變截面鋼桁腹混凝土組合梁-鋼腹桿剪應力計算

劉亞琴，楊霞林

（蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅蘭州 730070）

0 引言

鋼桁腹-混凝土組合梁橋采用鋼腹桿取代傳統混凝土箱梁中的混凝土腹板，通過節點與混凝土頂、底板進行有效連接，并形成一個共同受力體系。鋼桁腹-混凝土組合梁示意圖1 所示，因其具有輕巧美觀、通透性好、跨越能力強及能較好改善混凝土腹板易開裂問題等優點，在大跨徑橋梁中具有一定的實用性、經濟性和競爭性[1-2]。對于鋼桁腹-混凝土組合梁橋，國際上已有不少工程實例[3]，國外學者針對該類橋型節點部位在不同連接方式下的受力特性等展開了一系列設計計算及試驗研究工作[4-6]。目前國內關于鋼桁腹-混凝土組合梁的研究主要集中在剪力滯效應[7]、節點受力特性[8]、受彎性能[9]等方面。王彤等[2]人提出了利用抗剪等效的原則將鋼桁腹-混凝土組合梁換算為薄壁箱梁的計算理論，張巖[10]、于小芹[11]等人基于此等效原則展開了對該橋型的撓度計算及扭轉性能研究。

圖1 鋼桁腹-混凝土組合梁示意圖

在等截面鋼桁腹-混凝土組合梁的抗剪計算中，一般認為剪力僅由鋼腹桿承擔[3]；與等截面梁不同的是，變截面梁由于附加剪應力的存在使得應力重分布，導致混凝土板承剪不可忽略[12]。若在分析變截面鋼桁腹-混凝土組合梁的鋼腹桿的剪應力問題時，只考慮由剪力產生的剪應力，這與實際抗力組成存在一定差異，故需要對變截面鋼桁腹-混凝土組合梁的剪應力計算方法進行優化。

本文主要探討鋼腹桿在變截面鋼桁腹-混凝土組合梁中的抗剪性能，鋼腹桿的抗剪能力主要表現為腹桿軸力的豎向分量，由于鋼腹桿為離散桿件，平截面假定不再適用，無法建立適用的微分方程，故首先按照剪切變形一致的原則，將鋼桁腹組合梁轉換為連續體系的等效組合梁[2-3]，考慮混凝土頂、底板參與抗剪，計入軸力、彎矩、梁高等影響因素，基于變截面波形鋼腹板組合箱梁剪應力計算理論[13-15]，在此基礎上，推導變截面鋼桁腹-混凝土組合梁鋼腹桿的剪應力計算公式、鋼腹桿的剪應力沿縱橋向變化規律及剪力分配率；同時結合算例和有限元進行分析，驗證本文計算方法的合理性，為鋼桁腹-混凝土組合梁的設計提供參考依據。

1 等截面梁剪應力計算理論

對于斜鋼腹桿，由于腹桿的不連續性，在進行計算時需根據剪切變形相等的原則，參考文獻[2]的換算方法，將斜鋼腹桿轉換為具有等效厚度的平鋼腹板，假設等效鋼腹板的厚度為te，則：

式中，E為鋼材彈性模量；G為鋼材剪切模量；b、h分別為斜鋼腹桿的水平和豎向投影長度；d為斜鋼腹桿的長度；As為斜鋼腹桿的橫截面積。

1.1 忽略混凝土板承剪的剪應力計算理論

若認為截面剪力僅由鋼腹桿承擔，假設截面剪應力沿梁高方向均勻分布，各個桿件的受力符合小變形假定且均在彈性范圍內，則此時鋼腹桿的豎向剪應力τs計算公式為：

式中，V為截面豎向剪力；Ae為斜鋼腹桿的抗剪面積；n為橫截面上腹板數量；b為鋼腹桿截面總寬度，即b=n?te。

1.2 考慮混凝土板承剪的剪應力計算理論

在結構處于線彈性狀態下，若在等截面梁剪應力計算中，考慮混凝土頂、底板承擔部分剪力，基于材料力學等截面梁剪應力計算公式，則此時斜鋼腹桿的剪應力計算公式為：

式中，S為截面靜矩，計算時忽略鋼腹桿的截面靜距；I為截面抗彎慣性矩，計算時忽略鋼腹桿縱向抗彎慣性矩，

2 變截面梁剪應力計算理論

如圖2 所示，將變截面鋼桁腹-混凝土組合梁橫截面等效為矩形箱梁，取變截面鋼桁腹-混凝土組合梁一個微元段dx進行分析，該微元段示意圖如圖3 所示，該微元段在豎向剪力V、軸力N 及彎矩M 共同作用下，變截面鋼桁腹-混凝土組合梁的剪應力τ為：

圖2 組合梁等效截面

圖3 變截面梁微元段受力

如圖3 所示，微元體處于平衡，以微元段左側截面為研究對象，對右側截面形心點處取矩，可得：

式中，θ為微元段縱截面形心連線與水平線的夾角。

由材料力學公式可得，任意計算截面正應力σ計算公式為：

式中，A為混凝土頂、底板截面面積之和，A=b1t1+b2t2;ys為截面形心距截面上緣的距離。

為計算橫截面任意計算位置處的剪應力τ，選取微元段水平線a-a’以上隔離體作為研究對象，隔離體沿水平方向合力為0，可得：

式中，F x為計算點以上區域內水平力合力，因y≤ys，可將隔離體Fx的作用點取在頂板形心處，則：

根據式（8）—（9），當忽略軸力N 在微元段內的變化，即dN/dx=0，此時等效鋼腹板的剪應力計算公式為：

將式（6）代入式（10），整理得變截面梁剪應力計算一般公式為：

將式（11）與式（6）聯立，即可得到分別由豎向剪力V、軸力N 及彎矩M 產生的剪應力數值。

若式（11）中的微分項和截面傾角均為0，即梁高、底板厚度均不沿梁的跨徑方向變化，則該式就轉換為等截面梁剪應力的計算公式（3）。與計算等截面梁剪應力不同的是，變截面梁剪應力除計算由剪力V 產生的剪應力外，還需考慮軸力N 和彎矩M引起的附加剪應力的疊加，后兩者僅存在于變截面梁的剪應力計算中。本文基于等效組合梁來研究鋼腹桿的剪應力，則剪應力計算點應選取在等效鋼腹板上，即t1＜y≤H?t2，忽略等效鋼腹板截面面積時，其計算點位置應位于混凝土頂板與等效鋼腹板相交處，即y=t1、A1=Aa、S1=Sa，此時式（11）中各微分項表達式為：

根據形心軸的定義，即截面形心軸上下區域對形心軸的靜距在數值上恒等，即S1=S2，所以式（15）可簡化為：

其中：

式中，b1、b2、t1、t2為混凝土頂底板的寬度和厚度；A1為混凝土頂板的截面面積；S1、S2分別為混凝土頂、底板對形心軸的截面靜矩；y x為截面形心距截面下緣的距離；tanα、tanβ分別表示底板厚度和梁高沿梁跨徑方向的變化率。

將式（12）—（17）代入式（11），得到不考慮等效鋼腹板面積時變截面鋼桁腹-混凝土組合梁剪應力計算表達式為：

分析式（19）和式（20），可得到k N＜ 0、k M＜ 0，則可知由軸力和彎矩產生的附加剪應力與剪力產生的剪應力方向相反；對于同一截面尺寸和同一材料的等截面梁和變截面梁，經計算得到的剪應力值變截面梁小于等截面梁。

3 算例驗證

本文結合一座實橋算例驗證，選取變截面鋼桁腹-混凝土組合梁一個邊跨為例，截面尺寸圖如圖4、圖5 所示，該梁頂、底板寬度及厚度均不沿跨徑方向變化，僅梁的高度沿跨徑方向變化，梁底沿跨徑方向呈拋物線變化。主梁為單箱單室截面，頂板和底板寬分別為5.5 m 和3.4 m，懸臂梁端部梁高為2 m，根部梁高為3.5 m，跨徑為29.92 m?；炷另數装宀捎肅50，其中彈性模量和泊松比分別為3.45×104MPa 和0.2；鋼腹桿采用方形鋼管，其中彈性模量和泊松比分別為2.06×105MPa 和0.3。本文在變截面鋼桁腹懸臂梁端部作用一豎向集中荷載P=1 000 kN，分析變截面鋼桁腹-混凝土組合梁鋼腹桿剪應力問題。

圖4 懸臂梁端部和根部橫截面尺寸圖（單位：mm）

圖5 懸臂梁縱截面尺寸圖（單位：mm）

3.1 截面參數計算

為使計算結果精確化，如圖5 所示，本文選取距懸臂梁端部28.52 m、21.62 m、15.12 m、9.12 m、3.12 m 處的5 個橫截面作為計算截面，分別記作A-A′、B-B′、C-C′、D-D′、E-E′截面。

本文為簡化計算，將圖4 所示變截面鋼桁腹組合梁橫截面按以下條件轉換：混凝土頂板厚度取頂板跨中厚度、底板厚度按照等面積換算，按式（1）計算等效鋼腹板的厚度，變截面鋼桁腹-混凝土懸臂梁端部及根部橫截面計算簡圖如圖6 所示。由式（11）可知，該式的實際計算較為繁瑣，因此可先求出計算截面的I、Sa、Aa等其他參數具體值，再計算相鄰截面的對應參數變化率，作為該參數在計算截面的微分值，以此類推，得到計算截面A-A′、B-B′、C-C′、D-D′、E-E′的相關幾何參數，如表1所示。

表1 計算截面主要參數

圖6 懸臂梁端部和根部橫截面計算簡圖（單位：mm）

3.2 鋼腹桿剪應力及承剪比

一般認為，鋼-混組合梁中主要為混凝土板受彎，鋼腹板受剪，但這種忽略混凝土頂、底板承剪能力的設計計算方法偏于保守，故在此計算混凝土板參與抗剪時鋼腹桿的承剪比例。對于變截面鋼桁腹組合梁的鋼腹桿承剪比，可通過下式計算：

式中，Vs為等效鋼腹板或鋼腹桿所承擔的剪力；Vc為混凝土板所承擔的剪力。

根據式（2）計算忽略混凝土板承剪時等效鋼腹板剪應力記作τ1；按照式（3）和式（21）計算考慮混凝土板承剪時等截面梁等效鋼腹板剪應力及承剪比，分別記作τ2、η f1，如表2 所示。

表2 等截面梁等效鋼腹板剪應力及承剪比

按照式（18）和式（21）計算考慮混凝土板承剪時等效鋼腹板剪應力及承剪比，如表3 所示。

表3 考慮混凝土板承剪的變截面梁等效鋼腹板剪應力及承剪比

由表2 和表3 可知，在集中荷載作用下，越靠近懸臂梁根部負彎矩越大，等截面梁與變截面梁等效鋼腹板承剪比相差越大，差值占比約79.75%；對變截面梁來說，懸臂梁端部鋼腹桿承擔約81.48%的剪力，而懸臂梁根部混凝土板承擔約89.10%的剪力，故在變截面鋼桁腹-混凝土組合梁的抗剪計算中混凝土板承剪不可忽略。

4 解析法和有限元對比分析

4.1 有限元模型

為驗證上述理論計算方法的合理性與適用性，利用ANSYS 有限元軟件進行模擬，其中混凝土板采用Solid185 單元，鋼腹桿采用beam188 單元，有限元模型如圖7 所示?；炷梁弯摬木暈槭歉飨蛲圆牧?，在建模時混凝土頂、底板與鋼腹桿的接觸部位采用共節點耦合連接，變截面鋼桁腹-混凝土懸臂梁根部采用固端約束，端部為自由度無約束，在懸臂梁端部施加一豎向集中荷載P=1 000 kN。

圖7 有限元模型示意圖

4.2 對比分析

由表4 分析可知，由于鋼腹桿的不連續性、鋼腹桿的等效方法存在的差異性，導致截面B-B′的計算結果相對誤差較大，其余截面的理論值與有限元值總體上吻合良好，故本文的計算方法具有一定的合理性。

表4 變截面梁鋼腹桿剪應力解析法與有限元法對比

由圖8 和圖9可知：

圖8 鋼腹桿剪應力變化圖

圖9 等效鋼腹板剪應力分配比

1）變截面鋼桁腹-混凝土組合梁在集中荷載作用下，從懸臂梁端部到根部，鋼腹桿的剪應力呈現逐漸減小的趨勢，不同計算方法得到的剪應力變化趨勢基本相同；在計算變截面鋼桁腹-混凝土組合梁的鋼腹桿剪應力時，忽略混凝土板抗剪和變截面效應的影響，會使最終結果產生較大誤差。

2）變截面鋼桁腹-混凝土組合梁鋼腹桿的總剪應力值小于由剪力產生的剪應力值，越靠近懸臂梁根部，彎矩產生的附加剪應力越是逐漸增大，鋼腹桿的剪應力逐漸減小，且根據表3 可知，從懸臂梁端部到根部，鋼腹桿的承剪比例在減小。

5 結論

1）由于鋼腹桿的穩定性較好，因此在等截面鋼桁腹混凝土-組合梁的抗剪計算中，可忽略混凝土頂底板的抗剪能力；變截面鋼桁腹-混凝土組合梁抗剪計算中需考慮由軸力和彎矩產生的附加剪應力，且該部分附加剪應力的方向與由剪力產生的剪應力方向相反。

2）對于變截面鋼桁腹懸臂梁，從梁端部到根部，負彎矩逐漸增大，鋼腹桿的承剪比例逐漸下降；在懸臂梁的根部截面，混凝土板的承剪比例達到最大，表明在設計計算時混凝土板的抗剪作用不可忽略。

3）在變截面鋼桁腹-混凝土組合梁設計時，若忽略頂底板的承剪能力會使得計算結果過于保守，在考慮經濟方面后這種設計方法欠妥，因此在進行精細化設計時應優化設計方法。

4）本文關于變截面鋼桁腹-混凝土組合梁的剪應力計算公式僅考慮了線彈性狀態下的受力階段，在初步設計時具有一定的參考意義，但組合梁構件在實際工作中會存在材料和幾何非線性問題，故仍需在后續設計中進一步研究。