基于四水聽器的充水彈性管聲速測量方法?

尋天雨 鄒新宇 郁高坤

(中國海洋大學信息科學與工程學部 青島 266100)

0 引言

水聲材料是水聲技術研究的熱點。對水聲材料聲學參數的測量是研究的基礎[1]，而對水聲材料低頻聲學特性的測量是一個難點[2]。目前，在實驗室中水聲材料聲學性能參數的測量主要在水聲聲管中進行，它能夠以小尺寸樣品來近似橫向大尺寸的測量結果[3]，能夠進行低頻段的測量，同時具有測試系統簡單、性能穩定等特點。在聲管中通過平面波來測量水聲材料的聲學性能參數，而想要正確測量這些參數，首先要知道管內平面波聲速。

當聲管管壁為剛性邊界時，在平面波截止頻率以下管內只存在平面波，其傳播的相速度和群速度都等于水中自由空間的聲速[4]。因此，為保證管壁的剛性，國家標準規定水聲聲管管壁為鋼材料且壁厚要不小于管的內半徑[5]。而在實際應用中，管壁的材料具有彈性，并不能當作剛性邊界，管壁振動產生的彈性波會對管內水中聲波產生影響，使得管內平面波聲速不再等于水中自由空間的聲速，管壁厚度、管壁材料等都會影響聲速大小，因此準確地測量管內聲速尤為重要。

對于聲管內平面波聲速的測量，傳統的方法主要是駐波法[6]和脈沖法[7-8]。駐波法利用聲波的干涉，通過找到相鄰兩個聲壓極大值之間的距離來確定聲速[9]，要求長距離的高精度測量，操作復雜；脈沖法是利用固定位置處傳感器接收信號的相位差來確定聲速，傳感器的位置的選取要避免波干擾，需要精確測量時間差，而實驗頻段較高，容易產生誤差。后來，有研究相繼利用頻響函數法測量管內聲速[10-12]，通過聲壓頻響曲線的峰峰值的頻差來確定聲速，但該方法要求不同傳感器到邊界的距離差別要足夠大，否則頻響曲線不存在明顯的峰峰值。Mo等[13]提出基于4 個傳感器傳輸矩陣的迭代方法，該方法不局限于特定的邊界條件，能夠準確測得管內空氣中聲速。關于管內不同傳播模式聲波的研究，通過在管道中軸向移動水聽器，提供均勻間隔的聲場采樣來區別不同模式的聲波[14-19]，該方法用于測量管內平面波聲速過程也過于繁瑣。

本文提出一種基于4 個固定位置處的水聽器結合不同邊界的水聲聲管聲速測量方法，該方法無需知道4 個水聽器到邊界的精確距離，通過單頻連續信號進行測量，具有操作簡單、性能穩定、時間短的優點。文中對3 種不同邊界下管內平面波聲速進行測量，同時為驗證測量方法的準確性，給出管內平面波聲速的理論值和仿真值，并與測量結果進行對比分析。

1 聲速測量原理

本文給出4個水聽器結合不同邊界的方法來測量聲管中平面波聲速，通過改變聲管末端邊界條件，計算聲管末端入射聲壓的方法，即一個邊界條件下，在不同位置測量的結果應該是相同的，這樣就可以建立一個方程，多個邊界條件，就有多個方程，通過最小二乘的方法，確定給定頻率下的聲速。

如圖1 所示，聲管沿軸向坐標定義為z，聲管末端設為坐標原點，入射波沿z軸正向傳播，聲管末端放置不同的邊界。其中，A表示聲管內入射波在聲管末端的聲壓(復聲壓)，B表示聲管內反射波在聲管末端的聲壓(復聲壓)；假設從入射波方向的4 個水聽器分別為1號、2 號、3 號、4 號水聽器，它們測得的聲壓分別為P1、P2、P3、P4，4 個水聽器的坐標分別為Z1、Z2、Z3、Z4，L1、L2、L3分別表示水聽器兩兩之間的距離。時間因子取e-jωt根據管內平面波傳播公式，可得

圖1 聲管平面波聲速測量原理Fig.1 The principle of sound velocity measurement of the plane wave in a sound tube

其中，k=2πf/c0表示波數，f為測試頻率，c0為聲管中平面波的傳播速度。

通過式(1)、式(2)可以求出聲管末端的入射波和反射波聲壓為

將兩組水聽器分別得到的入射波相等并化簡，得到式(5)：

其中，Z2-Z1=L1，Z4-Z3=L3，Z4-Z2=L2+L3?？梢钥闯?，在入射波關系式中只有不同水聽器之間的距離量，避免實驗中各水聽器與聲管末端的距離測量帶來的誤差。

在不同的末端邊界下，利用兩組水聽器分別得到的入射波應該是相等的，都可以得到式(5)的關系式，主要處理方法如式(6)所示，將式(5)兩邊相減，在每一頻率下，通過變化聲速c0，使得二者差值的平方最小的c0即為管中聲速，這相當于給出了一種通過改變邊界條件測量聲管中平面波聲速的方法，且該方法在任意一種邊界條件下均可測量聲速。

2 聲速測量結果

在實驗室的充水彈性管中進行實驗，實驗所用聲管和各邊界如圖2所示。

圖2 實驗條件Fig.2 Experimental conditions

實驗室的充水彈性管如圖2(a)所示，管壁材料為不銹鋼，與圖1 原理圖中結構相同，聲管長3.2 m，內外半徑分別為0.07 m和0.135 m，4個水聽器中兩兩之間的距離分別為：L1=0.15 m、L2=1.2 m、L3=0.1 m。實驗中采用3 種邊界：硬邊界、吸聲邊界和軟邊界。硬邊界如圖2(b)所示，下部分為鋼，上部分為橡膠，橡膠用于減少鋼的振動；吸聲邊界如圖2(c)所示，為吸聲橡膠；軟邊界對應于上管口為水-空氣界面。

實驗過程中，聲源信號采用連續正弦信號，利用單頻信號進行測量，頻段為1200～4000 Hz，頻率間隔為50 Hz。在不同邊界下，利用NI 采集系統同時采集4 個水聽器的聲壓信號，系統采樣率為100 kHz，根據式(6)的方法處理實驗數據，數據處理結果如圖3 所示。圖3 中縱坐標c0為管內水中平面波聲速，橫坐標f為頻率，圓圈標記的紅色點線代表硬邊界下的聲速結果，正方形標記的黑色點線代表吸聲邊界下的聲速結果，菱形標記的藍色點線代表軟邊界下的聲速結果。實驗是在2022年5月進行的3 種邊界的實驗在相鄰兩天內完成，在實驗過程中溫度是相對穩定的?？梢钥闯?，在實驗頻段內，3種邊界下測得的聲速結果基本是一致的，每一頻率點下的不同邊界的結果都在一定值附近。對不同邊界下實驗結果進行分析對比，表1 給出了不同邊界下聲速測量結果的均值、方差、標準差和A 類標準不確定度?？梢钥闯?，3種邊界下聲速測量結果的平均值幾乎是一致的；方差、標準差用來衡量實驗結果的波動大??；A類標準不確定度[20]用實驗標準偏差來表征，它表示實驗結果的可信賴程度?？梢钥闯?，在3 種邊界下，聲速測量結果都很穩定可靠，說明測量結果不受邊界的影響，該方法可以在任一種邊界下測量管內平面波聲速。

表1 不同邊界下實驗結果分析Table 1 Analysis of the measurement results of different boundaries

在該方法中，雖然利用每組水聽器即可分離出平面波入射波和反射波，同時得到邊界的反射系數，但是考慮實際操作，每次邊界懸掛時傾斜程度、位置等均會有差異，導致反射波會有差異，處理結果不穩定，而入射波由聲源持續發出，信號穩定，所以處理過程采用入射波更加合理。

3 聲速測量方法的驗證

圖3 的結果說明了本文方法在不同邊界下聲速測量結果的一致性。為驗證該方法的準確性，對彈性管內聲場進行分析計算，得到管內平面波聲速的理論值以及利用有限元軟件對聲速測量方法進行仿真得到聲速仿真值，并與實驗結果進行對比，仿真值與理論值具有很好的一致性，同時實驗結果與仿真值之間的誤差很小。

3.1 聲速的數值計算與仿真值

設有外半徑為a、內半徑為b的無限長彈性圓柱管，管外壁為真空，管內為水，密度為ρ，聲速為c，管壁材料密度為ρs，縱波聲速為橫波聲速為λ和μ是拉密常數。圓柱管沿圓柱軸向坐標定義為z，圓柱體橫截面上的徑向坐標定義為r，θ定義為角度坐標，在聲源軸對稱激勵下，管中聲場與極角θ無關，忽略時間因子e-jωt。設管內水中聲壓為p，管壁采用位移勢Φ和Ψ=(Ψr,Ψz,Ψθ)T表示縱向勢標量和橫向勢矢量，它們均滿足齊次亥姆霍茲方程，在軸對稱情況下相應的解可以寫為

當0 ≤r≤b時，水中聲場：

當b≤r≤a時，彈性管壁中的聲場：

其中，kz=ω/c0表示軸向波數，c0為管內聲速，kr、klr、ktr表示軸向波數。

在r=a處，管外壁為固體-真空自由邊界，聲場滿足切應力和正應力為0 的條件，如式(10a)和式(10c)所示。

在r=b處，管內壁為水-固體邊界，聲場滿足應力和位移連續性的條件，如式(10b)、式(10d)和式(10e)所示。

其中，管壁固體材料中的位移u=(ur,uθ,uz)T和應力分量σrz、σrr可通過位移勢Φ和Ψ計算出來，具體形式見附錄A。將應力和位移代入邊界條件并寫成矩陣形式為

其中，Q是一個5×5 的矩陣，它所有元素在附錄B中給出。管內平面波聲速通過式(11)求解，在不同頻率下，在一定范圍內變化聲速c0得到不同的系數矩陣Q，通過對Q進行奇異值分解，使得Q的最小奇異值最接近于0的c0即為實際聲速。

同時，利用有限元仿真軟件根據實驗室充水彈性管的實際參數進行仿真，取出4 個水聽器處的總聲壓，通過本文的方法進行處理得到管內聲速的仿真值，仿真各參數見表2。

表2 充水彈性管仿真參數Table 2 Parameters of the water-filled elastic tube in simulation

將仿真值與式(11)計算的嚴格理論值進行對比，如圖4 所示。圖中黑色實線代表聲速的理論值，藍色點劃線代表聲管外壁為自由邊界條件下的聲速仿真結果，紅色實線代表聲管外壁鋪設0.05 m 厚的橡膠條件下的仿真結果。其中，理論值為無限長聲管內的平面波聲速結果，而實際聲管為有限長度，可以看出，在管外壁自由條件下的聲速仿真值與理論值吻合得很好，只是在個別頻率處存在跳變點；而當管外壁鋪設橡膠后，這些頻率的跳變消失，同時橡膠的加入對聲速值產生的誤差小于1 m·s-1，可忽略不計，仿真值與理論值的一致性說明了本文所提出的聲速測量方法是正確的?？紤]在管外壁自由條件下聲速的跳變點是由于聲管為有限長度，管壁振動產生的影響，而外壁的橡膠能夠抑制管壁的振動，使得頻散曲線變得平滑。

圖4 充水彈性管內平面波聲速的理論值與仿真值Fig.4 Theoretical value and simulation value of the sound velocity of plane wave in the water-filled elastic tube

3.2 軟邊界下聲速驗證實驗

在實驗室聲管中重復進行了軟邊界條件下的聲速測量實驗，實驗時間為2022 年7 月7 日，同時測量水溫T=26.5?C，根據純水中聲速的經驗公式[21]計算自由空間聲速為1500.65 m·s-1，利用式(6)處理得到的實驗結果與自由空間聲速、聲速仿真值對比得到圖5。圖中黑色虛線表示自由空間下的聲速，紅色實線表示聲速的仿真值，菱形標記的藍色點線表示軟邊界下的實驗測量結果?？梢钥闯?，非剛性管壁聲管內平面波聲速小于自由空間的聲速，說明管壁鋼材料的振動會影響管內平面波聲速，聲速的測量值與仿真值結果相近，說明實驗測量結果的準確性。

圖5 軟邊界下管內平面波聲速的實驗驗證Fig.5 Experimental verification of the sound velocity of plane wave in the tube with soft boundary

將實驗得到的聲速結果代入式(3)、式(4)，利用r=B/A=|r|ej?1，兩組水聽器分別得到軟邊界的反射系數，與仿真值對比，如圖6 所示。圖6(a)和圖6(b)分別對應軟邊界反射系數幅值|r|和相位?1，其中，紅色實線代表仿真結果，圓圈標記的藍色點線代表1 號、2 號水聽器的實驗測量結果，四方形標記的黑色點線代表3 號、4 號水聽器的實驗測量結果。軟邊界的反射系數r=-1，即|r|=1，?1=π，從圖6 可以看出，反射系數的仿真結果完全符合軟邊界條件，實驗結果中，3 號、4號水聽器得到的反射系數幅值和相位非常接近于1和π，1號、2 號水聽器得到的反射系數幅值在1 附近波動，反射系數相位非常接近于π。

表3 實驗結果分析Table 3 Analysis of the measurement results

圖6 軟邊界反射系數的仿真值與測量結果Fig.6 Simulation value and measurement result of the reflection coefficient of soft boundary

為清晰地分析實驗結果，表3 給出聲速和反射系數測量結果的誤差、方差、標準差及不確定度參數分析。從表3 可以看出，聲速的測量結果誤差很小，平均相對誤差僅為0.51%，說明了本文測量方法的有效性；同時聲速測量結果的方差、標準差和A 類標準不確定度都很小，說明了測量具有很好的穩定性；反射系數的測量結果的誤差也很小，其中，1 號、2 號水聽器反射系數值的相對誤差最大，為7.29%，其他的結果相對誤差都在3%以下，同時反射系數的測量結果穩定性很好。

反射系數測量結果存在誤差的原因考慮是水聽器靈敏度的影響，不同位置水聽器的靈敏度不同，會產生一定的幅度誤差和相位誤差，該實驗中1 號、2 號水聽器存在一定的幅度誤差，使得軟邊界反射系數幅值的測量值與1 有偏差，但其能夠說明實驗測量過程和結果的準確可靠性；同時能夠表現出本文方法具有很好的魯棒性，在水聽器靈敏度存在差異時仍能夠測量出管內的聲速。對于水聽器兩兩之間距離測量誤差對實驗結果的影響，從式(6)可以看出，水聽器兩兩之間的距離通過e 的復指數對結果產生影響，假設水聽器相對距離的真實值為Ls，測量值為Lc，則在實驗中用卷尺對水聽器的相對距離進行測量，卷尺的精度為1 mm，同時實驗在低頻段進行測量，即f/c0較小，將實驗頻段中心頻率代入估算相位的變化很小，說明水聽器相對位置的測量誤差對聲速測量結果影響很小。

4 結論

本文提出了一種新的聲管平面波聲速測量方法，利用4個固定位置處的水聽器，采用最小二乘的方法，使得兩組水聽器分別得到的聲管末端入射波聲壓差值的平方最小的聲速即為管內平面波聲速。該方法具有很好的魯棒性，在水聽器靈敏度存在差異時仍能夠得到很好的結果；通過單頻信號進行測量，在每一頻率點均可得到聲速值；不受末端邊界條件的影響，可以在任一種邊界下進行測量；該方法只與水聽器兩兩間的距離有關，無需精確測量每個水聽器到邊界的距離；實驗中只需懸掛不同邊界，同時采集4個水聽器的接收信號，實驗操作簡單、時間短，為管內聲速的實時測量提供一個很好的方法。

附錄A

在柱坐標系下，軸對稱情況下管壁固體材料中的位移u=(ur,uθ,uz)T和應力分量σrz、σrr為

其中，εrz、εrr、εθθ、εzz表示應變，在柱坐標系下，它們與固體中位移的關系為

附錄B

5×5 的矩陣Q的所有元素為