基于知識粗糙熵的快速屬性約簡算法

王小雪 殷鋒 楊雅雯

收稿日期：2023-06-18；修回日期：2023-08-07? 基金項目：國家自然科學基金資助項目（61105061）；國家社會科學基金資助項目-重大招標項目（19ZDA284）；四川省科技資助項目-重點研發項目（2023YFN0026）；四川省教育信息技術研究資助項目（DSJ2022036）；成都市哲學社會科學規劃資助項目（2022BS027）；西南民族大學中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目（2022SZL20）

作者簡介：王小雪（1992—），女（仫佬族），貴州凱里人，碩士研究生，主要研究方向為粗糙集和數據挖掘；殷鋒（1972—），男（侗族）（通信作者），貴州榕江人，教授，碩導，博士，主要研究方向為人工智能和數據挖掘等（yf_eagle@swun.edu.cn）；楊雅雯（2000—），女（回族），山東德州人，碩士研究生，主要研究方向為社會網絡分析和數據挖掘．

摘? 要：針對基于正域的屬性約簡算法在約簡過程中存在重復計算屬性相對重要度從而導致算法效率低的問題，從屬性度量和搜索策略的角度提出基于知識粗糙熵的快速屬性約簡算法。首先，在決策信息系統中通過引入知識距離提出知識粗糙熵以度量知識的粗糙程度；其次，利用知識粗糙熵作為屬性顯著度的評價標準來評估單個屬性的重要程度；最后，利用屬性重要度對所有條件屬性進行排序，且通過屬性依賴度刪除冗余屬性，從而實現快速約簡。在六個公開數據集上將所提算法與其他三種算法在運行效率和分類精度上進行對比實驗。結果表明，該算法的運行效率比其他三種算法分別提高了83.24%，28.77%和59.92%；在三種分類器中，分類精度分別平均提高了0.83%、0.63%和1.37%。因此，所提算法在保證分類性能的同時，能以更快的速度獲得約簡。

關鍵詞：粗糙集；屬性約簡；知識距離；屬性重要度

中圖分類號：TP18??? 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2024）02-025-0488-05

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.06.0258

Fast attribute reduction algorithm based on knowledge rough entropy

Wang Xiaoxue，Yin Feng，Yang Yawen

（School of Computer Science & Engineering，Southwest Minzu University，Chengdu 610041，China）

Abstract：In order to address the problem of low algorithm efficiency caused by repeated calculation of the relative importance of attributes in the attribute reduction algorithm based on positive region，this paper proposed a fast attribute reduction algorithm based on knowledge rough entropy from the perspectives of attribute measurement and search strategy.Firstly，it introduced knowledge rough entropy into decision information systems by incorporating knowledge distance to measure the degree of knowledge roughness.Next，it employed knowledge rough entropy as the criterion for evaluating the significance of attributes，assessing the importance of individual attributes.Finally，it ranked all attributes based on attribute importance，and eliminated redundant attributes through dependency，so as to achieve rapid attribute reduction.The proposed algorithm was compared with other three algorithms in terms of running efficiency and classification accuracy on six publicly available datasets.The results demonstrate that the proposed algorithm improves running efficiency by 83.24%，28.77%，and 59.92% respectively compared to other three algorithms.Among the three classifiers，the classification accuracy increases on average by 0.83%，0.63%，and 1.37% respectively.Therefore，the proposed algorithm is able to achieve attribute reduction more quickly while ensuring classification performance.

Key words：rough set；attribute reduction；knowledge distance；attribute importance

0? 引言

屬性約簡在粗糙集理論中扮演著重要的角色［1］，其主要目標是在保持相同分類能力的前提下刪除不重要的屬性，以優化數據表、提高計算效率和分類性能。該技術已廣泛應用于多個領域，如文本分類［2］、基因數據表達［3］、入侵檢測［4］等。

在粗糙集理論中，屬性約簡通常使用貪心啟發式搜索［5］來獲取約簡。然而隨著數據量的增加，該方法的計算時間也會顯著增加。為解決這一問題，研究者們提出不同改進算法以提高計算效率。Qian等人［6，7］首先提出基于正向近似的快速約簡算法，在迭代過程中通過減少正域中的樣本來加快算法的執行速度。該方法被進一步擴展到不完備有序模糊粗糙集［8］、模糊粗糙集［9］、不完備決策粗糙集［10］和多尺度信息系統［11］的快速屬性約簡算法的研究工作中。在基于正向近似加速搜索策略的基礎上，Shu等人［12］利用區分和不可區分關系度量屬性顯著度，從屬性度量的角度提出一種新的快速屬性約簡方法。盡管前述研究成果在縮減屬性評估時間和提高計算效率方面取得了進展，但相對重要度的計算次數并沒有減少。在屬性約簡過程中，屬性重要度的計算次數是決定運行效率的一個關鍵因素。因此，Liang等人［13］進一步通過減少迭代過程中的樣本和冗余屬性實現快速約簡。該搜索策略被擴展到更復雜的模型，如序信息系統［14］和集值信息系統［15］。前述快速屬性約簡算法主要采用基于樣本的搜索策略，在迭代過程中通過減少樣本的比較次數來提升算法效率。由于他們使用前向選擇策略來獲取最優特征子集，在不斷選擇相對重要屬性的約簡過程中都需要對屬性進行重復排序，當數據規模較大時還是具有較高時間復雜度。所以，本文在前述基于正域的屬性約簡算法的基礎上進行改進，旨在提升屬性約簡的效率。

建立合理有效的屬性評價函數是屬性約簡的核心步驟，其在很大程度上會影響約簡的計算效率、所選屬性子集的分類泛化性能以及算法的搜索策略。為此，學者們提出許多屬性顯著度評價函數，如熵［16～18］、知識粒度［19，20］、距離［21，22］等。而將知識距離［23，24］用于屬性約簡的研究不多，考慮到知識距離可用于刻畫兩個知識空間的差異或相似度，因此利用知識距離來評價屬性的顯著度是一個值得研究的課題。

綜上，本文從屬性度量和搜索策略的角度，提出基于知識粗糙熵的快速屬性約簡算法（fast attribute reduction algorithm based on knowledge rough entropy，FARKRE）。文獻［23，24］首次提出基于鄰域信息粒的知識距離，但不適用于經典粗糙集模型，不具有擴展性。因此，在前期相關工作［25，26］基礎上，本文提出知識粗糙熵用于評價條件屬性的重要程度。由于該方法只需對條件屬性計算一次屬性重要度，且在每次迭代過程中只需要計算一次正域，所以很大程度上可以減少屬性重要度的計算次數，從而提升算法效率。實驗結果表明，FARKRE算法是有效的，尤其是對于大規模數據和高維數據，這為復雜數據的快速屬性約簡算法提供了新途徑。

1? 基于正域的屬性重要度

定義1［6］? 設S=（U，C∪D）為一個決策信息系統，其中U={x1，x2，…，xn}為對象的有限非空論域，C={c1，c2，…，cm}為條件屬性的有限非空集合，D={d}為決策屬性。c∈C存在一個映射c：U→Vc，Vc表示屬性c的值域，則

IND（C）={（x，y）∈U2|c（x）=c（y），c∈C}（1）

［x］C={y∈U|（x，y）∈IND（C）}（2）

U/C={［x］C|x∈U}（3）

其中：IND（C）為等價關系；［x］C為等價類；U/C為論域上的一個劃分。

定義2［6］? 設S=（U，C∪D）為一個決策信息系統，若BC，XU，則上近似和下近似分別定義為

B（X）={x∈U|［x］B∩X≠}（4）

B（X）={x∈U|［x］BX}（5）

其中：正域POSB（X）=B（X）表示根據屬性集B判斷肯定屬于X元素的集合。

定義3［6］? 設S=（U，C∪D）為一個決策信息系統，若BC，則依賴度定義為

rB（D）=|POSB（D）||U|（6）

定義4［6］? 設S=（U，C∪D）為一個決策信息系統，若BC，a∈B，則屬性a關于決策D的內部屬性重要度定義為

Siginner1（a，B，D）=rB（D）-rB-{a}（D）（7）

內部屬性重要度主要用于核屬性的計算。若Siginner1（a，B，D）＞0，則說明屬性a是必要的，且為核屬性。若Siginner1（a，B，D）=0，則說明屬性a不是必要的。

定義5［6］? 設S=（U，C∪D）為一個決策信息系統，若BC，a∈C-B，則屬性a關于決策D的外部屬性重要度定義為

Sigouter1（a，B，D）=rB∪{a}（D）-rB（D）（8）

外部屬性重要度是用于選擇候選屬性的一個指標，它在迭代過程中起著重要的作用。在每次搜索約簡過程中，選擇具有最大外部重要度的屬性，并將其添加到約簡中，直至滿足算法的停止條件。

2? 基于知識粗糙熵的屬性重要度

由于文獻［23，24］所提出的知識距離不適用于傳統粗糙集模型，所以本文在前期基礎上進行改進，提出知識粗糙熵用于度量傳統粗糙集模型中屬性的重要程度。為證明知識粗糙熵作為度量屬性重要度的合理性，分別證明其具有非負性、對稱性和單調性。

屬性約簡的目的是保留劃分能力、逼近能力強的屬性，去除不重要的屬性，知識粗糙熵可以度量知識的粗糙程度和屬性的劃分能力。若屬性的劃分能力越強，則知識就越精細。因此，在搜索約簡的過程中，需要選擇那些使得知識更精細的屬性。

定義6［24］? 設S=（U，C∪D）為一個決策信息系統，若A，BC，U/A={SA（xi）|xi∈U}，U/B={SB（xi）|xi∈U}，則U/A和U/B之間的知識距離定義為

D（U/A，U/B）=1|U|∑|U|i=1|SA（xi）⊕SB（xi）||U|（9）

其中：|SA（xi）⊕SB（xi）|=|SA（xi）∪SB（xi）|-|SA（xi）∩SB（xi）|。D（U/A，U/B）主要用于表示兩個劃分之間的差異性。若D（U/A，U/B）的值越大，說明U/A和U/B之間的差異就越大；反之，就越小。

定義7? 設S=（U，C∪D）為一個決策信息系統，若U/A={A1，A2，…，Am}，σ={x1，x2，…，x|U|}，其中AC，σ=U為論域上最粗的劃分，則U/A的知識粗糙熵定義為

KRE（U/A，σ）=

∑mi=1|Ai∪U|-|Ai∩U||Ai∪U|

|Ai∩U|（10）

若KRE（U/A，σ）的值越小，說明U/A越接近最粗的劃分，即U/A就越粗糙，意味著屬性集A對論域的劃分能力越弱。若KRE（U/A，σ）的值越大，說明U/A越精細，也就意味著屬性集A對論域的劃分能力越強。

定理1? 設S=（U，C∪D）為一個決策信息系統，若AC，U/A={A1，A2，…，Am}，則KRE（U/A，σ）≥0。

證明? 由于|Ai∪U|≥|Ai∩U|，根據式（10），KRE（U/A，σ）≥0成立。

定理2? 設S=（U，C∪D）為一個決策信息系統，若AC，U/A={A1，A2，…，Am}，則KRE（U/A，σ）=KRE（σ，U/A）。

證明? 由于|Ai∪U|=|U∪Ai|，|Ai∩U|=|U∩Ai|，根據式（10），KRE（U/A，σ）=KRE（σ，U/A）成立。

定理3? 設S=（U，C∪D）為一個決策信息系統，若BAC，U/A={A1，A2，…，Am}，U/B={B1，B2，…，Bn}，則KRE（U/A，σ）≥KRE（U/B，σ）。

證明? 由于BA，有U/AU/B。根據已知條件U/B至少存在一個B1可以細分為U/A中的A1和A2。為簡單化，本文假設只有B1可細分為A1和A2，從而有B1=A1∪A2，根據式（10）有

KRE（U/B，σ）-KRE（U/A，σ）=

1|U|（|U|-|B1||U||B1|-|U|-|A1||U||A1|-|U|-|A2||U||A2|）=

1|U|（|U|-|B1||U||B1|-|U|-（|A1|+|A2|）|U|（|A1|+|A2|）-

2|A1||A2||U|）=1|U|（|U|-|B1||U||B1|-|U|-|B1||U||B1|-

2|A1||A2||U|）=1|U|（-2|A1||A2||U|）≤0

根據計算可知，KRE（U/A，σ）≥KRE（U/B，σ）成立。

由定理1～3可知，知識粗糙熵的定義滿足非負性、對稱性和單調性。其性質證明了知識粗糙熵作為屬性重要度評價標準的合理性。

定義8? 設S=（U，C∪D）為一個決策信息系統，若AC，U/A={A1，A2，…，Am}，U/D={D1，D2，…，Dn}，則屬性集A近似決策屬性D的知識粗糙熵定義為

KRE（U/A（D），σ）=1|U|∑ri=1|U|-|Ai||U||Ai|（11）

其中：U/A（D）=U/A∩U/D={A1，A2，…，Ar}。

定義9? 設S=（U，C∪D）為一個決策信息系統，若aC，U/a={A1，A2，…，Am}，U/D={D1，D2，…，Dn}，則屬性a的屬性重要度定義為

Sig2（a，D）=KRE（U/a（D），σ）-KRE（U/a，σ）（12）

其中：Sig2（a，D）表示屬性a的重要度，同時也表征條件屬性的劃分能力和逼近決策的能力。若Sig2（a，D）的值越大，則說明屬性a越不重要，意味著屬性a的劃分能力和逼近決策的能力越弱；若Sig2（a，D）的值越小，則說明屬性a越重要，意味著屬性a的劃分能力和逼近決策的能力越強。

3? 基于知識粗糙熵的快速屬性約簡算法

根據基于知識粗糙熵的屬性重要度定義，本文提出一種基于知識粗糙熵結合依賴度的多度量約束的快速屬性約簡算法。首先，根據基于知識粗糙熵的屬性重要度計算每個條件屬性的重要度；其次，根據重要度大小按照降序對單個條件屬性進行排序；最后，根據保持依賴度不變的思想依次刪除屬性重要度為0的條件屬性。

算法1? 基于知識粗糙熵的快速屬性約簡算法（FARKRE）

輸入：決策信息系統S=（U，C∪D）。

輸出：一個約簡R。

a） 初始化R←。

b）for each a∈C

根據式（12），計算a∈C的屬性重要度Sig2（a，D）。

end for

c）根據Sig2（a，D）值的大小對條件屬性按照降序排序，得到Sort（C）。

d）R←Sort（C）。

e）根據式（6），計算依賴度rR（D）。

f）for each a in Sort（C） do

Siginner1（a，R，D）=rR（D）-rR-{a}（D）；

if Siginner1（a，R，D）=0 then

R←R-{a}；

end if

end for

g）返回R。

在FARKRE算法中，步驟a）初始化的時間復雜度為O（1），步驟b）計算Sig2（a，D）的時間復雜度為O（|U|×|C|），步驟c）和d）的總時間復雜度為O（|U|×log |C|），步驟e）計算屬性依賴度的時間復雜度為O（|U|2），步驟f）利用依賴度作為終止條件來搜索約簡的時間復雜度為O（|U|2×|C|）。經過分析可得到FARKRE算法的時間復雜度為O（|U|2×|C|）。

本文從理論上分析了FARKRE算法的時間復雜度，并與經典的基于正域的屬性約簡算法（forward greedy attribute reduction algorithm，FGAR）［5］、基于正向近似集的加速約簡算法（accelerating reduction approach for IDT using positive approximation set，ARIPA）［10］、基于條件信息熵的屬性約簡算法（algorithm of attribute reduction based on conditional entropy in interval-valued ordered decision table，ARCE）［18］的時間復雜進行比較，如表1所示。

由表1可知，四種算法的時間復雜度一樣。相比之下FARKRE算法的優勢在于以下三點：

a）FARKRE算法采用先對條件屬性重要度進行預評估，再依次刪除冗余屬性的搜索策略。其他三種算法都是以核屬性為初始集合集來搜索約簡，當數據規模較大時，核屬性的計算很耗時。

b）由于FARKRE算法明確了搜索方向，能有效減少迭代過程中屬性重要度的計算次數，所以具有更高的計算效率。

c）約簡結果不僅保持了依賴度不變，還選擇了劃分能力、逼近能力較強的屬性。

例1? 表2為一個關于某些病人的決策信息系統S=（U，C∪D） ，其中U={x1，x2，…，x8}為論域，共有8個病人。C={c1，c2，c3}為3個條件屬性的屬性集，其中c1表示頭痛，c2表示肌肉痛，c3表示體溫；D={d}為單個決策屬性，表示流感。屬性值“Y”“N”“Nor”“H”“VH”分別表示“是”“否”“正?！薄案摺薄昂芨摺?。

根據算法1，約簡的過程如下：

首先，根據式（12）分別計算c1、c2、c3的屬性重要度，得到：

Sig2（c1，D）=0.25，Sig2（c2，D）=0.312 5，Sig2（c3，D）=0.125

其次，根據屬性重要度按照從大到小進行排序，得到R={c2，c1，c3}。

最后，再根據保持依賴度不變的思想，在迭代過程中刪除重要度為0的非必要屬性，保留重要度不為0的必要屬性。

第一次迭代，從R中刪除屬性c2，計算Siginner1（c2，R，D） 得到r{c2，c1，c3}（D）-r{c1，c3}（D）=0，因此刪除屬性c2。

第二次迭代，從R中刪除屬性c1，計算Siginner1（c1，R，D） 得到r{c1，c3}（（D）-r{c3}（D）＞0，因此保留屬性c1。

第三次迭代，從R中刪除屬性c3，計算Siginner1（c3，R，D） 得到r{c1，c3}（D）-r{c1}（D）＞0，因此保留屬性c3。

根據算法1得到一個約簡R={c1，c3}，與其他三種算法所得結果一樣。根據約簡結果可知，在表2的決策信息系統中，“體溫”最重要，其次是“頭痛”，“肌肉痛”是不重要的。也就是說，在根據病人特征（條件屬性）來判斷一個病人是否患流感時，可以不用考慮“肌肉痛”。由此可見，所得約簡結果比較符合實際情況，驗證了本文所提屬性重要度度量方法的合理性和有效性，以及FARKRE算法在實際應用中的可行性。

4? 實驗結果與分析

4.1? 實驗設置

本文從UCI數據集網站下載了六組數據集，并將其用于算法性能的測試，數據詳細信息如表3 所示。實驗所使用環境為64 bit Windows 11系統，處理器為AMD Ryzen 7 6800H，內存為16 GB，軟件為Python 3.9。

FARKRE與FGAR、ARIPA和ARCE算法進行對比，比較分析的評價指標分別是運行時間、約簡長度和分類精度。對比實驗分為三組。

第一組實驗：對比不同算法的運行時間與約簡長度。

第二組實驗：對比不同算法對于樣本規模和消耗時間之間的關系。

第三組實驗：采用十折交叉驗證法，對比不同算法獲得的約簡在支持向量機（support vector machine，SVM）、K-最鄰近（K-nearest-neighbor，KNN）、隨機森林（random forest，RF）三種分類器中的平均分類精度。

4.2? 實驗結果與分析

對于本文實驗結果，時間保留2位小數，平均分類精度保留3位小數，并以加粗的形式表示該結果優于其他算法的結果。

4.2.1? 運行時間和約簡長度對比

四種算法在六組數據集上的運行時間和約簡長度的對比如表4和5所示。根據表4可知，除了在數據集mushroom 上，ARCE 算法的運行時間最短，FARKRE算法在其余五組數據集上的運行時間均低于其他三種算法。在數據維度最大的數據集TUANDROMD上，FGAR、ARIPA和ARCE算法的運行時間為FARKRE算法的7.46倍、1.64倍和2.28倍。在數據規模最大的數據集connect-4上，FGAR、ARIPA和ARCE算法的運行時間為FARKRE算法的6.11倍、1.36倍和2.59倍。在mushroom、letter、shuttle和connect-4這四組數據集上，它們的數據規模呈遞增關系。在這四組數據集中數據規模最小的mushroom上，FARKRE算法運行效率不如ARCE 算法，但當數據規模增大時，FARKRE算法運行效率較ARCE 算法具有明顯優勢。

經計算和分析可知，在這六組數據集上，FARKRE算法運行效率整體優于FGAR、ARIPA和ARCE算法，且FARKRE算法在大規模數據和高維數據上表現更佳。

根據表5可知，在數據集SCADI、mushroom上，ARCE算法獲得更短的約簡。在其他數據集中，四種算法得到的約簡長度一樣。這表明本文算法是可行的，能有效剔除不必要的屬性。

4.2.2? 樣本規模和消耗時間之間關系對比

圖1展示了樣本數量在不斷增加的情況下， FGAR、ARIPA、ARCE和FARKRE四種算法運行時間的變化趨勢。在每個子圖中，橫坐標代表樣本的規模，縱坐標代表運行時間。本文將每個數據集的樣本平均劃分為10等份，并依次添加1份作為測試算法時間消耗的數據集。

根據圖1可知，在樣本規模不斷增大的情況下，算法的執行時間呈現上升趨勢。在圖（a）（b）中可看到，隨著樣本規模的逐漸增加，FARKRE算法運行時間始終低于其他三種算法。在圖（d）（e）中可看到，當樣本規模較小時，ARCE算法的運行時間最短。但當樣本規模逐漸增大時，FARKRE算法的運行時間低于ARCE算法。由此更進一步驗證FARKRE算法在大規模、高維數據上具有一定的優勢。

4.2.3? 分類精度對比

對于FGAR、ARIPA、ARCE和FARKRE算法獲得的約簡結果，通過SVM、KNN和RF三種分類模型對分類精度進行對比，對比結果分別如表6～8所示。

根據表6可知，只有在數據集TUANDROMD和letter上，FARKRE算法在SVM中的分類精度低于FGAR、ARIPA和ARCE算法，在其余數據集上，FARKRE算法的分類精度不低于其他三種算法。在這六組數據集上，FARKRE算法的分類精度比其他三種算法分別提高0.71%、0.71%和1.06%。

由表7可知，在數據集TUANDROMD、mushroom和letter上，FARKRE算法在KNN中的分類精度低于FGAR、ARIPA和ARCE算法，在其余數據集上FARKRE算法的分類精度不低于其他三種算法。在這六組數據集上，FARKRE算法的分類精度比他三種算法分別提高0.46%、0.46%和0.96%。

由表8可知，在數據集Tuandromd上，FARKRE算法在RF中的分類精度低于FGAR和ARIPA算法。在數據集letter上，FARKRE算法的分類精度低于其他三種算法。在其余數據集上FARKRE算法的分類精度不低于其他三種算法。在這六組數據集上，FARKRE算法的分類精度比其他三種算法分別提高1.42%，1.42%和1.28%

根據上述三組實驗結果及分析可知，FARKRE算法不僅在計算效率上優于FGAR、ARIPA和ARCE算法，而且在三種分類器中分類性能的差異也表明其有效性和可行性。

5? 結束語

為提升屬性約簡算法的效率，本文提出知識粗糙熵，并基于此提出一種多度量約束的快速屬性約簡算法——FARKRE算法。該算法在循環搜索約簡過程中減少了對屬性重要度的計算次數，具有更高的計算效率。在數值實驗中，本文使用公開數據集，通過比較FARKRE、FGAR、ARIPA和ARCE四種算法的性能來驗證本文算法的效率和有效性。通過三組實驗的對比結果表明FARKRE算法能有效剔除冗余屬性，且在計算效率和分類精度方面優于其他三種算法。

FARKRE算法雖然在分類性能上優于改進前的算法，但在某些數據集中分類精度較低。因此，在下一步的研究工作中主要分為兩方面。首先，對FARKRE算法進行優化，以獲得更高的分類精度；其次，將知識距離引入其他類型的粗糙集模型中，如區間值、集值等，以更高效率地獲得高分類性能的約簡。

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