺少地球表層的密度模型,我們假設距離地表0～33 km處的地球密度為一常數ρ0=1.283 3 g·cm-3.那么,固體地球的轉

動慣量為

I=Icore+Imantle+Icrust+Isurf

(6)

其中Icore、Imantle、Icrust和Isurf分別表示地核、地幔、地殼和地球表層0～33 km的轉動慣量.把式(5)代入式(3),通過分段積分最后得到固體地球繞南北極旋轉主軸的轉動慣量為:Iz=8.036 5×1037kg·m2.這一結果與現代高精度的空間測地數據得到的地球旋轉主軸的轉動慣量一致[5].利用式(4),赤道平面上的2個正交旋轉主軸的轉動慣量為:Ix=Iy= 8.009 7×1037kg·m2.

1.2 冰凍地球的轉動慣量

從式(6)的分段積分計算結果可見,地表0～33 km處的地球密度分布對地球總轉動慣量大約有0.72%的輕微貢獻.為研究地球表層密度對轉動慣量的影響,我們做一簡單的假設,見圖1.假設地球在南北緯度l0以上全部結冰,結冰后采用海冰密度ρ1=0.914 5 g·cm-3;未結冰的南北緯度區域依然采用地表的平均密度ρ0.則地表0～33 km的轉動慣量積分公式與球坐標的極角φ有關.

(7)

(8)

隨著地球南北極結冰緯度的變化,地球沿著3個旋轉軸的轉動慣量也會發生變化,計算結果見圖2.實線是地球繞南北極的自轉軸的轉動慣量Iz,虛線是繞赤道平面上x(或y)軸的轉動慣量Ix(或Iy).由圖可見,當全球結冰的時候,此時地球繞南北極方向的轉動慣量Iz最小,為8.019 8×1037kg·m2.地球歷史上至少出現過3次全球冰凍現象[6].隨著海冰的消融,轉動慣量Iz急劇上升,直至海冰消融到南北緯度50°的時候,轉動慣量Iz上升到了8.036 3×1037kg·m2;當冰凍保持在南北緯度60°以上,地球南北極方向的轉動慣量Iz變化得非常微小,幾乎保持不變.

圖2 地球轉動慣量隨著結冰緯度的變化(l0=0°表示全球結冰, l0=90°表示海冰全部融化)

2 三軸剛體地球的旋轉

三軸剛體地球的旋轉規律可以用歐拉運動學方程結合歐拉動力學方程來共同描述[1,2].如圖3構建兩組坐標系:固定在地球上的坐標系O-xyz和慣性坐標系O-ξηζ,兩組坐標系都以地心O點作為共同原點.

圖3 三軸剛體地球運動的坐標系

地球在三維空間中的旋轉可以看作是固定坐標系O-xyz相對于慣性系O-ξηζ的整體旋轉運動.兩組坐標系中,Oxy平面與Oξη平面的交線On稱為節線,On與Oξ之間的夾角φ稱為進動角,On與Ox之間的夾角ψ稱為自轉角,Oζ與Oz之間的夾角θ稱為章動角.三個歐拉角φ、ψ、θ和沿著地球x、y、z三個方向的旋轉角速度ωx、ωy、ωz的運動規律,可以用歐拉運動學方程

(9)

結合歐拉動力學方程

(10)

來共同描述.

2.1 地球不受外力作用下的潘索情況

扁球體地球赤道平面的轉動慣量相等,即Ix=Iy≠Iz.本小節討論簡單的地球所受合外力為零的情況,即Mx=My=Mz=0.此時,歐拉動力學方程(10)可以簡化為潘索情況[1,2]

(11)

在慣性系O-ξηζ內觀察,地球瞬時自轉軸也叫天文地軸.天文地軸繞著地理地軸Oz作勻速轉動,掃描出一空間錐面,其周期的理論值為[1,7]

(12)

其中,H=(Iz-Ix)/Ix.注意,2π/ωz即為地球的自轉周期23.934 4小時,近似等于1天;取地球表層平均密度ρ0=1.283 3 g·cm-3的情況下,Iz=8.036 5×1037kg·m2,Ix= 8.009 7×1037kg·m2,計算得到H≈1/300,因此天文地軸繞地理地軸的變化周期約為300天.然而τ的實際測量值約為400天,這是由于地球所受的外力矩不為0,且地球不是絕對剛體的原因造成的.

隨著地球南北極結冰緯度發生變化,Ix、Iz也發生變化,從而引起天文地軸繞地理地軸的周期τ變化,計算結果見圖4.由圖可見,海冰從赤道消融到南北緯度35°的時候,周期τ由約300天逐漸減小到最小值252天,天文地軸繞地理地軸的周期越來越短,繞轉越來越快,地球越不穩定;隨著海冰消融的緯度繼續擴大,周期τ逐漸變大,等到海冰全部消融的時候,周期τ又恢復到了最大值約300天.也就是說,一半液態水一半冰凍的地球旋轉比冰凍地球或者純液態水地球更為不穩定.

圖4 天文地軸繞地理地軸的變化周期隨地球結冰緯度變化

2.2 引潮力作用下的地球進動與章動

(13)

Δθ=θ-Θ=

(14)

(15)

為章動振幅.Θ=23.433°是黃赤交角,α=5.145 396°是黃白交角,μ是月-地質量比,Tz=0.997 269 672天、Tm= 27.321 661 55天、Tr=6 793.477 061天分別表示地球自轉周期、月球的平均軌道周期和白道的旋進周期.表1總結了上述公式中使用的符號所對應的物理含義.

表1 文使用的符號所對應的物理含義

地球與太陽、月球之間的引力相互作用導致地球自轉軸的傾斜程度隨時間的變化而變化.根據式(13),進動角φ隨時間的改變叫做進動,表現為天文地軸繞黃極極軸(圖5中的垂直虛線)的圓周運動.章動是天文地軸沿黃極極軸的上下擺動,式(14)表明天文地軸與黃極極軸的夾角在黃赤交角Θ附近作正弦變化,表現為垂直于進動橢圓的切向振動,最大章動角則由式(15)決定.進動與章動的疊加運動,使得天文地軸繞黃極極軸的運動軌跡呈波浪形狀,見圖5,P、N分別表示地球進動和章動運動.

圖5 受太陽、月球的引潮力作用下地球的進動與章動

地球自轉軸的進動和章動與位于赤道面的轉動慣量Ix和南北兩極的轉動慣量Iz的組合參數H=(Iz-Ix)/Ix有關.隨著地球表面密度發生變化,譬如結冰,Ix、Iz也發生變化,從而改變天文地軸的具體運動軌跡.圖6(a)、6(b)分別是地球進動角速度和章動振幅隨結冰緯度的變化規律.從圖可以看出進動和章動的變化趨勢一致,均與H成正比.在冰雪地球融化階段,從結冰緯度l0=0°到35°,地球轉動軸經歷了一個進動和章動急劇增大的不穩定階段.在l0=35°時,章動振幅Namp達到最大11.023 3″,也就是地球的天文地軸相對于黃極極軸偏離了11.023 3″;同樣,進動率也達到最大的9.367 8×10-12rad·s-1.當地球南北極只有80°～90°的范圍結冰時,地球自轉的進動和章動變化平緩,地球自轉趨于穩定.地球受到力矩作用的自轉穩定性分析與不受力矩作用的潘索情況一致,均指出l0=35°時的冰水混合地球的旋轉最為不穩定.

圖6 地球進動角速度和章動振幅隨結冰緯度的變化規律

以進動作橫坐標,章動作縱坐標,天文地軸在三維空間中劃過的軌跡線鋪展開為二維圖,見圖7.地球經歷55.8年后,即3個白道旋進周期3Tr的時候,不同結冰情況下的地球的天文地軸運動軌跡見圖7.虛線、實線、點線分別代表l0=0°、35°和60°地球結冰時的情況.從圖可l0=35°時,地球上下擺動(即章動)的振幅最大,并且進動角φ漂移得最遠,達到0.016 4 rad.如果地球自轉軸固定不變永遠指向一個方向,那么Δφ=0 rad、 Δθ= 0″,在圖7中則表現為原點中的一個點.

圖7 不同結冰情況下地球天文地軸劃過的軌跡線

3 結論

地球的進動和章動問題關系到地面上分米級別或厘米級別的高精度定位,以及航天器的精密定軌等生產生活、科學技術等方方面面,因此科學家非常重視其理論研究.隨著天體測量精度的不斷提高,尤其是全新一代空間天體測量衛星蓋亞(Gaia)可以精確觀測銀河系內數以億計的恒星,使得對天體位置的測量精度達到10-6角秒量級,與之對應的地球自轉理論也隨之不斷改進. 國際天文學聯合會(IAU)為適應這些高精度需求,規范了IAU2006/2000歲差-章動模型[10]. 這些專業模型的概念抽象,計算過程十分煩瑣、復雜,對于非專業人士理解起來非常困難.

本文從簡單的剛體地球模型出發,通過三重積分計算地球模型的3個正交旋轉主軸的轉動慣量,然后利用歐拉運動學和動力學方程的理論結果,分析了地球結冰情況下的自轉狀態. 我們的地球模型物理圖像直觀,計算過程簡單,有利于人們對進動和章動的理解. 我們的研究指出,冰雪地球在融化的過程中,經歷了進動和章動急劇變化的階段,地球自轉較為不穩定;在南北緯度80°～90°結冰的地球,其進動和章動變化較小,地球自轉較為穩定. 通過我們的計算,否定了地球會毀滅于賈尼別科夫效應的傳言.