機動目標跟蹤的交互多模型泊松多伯努利混合濾波

陳壯壯, 宋驪平

(西安電子科技大學電子工程學院, 陜西 西安 710071)

0 引 言

目標跟蹤技術一直是科學研究的熱點之一,傳統的多目標跟蹤是一種典型的信息融合技術[1]。其通過對雷達、聲納等傳感器獲取的當前目標帶噪聲測量進行處理,進而估計目標的位置、速度、數量等相關狀態信息,并進行下一時刻目標狀態的預測[2-3]。這些跟蹤技術建立在數據關聯的基礎之上,通過目標和量測之間的關聯來實現目標的狀態估計,例如多假設跟蹤(multi-hypothesis tracking, MHT)算法[4],全局最近鄰(global nearest neighbor, GNN)算法[5]和聯合概率數據關聯(joint probabilistic data association, JPDA)算法[6]等。

在20世紀90年代,Mahler將統計學中的數學概念引入到目標跟蹤技術中,提出了隨機有限集統計學理論(finite set statistics, FISST)[7-8],給多目標跟蹤技術帶來了更廣闊的思路。隨后一系列基于隨機有限集(random finite set, RFS)的濾波算法被相繼提出,例如基于一階統計矩近似的概率假設密度[9](probability hypothesis density, PHD)、勢PHD[10](cardinalized PHD, CPHD)和多目標多伯努利[11](multi-target multi-Bernoulli, MeMBer)等濾波算法。文獻[12-13]提出了兩種較為成熟的符合共軛先驗分布的濾波算法,廣義標簽多伯努利(generalized labeled multi-Bernoulli, GLMB)濾波和泊松多伯努利混合(Poisson multi-Bernoulli mixture, PMBM)濾波。其中,與GLMB算法相比,PMBM算法具有更高的計算效率和跟蹤精度[14-15]。該算法將多目標的概率密度分為泊松與多伯努利混合兩個部分,泊松部分表示所有未被檢測到的目標,多伯努利混合部分則用來處理所有的目標狀態與量測之間的數據關聯假設。該濾波器與其他基于隨機集的濾波器相比,顯示出了十分優越的性能[16]。

上述濾波器通常將目標狀態建模為單一的基本運動模型。然而,隨著跟蹤環境的日益復雜,真實場景中目標通常會經歷多種運動狀態,稱為目標機動[17]。單一運動模型已不足以描述其運動狀態。近年來,對機動目標跟蹤算法的研究得到了許多學者的關注。文獻[18]采用最佳高斯擬合的方式,使得交互多模型(interacting multiple model, IMM)方法成功應用在高斯混合實現的PHD濾波器中。文獻[19]對多模型PHD和CPHD進行改進,有效應對了其存在的粒子退化現象。文獻[20-21]將跳變卡爾科夫系統應用于標簽隨機集,提出了適用于機動目標跟蹤的標簽多伯努利(Labeled multi-Bernoulli, LMB)和GLMB算法。文獻[22]在δ-GLMB算法中應用IMM算法,完成了對機動目標的航跡跟蹤。文獻[23]對IMM算法進行改進,提出了時變交互多模型融合目標跟蹤方法。

本文考慮到多機動場景的目標跟蹤需要,提出了一種IMM-PMBM算法。該算法采用IMM方法完成模型間的信息交互,可以有效完成機動目標跟蹤任務[24]。結合PMBM濾波器,所提算法具有較高的跟蹤精度和計算效率。由于IMM方法基于卡爾曼濾波,不能直接應用于非高斯非線性環境中[25]。為了擺脫線性高斯假設的限制,給出了其序貫蒙特卡羅(sequential Monte Carlo, SMC)實現,使所提濾波器可以在非線性環境下工作[26-28]。所提IMM-SMC-PMBM濾波器利用粒子逼近目標狀態的模型條件概率,在模型交互過程中進行重采樣,以減少粒子合并和相互作用的影響。對比實驗表明,所提算法可以有效完成多機動目標跟蹤并具有較高的跟蹤精度。

1 理論基礎

1.1 RFS多目標跟蹤

基于RFS的多目標跟蹤中,通常使用兩個獨立的RFS來建模目標的狀態和量測。假設k時刻存在Nk個目標和Mk個量測,則當前時刻的多目標狀態RFS和量測RFS可分別用如下的Xk和Zk表示:

Xk={xk,1,xk,2,…,xk,Nk}∈F(X)

(1)

Zk={zk,1,zk,2,…,zk,Mk}∈F(Z)

(2)

式中:X和Z表示多目標的狀態空間和量測空間;F(X)和F(Z)分別表示為對應的有限子集。

每一時刻的多目標狀態集可用兩個獨立的部分構成,分別是存活目標狀態集和新生目標狀態集。k-1時刻的每個目標狀態xk-1∈Xk-1可能以概率ps(xk-1)存活并且轉移為下一時刻的新狀態xk,也可能以概率1-ps(xk-1)消失。存活目標的RFS可表示為Sk|k-1(xk-1),新生目標RFS表示為Γk。則k時刻的多目標狀態RFS表示為

(3)

類似的,k時刻獲得的量測集可被分為兩個部分,一部分是目標量測,另一部分則來自于雜波或虛警。對k時刻給定的多目標狀態集Xk,每個目標可能以pd(xk)的檢測概率被檢測,或者以1-pd(xk)的概率漏檢。將此時的目標量測集表示為伯努利RFSDk(x),則此時的量測RFSZk表示為

(4)

式中:Kk表示雜波或虛警RFS。

將上述運動模型和量測模型代入標準貝葉斯濾波方程,當給定k-1時刻的后驗密度πk-1(Xk-1|Z1:k-1),則其預測和更新公式可表示為

πk|k-1(Xk|Z1:k-1)=

(5)

(6)

1.2 IMM算法

IMM算法的示意圖如圖1所示。

圖1 IMM算法示意圖Fig.1 Diagram of IMM algorithm

多機動目標跟蹤場景下,不同時刻的運動狀態可能由多個運動模型描述。濾波結果必須綜合考慮不同模型的狀態輸出[29]。而IMM算法是解決這類問題的有效方法。IMM算法采用多個不同的模型對目標狀態進行建模,在進行狀態估計時每個模型都可能是當前時刻的最優模型。

IMM算法采用循環濾波方法,每個濾波器通過對多個模型進行信息交互從而獲得新的狀態估計和不同模型的模型概率。新的模型概率通過前一時刻的模型概率、模型似然和模型轉移概率計算[30]。

1.3 PMBM濾波器

(7)

式中:fp(Xp)和fmbm(Xmbm)分別表示泊松部分和多伯努利混合部分的概率密度。

(8)

(9)

式中:v(·)是泊松強度;j是全局假設的索引;n表示所有潛在檢測目標的數目;fj,i(X)表示全局假設j下對應潛在檢測目標的伯努利密度;ωj,i是其對應的權重。fj,i(X)計算如下:

(10)

式中:rj,i和pj,i表示單個伯努利分量的存在概率和概率密度。

1.3.1 預測

PMBM濾波器的預測過程可以分為對泊松部分和對多伯努利混合的預測,其中對泊松部分的預測結果如下:

(11)

式中:λk(·)是新生目標的泊松強度;ps(·)表示存活概率;fk|k-1(x|·)是狀態轉移函數;vk-1(·)表示k-1時刻泊松后驗強度。

(12)

(13)

(14)

1.3.2 更新

k時刻PMBM濾波器的更新后驗密度可以表示為

(15)

為了公式的簡潔,式(15)省略了時間索引,式(15)中L(Zp|Xp)和g(Zi|Xi)表示泊松部分和伯努利部分的似然函數。式(15)可以簡寫為

(16)

2 IMM-PMBM

文獻[25]中提出的PMBM濾波器采用高斯混合實現,本文給出其SMC實現,使其可以應用于非線性場景中。引入IMM算法后目標的增廣狀態可表示如下:

(17)

其中,粒子狀態通過

(18)

g(z|x)=N(z;hk(xτ),Rk)

(19)

式中:hk(·)表示量測函數;Rk表示量測噪聲協方差。

下面結合IMM算法,給出所提濾波器的算法流程。所提算法與單模型PMBM濾波器的主要區別在于更新后的模型信息交互步驟,其他預測更新過程與單模型PMBM濾波器類似。

2.1 初始化

2.2 預 測

k-1時刻得到泊松強度表示為

(20)

(21)

(22)

對于存活目標RFS,有:

(23)

(24)

預測多伯努利混合部分的計算如下:

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

2.3 更 新

所提IMM-SMC-PMBM濾波器的更新步分為3個部分,分別是對未檢測到的目標、首次檢測到的目標以及存活目標的更新。

2.3.1 更新泊松部分

假設預測得到的泊松強度為

(30)

則更新后的泊松部分計算如下:

(31)

(32)

2.3.2 更新首次檢測目標

對于量測z,建立新的假設,其參數計算如下:

(33)

(34)

(35)

(36)

2.3.3 更新存活目標

對于每個預測存活目標,首先為其建立漏檢假設:

(37)

(38)

(39)

(40)

每個存活目標會與當前時刻的每個量測進行匹配從而形成新的假設,對于量測z,生成的假設計算如下:

(41)

(42)

(43)

(44)

另外,需要從所有全局假設中選取合適數量的假設來降低計算量,使用Murty算法可以很好地完成這一要求,具體的實現參見文獻[13]。

2.4 修 剪

隨著時間的推移,泊松分量中的粒子數和多伯努利混合中的分量數將大大增加,濾波效率將持續下降。因此,有必要對泊松分量和多伯努利混合分量進行修剪。首先,設置兩個閾值,分別對應泊松分量和伯努利分量。將泊松分量中的權值低于閾值的粒子和多伯努利混合項中權值低于閾值的分量剪去。

2.5 狀態估計

遍歷全局假設并選取權值最大的假設,記為

(45)

然后,遍歷其中所有的伯努利項并選取存在概率大于給定門限的部分,計算其加權和作為最終估計結果。

2.6 交互過程

所提濾波器中的多模型交互過程和標準IMM濾波器類似。對每個模型的輸出進行加權和融合,以提高精度,使結果更符合真實場景。交互過程的具體推導如下。

k-1時刻的后驗密度用粒子可表示為

fk-1(xk-1,τk-1|Z1:k-1)=

(46)

根據最優貝葉斯估計[31],模型τk的概率密度函數表示為

(47)

通過全概率公式可以得到:

(48)

對式(48)兩邊同除以pk(τk|Zk)可得到:

pk(x|τk,Zk)=

(49)

(50)

將式(50)代入式(47)和式(49),可以得到如下結果:

pk(τk|Zk)=

(51)

(52)

由于τk-1∈A,因此式(46)可以改寫為如下形式:

fk-1(xk-1,τk-1|Z1:k-1)=

(53)

對式(53)進行歸一化:

(54)

(55)

類似的,可以通過后驗密度獲得模型概率密度。則得到如下方程:

(56)

(57)

那么,目標的模型條件后驗密度可以計算如下:

fk(xk|τk,Z1:k)=

(58)

則由式(58)可以知道,在不同模型下,可以通過粒子近似后驗概率密度來實現輸入的相互作用和融合。由于粒子濾波會導致粒子合并,降低粒子多樣性,所以重采樣步驟不是在更新之后,而是設置在式(58)的相互作用之后進行。

(59)

則重采樣后最終的目標后驗密度為

(60)

由于新生目標不需要模型轉換過程,輸入交互作用和重采樣只需對存活目標進行。在每個時間步進行重采樣,使每次預測前的粒子數量保持固定。

3 仿真實驗與結果分析

為了驗證本文所提IMM-SMC-PMBM算法在機動和非線性場景下跟蹤的有效性,本節設置了非線性環境下與IMM-SMC-PHD濾波器的對比實驗,采用勢估計和廣義最優子模式分配(generalised optimal sub-pattem assignment, GOSPA)[32]作為性能評價指標。

xk=Fxk-1+wk

(61)

(62)

式中:F表示狀態轉移矩陣;vk表示量測噪聲,其協方差為Rk=diag([0.25π/1 801])。本場景下目標機動模型包含了1個勻速直線(constant velocity, CV)模型和2個轉彎(constant turn, CT)運動模型,分別為

式中:T=1 s表示采樣間隔;ω=9°/s表示目標每秒順時針旋轉9°。F3和F2有著相同的形式,但取ω=-9°/s表示目標逆時針旋轉。wk表示過程噪聲,符合零均值高斯分布,其協方差為

圖2 真實運動軌跡Fig.2 True motion trajectory

目標的真實運動狀態如表1所示,目標的真實運動軌跡如圖2所示,其x和y方向上的真實軌跡和量測如圖3所示。圖3中,藍色星號表示量測,紅色線條表示真實運動軌跡。

表1 目標真實運動狀態Table 1 Targets real motion state

圖3 x和y方向上真實軌跡和量測Fig.3 True trajectories and measurements in x and y directions

模型間的概率轉移矩陣設置為

3個模型的初始概率設置為1/3。

所提IMM-SMC-PMBM濾波器單次蒙特卡羅下的跟蹤結果如圖4所示。圖4中,藍色星號表示雜波,用不同顏色表示出跟蹤的航跡。實驗在100次蒙特卡羅實驗的情況下比較了所提濾波器和IMM-SMC-PHD濾波器的跟蹤性能。同時,為了說明所提濾波器在機動場景下的跟蹤可靠性,給出了不使用IMM方法的PMBM濾波器的跟蹤結果。上述跟蹤的勢估計結果如圖5所示。由于PMBM濾波器綜合考慮了所有數據關聯,對泊松分量和MBM分量分別處理,對概率密度函數的參數進行傳播,而PHD濾波器只傳播多目標概率密度的一階矩。因此,PMBM濾波器比PHD濾波器具有更好的跟蹤性能。從圖5可以看出,單一模型的PMBM濾波器難以跟蹤機動目標。與單模型PMBM濾波器相比,所提出的IMM-SMC-PMBM濾波器具有更好的跟蹤性能。

圖4 跟蹤結果Fig.4 Tracking results

圖5 勢估計Fig.5 Cardinality estimates

檢測概率為pd=0.98時的GOSPA誤差及其分解誤差如圖6所示,包括位置誤差(location error, LE),漏檢誤差(miss target error, MTE)和誤檢誤差(false target eror, FTE)。仿真結果表明,IMM-SMC-PMBM濾波器對比IMM-SMC-PHD濾波器具有更優異的跟蹤性能,特別是在GOSPA誤差和誤檢誤差方面。注意到,FTE在時間步36和46處變大,這是由于PMBM濾波器采用了多假設的思想來跟蹤,當目標消失時,包含單一目標假設的權值不會立即改變,存在延遲的情況。對比實驗也顯示了所提算法比單模型PMBM濾波器有更好的跟蹤性能。本文還進一步研究了所提濾波器在較低檢測概率情形下的穩定性,實驗結果如表2所示。結果表明,所提濾波器表現良好并且在低檢測概率時具有更好的魯棒性。而IMM-SMC-PHD濾波器在低檢測概率情況下誤差較大,有可能無法有效完成跟蹤任務。

圖6 pd=0.98時誤差比較Fig.6 Comparisons of errors under pd=0.98

表2 不同檢測概率下的平均誤差Table 2 Average errors under different detection probabilities

圖7給出了所提濾波器在濾波過程中的模型概率演化過程。注意到,模型信息交互對泊松和多伯努利混合部分都進行,但是由于泊松部分代表尚未檢測到的目標。因此,只通過多伯努利混合部分計算模型概率。模型概率通過計算帶有最高權重的假設獲得。結果表明在跟蹤過程中,IMM方法的模型概率變化符合表1所展示的真實場景,使得IMM方法可以動態的適應目標運動。因此,所提濾波器在目標運動符合多個不同模型時均有較好的表現。

圖7 模型概率演化Fig.7 Model probabilities evolutions

4 結束語

本文提出了一種IMM-SMC-PMBM濾波算法?？紤]到多個模型間的信息交互,在PMBM濾波器中采用IMM算法跟蹤多機動目標,同時對所提濾波器給出其序貫SMC實現,使得算法可以較好地適應非線性環境。仿真實驗結果表明,所提IMM-SMC-PMBM濾波器相比IMM-SMC-PHD濾波器有更好的跟蹤性能。所提濾波器在GOSPA誤差和勢估計方面表現良好,并且在檢測概率較低的情形下具有更好的濾波穩定性。未來的研究將考慮機動目標的擴展形狀,實現多機動擴展目標跟蹤。