加工中心主軸關鍵熱敏感點選取與熱誤差預測*

田春苗,季澤平,郭世杰,b,唐術鋒,b,喬 冠,b

(內蒙古工業大學a.機械工程學院;b.內蒙古自治區特殊服役智能機器人重點實驗室,呼和浩特 010051)

0 引言

熱誤差是影響機床精度的關鍵因素[1-2],約占總誤差的40%～70%[3-4]。高精密伺服系統的應用,使得控制誤差的影響明顯降低。直線電機和高速電主軸技術的應用以及機床零件的制造與裝配精度的提高,使得幾何誤差得到有效控制[5]。然而,隨著機床精度的提高,熱誤差對精度的影響尤為突出[6]。主軸作為機床的核心部件,同時也是機床主要發熱部件,其在熱誤差中占比最大,因此如何抑制主軸熱誤差的影響,對高精度數控機床的發展具有重要意義。

近幾年,國內外研究人員針對主軸熱誤差補償技術進行了大量研究[7]。熱誤差建模是主軸熱誤差補償的核心,主軸熱誤差預測模型的準確性是后續熱誤差補償的前提條件。為此,研究人員在熱誤差建模領域進行了大量的研究,并取得顯著成果。其中最小二乘法(LS)、多元線性回歸(MLR)、支持向量機(SVM)、BP神經網絡、卷積神經網絡(CNN)和循環神經網絡(RNN)等網絡被大量應用于熱誤差預測模型的建立[8-14],以上方法均能表征溫度與熱誤差之間的復雜關系。LS和MLR等傳統建模方法適用于結構簡單且精度不高的數控機床的溫度與熱誤差的關系表達,傳統建模方法無法處理復雜機床熱誤差的非線性特征。因此,機器學習就成為了熱誤差建模的主要方法。其中,SVM、BP神經網絡以及循環神經網絡等模型需要確定參數才能準確進行預測,因此大量研究使用優化算法進行參數尋優,進而提高模型預測精度[15-21]。廣義回歸神經網絡(GRNN)與這些模型相比,具有更強的全局尋優能力,并且能夠較快的收斂,但需要確定最佳模型參數才能挖掘出廣義回歸神經網絡的性能優勢。

針對上述問題,本文提出使用K-medoids聚類分析方法對溫度測點進行分組。同時為了減少溫度傳感器個數,避免溫度測點間多重共線性問題,使用灰色關聯分析計算各測點與主軸熱誤差之間的相關程度,并從各類簇中,挑選一個相關程度最大的測點作為最佳熱敏感點。提出基于ABC算法GRNN網絡的熱誤差預測模型,利用ABC優化算法對GRNN模型參數及光滑因子進行調節,使GRNN模型性能能夠完全體現。使用ABC-GRNN模型構建主軸溫度場與熱誤差之間的非線性映射關系?；趯崪y數據,驗證模型預測能力。

1 主軸熱誤差建模方法

在進行主軸溫度場信息獲取時,通常需要布置大量的溫度傳感器,但過多的溫度傳感器之間會產生多重共線性,影響后續預測模型的預測精度,同時因輸入數據較多,也會導致模型訓練速度降低。過少的溫度測點則不能有效表征出主軸溫度場信息。因此為了合理挑選溫度測點,本文使用K-medoids聚類算法對溫度測點進行分組,并計算各溫度測點與主軸熱誤差之間的灰色關聯度,進而挑選出最佳熱敏感點。

主軸溫度場信息與主軸熱誤差之間一般為非線性關系,并且各變量變化缺乏規律性,難以通過具體函數進行表征,為此本文提出使用GRNN模型建立溫度變量與熱誤差之間的非線性關系,并使用人工蜂群算法對GRNN網絡光滑參數進行修正,解決其易陷入局部最優解和收斂速度慢等缺陷。

1.1 基于K-medoids聚類的溫度測點分組

K-medoids算法與K-means聚類算法均是基于劃分迭代求解的聚類分析算法,不同之處在于,K-means算法以均值為質心,K-medoids算法在確定平均值之后會選取與之最近的實際溫度測點作為質心。因此K-medoids算法針對噪聲數據更具包容性。當然,與K-means算法相同,K-medoids算法的初始聚類中心仍是隨機選取的。設溫度樣本為T={T1,T2,…,Tn},T中每個對象稱為樣本Ti(i=1,2,…,n)。其中每個對象n都有m個維度屬性。K-medoids算法將數據集T中的n個對象依據相似性原則和最小化目標函數劃分到K個簇中。

聚類算法具體步驟為:

步驟1:確定聚類數K。K-medoids算法的聚類簇數K一般通過經驗設置,但缺乏理論基礎,同時聚類簇K的不同直接影響后續的聚類結果。為此本文采用手肘法確定最佳簇數,即以最大拐點處對應的簇數作為算法最優K值:

(1)

式中:p表示類簇Ci中的溫度測點,m表示各類簇的聚類中心。

步驟2:選擇初始聚類中心。隨機選取溫度樣本集T中的溫度測點作為初始聚類中心。

步驟3:計算剩余溫度樣本中的樣本對象到初始聚類中心Tu的歐氏距離D:

(2)

式中:j=1,2,…,m(m為測點中溫度數據);Ti,j表示溫度樣本Ti中的全部溫度數據;Tk,j表示初始聚類中心Tk中的全部溫度數據。

步驟4:增加與初始聚類中心距離最遠的溫度樣本成為下一個聚類中心的概率。

步驟5:重復步驟3和步驟4,直至選出K個初始聚類中心。

步驟6:計算剩余溫度樣本至每個初始聚類中心的歐氏距離:

(3)

步驟7:將各溫度樣本分配到與之歐氏距離最近的聚類中心的簇中。得到K個類簇{C1,C2,…,Ck}。計算非質心樣本到當前聚類中心的距離之和,將該值最小的樣本,作為新的聚類中心:

(4)

步驟8:重復步驟6和步驟7直至聚類中心的位置不再發生改變。

1.2 溫度熱敏感點提取

通過K-medoids聚類算法進行分組后,還需解決多重共線性問題。為此,本文采用灰色關聯分析計算各溫度測點與五項主軸熱誤差之間的關聯程度,并在每一簇中選擇一個溫度測點作為熱敏感點。

灰色關聯度與數據本身初始值無關,僅與樣本之間幾何變化相識度有關,即溫度測點與熱誤差之間形狀變化趨勢越相近,表明兩者相關程度越高,反之則表明兩者相關程度越低。本文選用灰色絕對關聯分析計算各溫度變量與主軸熱誤差之間的相關程度,其計算公式為:

(5)

(6)

式中:ρ表示分辨系數,ρ∈[0,1],通常情況下ρ=0.5。

通過溫度樣本和主軸熱誤差的灰色關聯分析結果可確定各類簇中的最佳溫度熱敏感點。即在各類簇中挑選一個與熱誤差關聯程度最大的溫度測點作為最佳溫度測點。有效解決了溫度測點間多重共線性對熱誤差模型預測精度影響。

1.3 GRNN網絡建模

GRNN神經網絡是徑向基網絡的一種變形形式,與普通徑向基網絡相比增加了求和層,這使得GRNN網絡具有更好的非線性映射能力和更快的學習速度。其網絡結構如圖1所示。由輸入層、模式層、求和層和輸出層構成。

圖1 GRNN網絡結構圖

GRNN神經網絡主要進行非線性回歸分析,設f(x,y)為隨機變量x和y的概率密度。x的觀察值為xt,則條件均值計算公式為:

(7)

未知概率密度函數的非參數估計計算公式為:

(8)

式中:n為總樣本數,q為x的維度,σ為光滑參數。

將f(xt,y)代入條件均值計算公式中,同時交換積分與求和的順序:

(9)

(10)

GRNN模型各層神經元個數及計算流程如下:

步驟1:輸入層。輸入層神經元個數與訓練樣本輸入向量維度相等,即通過K-medoids聚類分析和灰色關聯分析后選取的溫度向量。

步驟2:模式層。模式層神經與溫度樣本數量相等。模式層傳遞函數公式為:

(11)

式中:T表示模型輸入的溫度樣本,Ti表示i神經元對應的學習樣本。

步驟3:求和層。求和層計算方式有兩種,一種為分母求和,即對所有神經元輸出進行求和,傳遞函數如式(12)所示。另一種為分子求和,即進行加權求和,將模型層第i個神經元與第j個神經元相加,傳遞函數如式(13)所示。

(12)

(13)

步驟4:輸出層:輸出層神經元個數與機床主軸誤差項相等,輸出層計算公式為求和層兩種求和結果相除:

(14)

1.4 ABC-GRNN熱誤差建模

GRNN模型的非線性映射能力較強,但模型仍存在易陷于局部最優等缺陷。為進一步提升預測精度,本文對其缺陷進行改進,使用人工蜂群優化算法對GRNN模型參數進行調節,同時對光滑因子進行修正。進而實現全局尋優,充分挖掘模型性能。

ABC-GRNN算法實現的原理是:將GRNN網絡的參數和平滑因子賦值與ABC算法的食物源中,蜂群中主要包括引領蜂、跟隨蜂和偵察蜂3個集群構成。首先由引領蜂搜尋蜜源信息,并以較好蜜源作為初始蜜源,同時進行跟隨蜂的招募。引領蜂與跟隨蜂的數目相同,其作用是使模型在訓練時快速收斂。跟隨蜂作為引領蜂的附屬,其與引領蜂共享蜜源信息,并將搜尋的新蜜源與引領蜂標記的初始蜜源進行比較。此過程正是算法局部尋優的過程。算法的最后是由偵察蜂進行全局尋優,避免算法陷入局部最優,每迭代一次,偵察蜂的數量都會加一,直至滿足終止條件選出最優參數?；贏BC-GRNN網絡的主軸熱誤差模型的預測流程如圖2所示。

圖2 基于ABC優化GRNN網絡流程圖

基于ABC-GRNN的主軸熱誤差預測模型具體步驟如下:

步驟1:初始化網絡。初始化GRNN網絡的參數及平滑因子,并將待優化參數賦值于蜜源。初始化人工蜂群算法,設蜂群中蜜蜂總數為Nz;引領蜂數量為Nc;跟隨蜂數量為Ng;蜜源數量為Np;控制參數為Limit;隨機初始解為xi(i=1,2,…,Np)。由隨機初始解構成D維解空間,即GRNN網絡需要確定的參數。初始解在[-1,1]之間取值。

步驟2:計算初始解的適應度值。

(15)

式中:Ei為誤差均方值,即算法性能評價指標,其計算公式為:

(16)

步驟3:引領蜂搜尋新的蜜源,其計算公式為:

(17)

式中:θij為[-1,1]之間的隨機數,θij取值較大時,算法會跳出局部最優進行全局尋優,θij取值較小時,搜索能力增強。因此理想的模型為θij值由大變小。為此,本文引入調節因子G,即在每次迭代后減小的θij值。

步驟4:將新搜索到的蜜源與初始蜜源進行比較,保留適應度較高的解:

(18)

步驟5:計算當前蜜源的可能值Pi:

(19)

式中:f(xi)為第i個蜜源的適應度值,跟隨蜂依據Pi值進行新蜜源的搜索。

步驟6:當蜜源xi更新達到極限值Limit時仍為找到新的替代蜜源時,由以下公式生成新蜜源將其替換:

xi=xmin+a(xmax-xmin)

(20)

式中:a為取值在[0,1]之間的隨機常數。

步驟7:若滿足最優解條件或達到迭代次數,尋優結束。反之轉入步驟3。

步驟8:將ABC算法獲取的最優參數和平滑因子傳輸至GRNN模型中。

步驟9:更新GRNN模型參數,以實際采集主軸溫度和熱誤差數為基礎,依據1.3小節訓練流程訓練ABC-GRNN主軸熱誤差預測模型。

2 實例分析

2.1 主軸熱誤差測量

本文以VDL600-A立式三軸加工中心為研究對象,依據ISO230-3[23]標準對機床主軸熱誤差進行測量。位移傳感器Z與主軸軸線方向平行放置。位移傳感器X1、X2軸線與X軸平行放置,位移傳感器Y1、Y2軸線與Y軸平行放置。安裝好位移傳感器后,首先采集主軸相對位移,之后通過五點辨識法,將位移數據轉換為機床主軸五項誤差值。位移信息為矢量,因此當傳感器靠近檢驗棒時,記為負,反之為正。安裝方式如圖3所示。

圖3 五點法測量示意圖

數控機床體積大結構復雜,需布置大量溫度傳感器,應保證傳感器安裝和拆卸簡便,各個溫度傳感器數據應協同工作同時采集,以便準確反應出整個溫度場信息,同時為保證后續熱誤差模型的準確性,溫度傳感器應保證較高的測量精度和穩定性。因此,本文選用磁吸式PT100溫度傳感器。

在進行溫度數據采集前需要布置大量溫度傳感器,現有溫度傳感器布置方案往往以研究人員經驗為依據,缺乏理論基礎。因此為更準確獲取主軸溫度場信息,本文使用熱成像儀對主軸附近溫度場進行拍攝。熱成像技術是利用紅外探測器和光學成像物鏡來接收數控機床主軸附近紅外輻射能量分布情況,通過呈現的熱成像圖快速確定主要熱源的位置。機床主軸運行270 min的熱成像如圖4所示。

圖4 主軸熱成像圖

由圖4可知,主軸在運行1 h后,主軸電機和軸承附近溫度要明顯高于周圍溫度,運行2 h后,各發熱區域溫度逐漸趨于平穩,達到33 ℃左右,證明此時機床已經達到熱平衡。以熱成像圖的拍攝結果為依據,進行溫度傳感器的布置,具體安裝位置如表1所示。

表1 溫度傳感器分布位置

基于前述溫度測點布置策略安裝溫度傳感器,并依據ISO230-3-2020[23]提供的誤差測量方案安裝電渦流位移傳感器。進行溫度和熱位移數據的采集實驗。實驗中溫度與熱位移數據同步采集,采樣頻率為1 Hz/s。同時保證機床在進行實驗前24 h內未進行工作?？紤]到在實際的生產中,數控機床可能出現的加工狀態,本文分別設計了低速、中速和高速3種恒定轉數實驗。目的是為了探究不同轉速下溫度對熱誤差的影響。試驗工況如表2所示。

表2 恒定轉數實驗設計

2.2 測試結果與分析

實驗前數控加工中心已進行24 h自然冷卻,溫度傳感器和位移傳感器的安裝應確保不影響數控機床的正常運行。實驗時應保證主軸溫度數據位移數據同步采集。將數據采集硬件系統調試測試完畢后,依據前述試驗工況進行數據采集實驗。以某次高速試驗采集的數據為例進行分析,溫度和位移變化曲線,如圖5和圖6所示。

圖5 溫度變化曲線

由圖5可知,溫度變化曲線呈上升趨勢不斷升高,T6、T8和電機外殼T9處溫度變化最快,溫度最高。這與熱成像結果基本一致。各溫度測點溫度變化速率在前100 min最快,之后變化速度不斷降低,在運行至200 min左右趨于平穩,證明此時數控機床達到熱平衡。

由圖5可知,位移曲線變化規律與溫度基本一致。位移曲線在250 min以后趨于平穩狀態,相比溫度場達到穩態時間稍有滯后。在主軸溫度場達到熱平衡后,熱變形也逐漸趨于平衡,表明了溫度與主軸熱誤差之間有較高的相關性。

3 熱敏感點選取及熱誤差預測

3.1 溫度測點優化

本文共進行多組數據采集實驗,為了對溫度熱敏感點選取過程進行詳細說明,選用主軸轉數n=8000 r/min時采集的數據進行測點優化。T={T1,T2,…,Tn},是待進行K-medoids分析的溫度樣本數據,其中n=10。對聚類組數K的確定使用第1.1節提出的手肘法。SSE變化曲線如圖7所示。當K為4時,曲線拐點最大,因此最佳聚類簇數為4。

圖7 SSE變化曲線

K-medoids聚類算法最終將溫度測點分成(T1、T4、T7)、(T2、T3、T5)、(T6、T8、T9)和(T10)四組。完成分組后,計算各測點與主軸熱誤差之間的灰色關聯系數。各測點與熱誤差的灰色關聯度如表3所示。

表3 灰色關聯度計算結果

依據K-medoids聚類分組和灰色關聯度分析,挑選出各類簇中與主軸熱誤差相關程度最大的溫度測點進行后續的主軸熱誤差建模。最終確定的溫度測點為冷卻液進水口(T4)、主軸下軸承(T5)、主軸上軸承(T8)和環境溫度(T10)。

3.2 模型預測與評價

以第2.2節采集的溫度數據和熱誤差數據作為支撐,第3.1節確定的最佳熱敏感點溫度變量作為輸入,分別使用所建立的GRNN模型和ABC-GRNN模型對主軸沿X、Y、Z軸的熱偏移誤差δx、δy、δz和繞X、Y軸的熱傾斜誤差εx、εy進行預測。圖8為兩種網絡模型對以上5種熱誤差預測的殘差。

圖8 主軸熱誤差預測殘差

由圖8GRNN模型和ABC-GRNN模型對主軸五項熱誤差預測的殘差圖可知,GRNN模型的殘差波動較大,個別預測點偏差跳動明顯,說明此時網絡參數不是最佳網絡參數。使用ABC算法進行調參后,波動明顯變小,殘差值大幅降低。為了更直觀的對比出優化前后GRNN模型的預測能力,以MAE、RNSE和MAPE為依據評價模型擬合優度。優化前后模型擬合優度如表4和表5所示。

表4 GRNN神經網絡擬合優度

表5 ABC-GRNN神經網絡擬合優度

由擬合優度評價表可知,ABC-GRNN模型的預測效果明顯優于GRNN模型。ABC-GRNN模型預測結果的MAPE均值為4.536%,對三項熱偏移誤差預測的殘差均值為0.082 μm,對兩項熱傾斜誤差預測的殘差均值為0.003 s。GRNN模型預測結果的MAPE均值為6.322%,對三項熱偏移誤差預測的殘差均值為0.183 μm,對兩項熱傾斜誤差預測的殘差均值為0.011 s。通過以上分析可知,本文提出的基于ABC-GRNN網絡的數控機床主軸熱誤差預測模型具有更高的預測精度。

4 結論

為解決數控機床主軸熱誤差對精度的影響,本文針對主軸熱誤差測量、溫度熱敏感點選取和熱誤差建模進行了系統的研究,并進行實驗驗證,具體研究內容為:

(1)提出了K-medoids聚類分析算法與灰色關聯分析相結合的溫度熱敏感點選取方法。使用K-medoids算法對全部溫度變量進行聚類分組。之后通過灰色關聯分析深度發掘溫度場信息與熱誤差的關聯程度,并依據分析結果,從各類簇中挑選出與相關性最大的測點作為最佳熱敏感點。避免了多重共線性對后續建模的影響。

(2)建立了基于ABC-GRNN網絡的主軸熱誤差預測模型。引入調節因子到ABC算法中,提升了蜂群中蜜蜂個體的覓食速度。利用ABC算法準確確定GRNN模型的參數及光滑因子,有效提升了預測模型的收斂速度、全局尋優能力以及預測精度。避免了由經驗設置參數引起的隨機誤差,提升了模型的泛化能力。

(3)依據熱成像技術確定溫度傳感初始安裝位置,使用ISO-230-3提供的五點法熱誤差檢測方法測量主軸各項誤差值?；趯崪y數據驗證本文提出的主軸熱誤差預測模型。實驗結果表明:使用ABC算法優化后的GRNN主軸熱誤差預測模型具有更高的精度和魯棒性。ABC-GRNN模型更適用于確定補償值。

本文對主軸熱誤差補償技術中熱誤差測量、溫度熱敏感點選取和熱誤差建模技術進行了深入研究,為未來熱誤差補償提供了理論基礎。本文主要關注的研究方法為主軸熱誤差預測,后續研究中,我們將依據本文所提出理論進行主軸熱誤差實時補償。以進一步驗證ABC-GRNN模型的可行性。