畢達哥拉斯猶豫模糊集多屬性決策研究

關 欣, 劉 贏

(海軍航空大學, 山東 煙臺 264000)

0 引 言

在模糊信息的多屬性決策問題中,眾多學者一直致力于模糊集[1]的改進和推廣。其中,針對模糊集僅考慮隸屬度這一缺陷,Atanassov提出的直覺模糊集(intuitionistic fuzzy set, IFS)[2],通過增加非隸屬度和猶豫度的概念,對模糊集進行了拓展,使其能夠更完整地描述模糊信息。但IFS的隸屬度與非隸屬度的和不超過1的約束條件在實際應用時常常不能夠滿足,使得IFS存在諸多應用場景的限制。在此基礎上,Yager等提出了畢達哥拉斯模糊集(Pythagorean fuzzy set, PFS)[3-4],使其能描述隸屬度和非隸屬度之和超過1,而平方和不超過1的模糊現象, 拓展了應用范圍。PFS雖然改善了IFS的約束條件,但其本質上仍無法對群體決策中專家的不同評價進行合理的描述。為此,在猶豫模糊集[5]的基礎上,劉衛鋒等[6]給出了畢達哥拉斯猶豫模糊集(Pythagorean hesitation fuzzy set, PHFS)的相關定義,其約束條件與畢達哥拉斯模糊集一致,描述方法與猶豫模糊集類似,是PFS的一種有效的改進形式。

自PHFS提出以來,眾多學者已經取得了豐富的研究成果。其中,劉衛鋒等[7]定義了PHFS的信息能量、相關指標以及相關系數,并對其性質進行了證明。Wei等[8-10]研究了一系列PHFS平均算子與集成算子。Liang等[11]對畢達哥拉斯猶豫模糊數(Pythagorean hesitation fuzzy element, PHFE)的距離測度進行了研究分析,并應用于多屬性決策問題。常娟等[12]在傳統PHFE距離測度基礎上,提出了廣義PHFS混合加權距離測度。與文獻[6]中所提出的PHFS不同,Muhammad等[13]也提出了一種PHFS,可以理解為IFS在PFS環境中的一種推廣。Wu等[14]提出了多種形式的PHFS距離測度,并在畢達哥拉斯模糊環境下,提出了一種擴展多準則妥協解排序法(vise kriterijumski optimizacioni racun, VIKOR)的多屬性群決策方法。Akram[15-16]又先后將消去與選擇轉換法(elimination and choice translating reality, ELECTRE)-II和ELECTRE-I方法應用于畢達哥拉斯猶豫模糊環境下的多屬性決策問題,如風險評估、電子商務決策方案評估以及人力資源設施安全評估等。

可見,PHFS的理論成果已日趨豐富,但上述研究多偏重多屬性決策應用,對PHFS基本性質的改進涉及較少,尤其是得分函數、距離測度以及規范化方法等,如現有得分函數[6]存在某些特殊情形下可能會失效的情況?，F有PHFE距離測度要求集合中的元素個數相等,需要進行規范化處理,而現有規范化方法多根據某種風險規則重復添加數值最大或者最小的元素[7,15-16],這改變了原本的數據信息,造成了人為誤差的引入,因此對得分函數以及規范化方法的進一步研究是十分必要的。

常見的多屬性決策方法有逼近理想解排序法(technique for order preference by similarity to ideal solution, TOPSIS)方法[11]、VIKOR方法[17]以及交互式多準則決策(interative multi-criteria decision-making, TODIM)方法[18],其中TOPSIS方法以及VIKOR方法是建立在決策者完全理性的前提下。而在實際應用中,參與決策的人員往往會表現出有限理性的心理特征行為,如對收益和損失的偏好不同等等,因此需要采用更符合決策思維習慣的決策方法。目前的主流方法是結合前景理論的特點,對傳統決策方法進行拓展[19-21]。與之相比,TODIM方法本身便基于前景理論考慮決策者心理行為,且無需事先確定參考點,通過引入一個多準則值函數來計算各個方案的優勢度,該函數考慮每個決策者的損失偏好,相比傳統VIKOR與TOPSIS方法,評估更加客觀和準確。

但傳統TODIM方法多是假定屬性間相互獨立,現有畢達哥拉斯猶豫模糊環境下的多屬性決策研究[11-16]也多是在屬性間相互獨立的前提下進行的。而在現實決策中,由于問題的復雜性以及決策者認知的局限性,屬性間往往是相互關聯的,屬性間的關聯關系會對決策結果產生重大影響。Choquet積分[22]與模糊測度為屬性間具有相互關聯關系的決策問題提供了強有力的工具。相關學者在其基礎上,已經探討了區間模糊集[23]以及猶豫模糊集[24]等環境下屬性關聯的多屬性決策問題,因此研究畢達哥拉斯猶豫模糊環境下屬性關聯的多屬性決策問題是十分必要的。

基于以上,本文的主要工作總結如下:① 針對現有得分函數存在的問題, 考慮PHFE的猶豫度,并結合從眾心理,提出了一種新的得分函數;② 針對現有PHFS規范化方法人為引入誤差等不足,提出一種最小公倍數規范化原則;③ 針對屬性關聯的多屬性決策問題,基于λ-模糊測度和Choquet積分,改進了傳統TODIM方法,并推廣至畢達哥拉斯猶豫模糊環境中。

文章首先介紹了PHFS的基本概念,其次分析了現有的得分函數以及規范化方法的缺陷,隨后基于從眾心理提出了改進的得分函數與最小公倍數規范化原則,然后基于λ-模糊測度和Choquet積分對TODIM方法進行拓展,并結合改進的得分函數與距離測度,提出了改進的TODIM多屬性決策方法,最后通過實例分析驗證了本文算法的有效性。

1 相關概念

本節主要介紹PHFS及距離測度的相關概念。

1.1 PHFS

為方便起見,下文將PHFE記為α=〈Γα,Ψα〉。

關于PHFE的猶豫度的定義,不同文獻之間存在一定的爭議,如劉衛鋒、Muhammad等[6-7,12-13]將猶豫度以集合的形式表示:

(1)

而Liang、Akram等[11,15-16]則與精確函數相聯系,將猶豫度定義為

(2)

由于猶豫度表征的是決策者不確定的程度,而隸屬度與非隸屬度均為決策者所確定的信息,精確函數表征的也是決策者的確定信息。因此,本文傾向于采用式(2)的定義,即猶豫度應與精確函數相關聯,相比式(1)既有更為明確的物理意義,也減少了計算量。

1.2 PHFE距離測度

文獻[13]結合隸屬度和非隸屬度給出了一種PHFE間的距離測度,具體定義如下。

給定PHFEα=〈Γα,Ψα〉和β=〈Γβ,Ψβ〉,假設各集合元素基數均相等,即k1=|ΓΘ|,k2=|ΨΘ|,Θ={α,β}。則PHFEα和β的距離定義為

d1(α,β)=

(3)

式中:σ(i)表示集合中第i大的元素。

在此基礎上,文獻[11]通過添加猶豫度,定義了一種改進的PHFE距離測度,具體定義如下。

給定兩PHFEα=〈Γα,Ψα〉和β=〈Γβ,Ψβ〉,假設各集合元素基數均相等,則PHFEα和β的距離定義為

(4)

式中:猶豫度πα、πβ根據式(2)計算求得。

2 改進PHFE得分函數

2.1 現有得分函數分析

假設α=〈Γα,Ψα〉為一PHFE,劉衛峰等[6]將PHFE的得分函數定義為

(5)

式中:|Γa|,|Ψa|分別表示Γα,Ψα中的元素基數,且sa∈[-1,1],sa數值越大,則α越大。

并且根據得分函數定義了如下比較法則:

設α=〈Γα,Ψα〉,β=〈Γβ,Ψβ〉,有

(1) 若sa>sβ,則a>β;

(2) 若sa=sβ,則a=β;

(3) 若sa

為此,Liang等[11]定義了PHFE的精確函數,假設α=〈Γα,Ψα〉為一個PHFE,則α的精確函數定義為

(6)

分析上述得分函數與精確函數,二者主要存在以下缺陷:① 僅僅通過得分函數,并不能很好地處理PHFE的比較問題,盡管隨著精確函數的提出這一情況得到了改善,但同時也增加了計算成本;② 現有得分函數與精確函數都是對隸屬度與非隸屬度進行分析,沒有將猶豫度納入計算中,從而沒有完全利用PHFE包含的信息,這在一定程度上導致了信息的損失。

基于以上,本文將提出一種改進的得分函數。

2.2 改進的得分函數

文獻[25]引入了從眾心理的概念,該理論表明猶豫中的決策者并不完全中立,其會受到隸屬度和非隸屬度的影響,當隸屬度大于非隸屬度時,猶豫中的決策者會傾向于偏向支持,對得分函數起到正向作用;當隸屬度小于非隸屬度時,猶豫中的決策者會傾向于偏向反對,并反向作用于得分函數。同時,決策者總是希望最優方案中的支持度越高, 反對度越低,猶豫度(即不確定性)越低越好。因此,本節基于從眾心理這一思想,通過考慮猶豫度對決策的影響,提出一種改進的得分函數,具體定義如下。

定義 1假設α=〈Γα,Ψα〉為一PHFE,其中lα=|Γa|,mα=|Ψa|,分別表示集合Γα,Ψα的元素基數,新的得分函數定義為

(7)

深入分析本文新的得分函數,給出以下若干定理。

證畢

定理 2假設α=〈Γα,Ψα〉為一PHFE,其得分函數滿足:

(1)spro(α)∈[-2,2];

(2) 當且僅當α=[{1},{0},0]時,有spro(α)=2;當且僅當α=[{0},{1},0]時,有spro(α)=-2。

證明由定理1中得分函數的單調性可知,

證畢

證畢

定理1說明了隸屬度越大,得分函數越大,非隸屬度越大,得分函數越小;定理2根據其單調性分析了其取值邊界。定理1～定理3描述了新得分函數所具有的性質,證明其不僅保留了文獻[6]中得分函數具有的優勢,還彌補了未考慮猶豫度所帶來的不足。

分析表明,當無法區分兩PHFE的大小時,相比文獻[6]的得分函數,需要通過計算精確函數才能得出比較結果,本節所提出的得分函數可以直接得出比較結果,不需要二次比較,在一定程度上簡化了計算過程。

3 最小公倍數拓展規范化原則

3.1 現有規范化方法

由第1.2節分析可知,現有PHFE距離測度均要求隸屬度和非隸屬度集合的元素個數一致,為了便于PHFE間的比較,文獻[7,15-16]等給出了一種規范化方法,具體步驟如下。

(1) 當γ=1時,補充元素分別為μ+和v+,此時,決策者為樂觀決策者;

(2) 當γ=0.5時,補充元素分別為(μ++μ-)/2和(v++v-)/2,此時決策者為中立決策者;

(3) 當γ=0時,補充元素分別為μ-和v-,此時決策者為悲觀決策者。

下面通過一個例子對規范化過程進行說明。

例1假設α1=[{0.4,0.5,0.54},{0.7,0.8}]和α2=[{0.45,0.5},{0.55,0.67,0.78}]為兩PHFE,其規范化后的結果如下:

根據式(5)和式(6)計算上述規范化后的PHFE的得分函數與精確函數。分析可知,上述規范化過程改變了PHFE原本的數據信息,人為地引入了誤差,從而影響最終的決策結果,因此需要對現有的規范化方法進行改進。

3.2 最小公倍數拓展規范化原則

由于現有的規范化方法在決策者偏好參數的影響下容易引入人為誤差,本節在文獻[26]的啟發下,提出一種最小公倍數拓展(least common multiple expansion, LCME)規范化方法。

定義 2假設α=〈Γ,Ψ〉為一PHFE,其中隸屬度集合Γ={μ1,μ2,…,μl}的元素個數為l,則定義Γ的r倍集合為Γr:

(8)

即Γ中的元素重復次數為r,非隸屬度的處理方法同樣,此處不再贅述。

定義 3假設α=〈Γ,Ψ〉為一PHFE,其中,隸屬度集合Γ={μ1,μ2,…,μl}的元素個數為l,非隸屬度集合Ψ={v1,v2,…,vm}的元素個數為m,則定義αr1,r2為

αr1,r2=<Γr1,Ψr2>=

(9)

即規范化后的PHFEαr1,r2中隸屬度集合中元素重復次數為r1,非隸屬度集合中元素的重復次數為r2,LCME規范化原則的關鍵就在于重復次數r1和r2的確定,實際規范化的實現過程通過以下例子進行說明。

例2假設α1=〈{0.4,0.5,0.6},{0.3,0.4}〉和α2=〈{0.2,0.3},{0.4,0.5,0.6,0.7}〉為兩PHFE,則α1中隸屬度集合元素個數為3,非隸屬度集合元素個數為2,α2中隸屬度集合元素個數為2,非隸屬度集合元素個數為4。容易得到,α1與α2隸屬度集合元素個數的最小公倍數為6,非隸屬度集合元素個數的最小公倍數為4。因此,α1的隸屬度集合中各元素需重復2次,非隸屬度集合中各元素需重復3次,α2的隸屬度集合中各元素需重復2次,非隸屬度集合中各元素需重復1次。最終得到規范化后的結果如下:

α1=〈{0.4,0.4,0.5,0.5,0.6,0.6},{0.3,0.3,0.4,0.4}〉

α2=〈{0.2,0.2,0.2,0.3,0.3,0.3},{0.4,0.5,0.6,0.7}〉

下面給出LCME規范化方法的性質不變定理。

定理 4假設α和αr1,r2分別為一PHFE及其對應的規范化PHFE,則其得分函數相等。

根據式(8)中本文得分函數的定義可知:

spro(αr1,r2)

證畢

定理4表明,利用LCME原理,PHFE的得分函數保持不變,對應的隸屬度與非隸屬度集合的均值保持不變,相應的PHFE之間的相對大小也保持不變。換言之,PHFE可以保持信息質量,根據LCME原則規范化后不會丟失數據原本的信息。

因此,本文定義PHFE之間的距離測度為在LCME規范化原則的基礎上,根據式(4)的距離測度方法進行求解。

4 屬性關聯下的改進TODIM方法

本節針對屬性關聯條件下的PHFS多屬性決策問題,基于λ-模糊測度與Choquet積分,在改進得分函數與LCME規范化原則的基礎上,提出一種改進的TODIM方法。

4.1 λ-模糊測度和Choquet積分

設論域為X={x1,x2,…,xn},P(X)為X上的冪集,則X上的模糊測度[27]定義為一個集合函數μ:P(X)→[0,1],其中μ應滿足以下兩個公理性條件:

(1)μ(φ)=0,μ(X)=0;

(2) ?A,B∈P(X),如果A?B,則μ(A)≤μ(B)。

其中,λ-模糊測度為一類特殊的模糊測度,其滿足以下附加條件[28]:

μ(A∪B)=μ(A)+μ(B)+λμ(A)μ(B)

其中,對于?A,B∈P(X)且A∩B∈φ,λ滿足-1≤λ≤∞。

λ-模糊測度常用于描述集合之間的相互關系。當λ=0時,μ(A∪B)=μ(A)+μ(B),A、B之間不存在相互作用;當λ∈(-1,0)時,μ(A∪B)<μ(A)+μ(B),A、B之間存在冗余關系;當λ>0時,μ(A∪B)>μ(A)+μ(B),A、B之間存在互補作用。

(10)

式中:xi∩xj=φ,i,j=1,2,…,n,且i≠j。

λ的數值可以由μ(X)=1唯一確定,即式(10)可以變形為

(11)

Choquet積分是一種對模糊數據進行非線性集結的工具,允許測度交互作用的存在。

設f為論域X={x1,x2,…,xn}上的非負函數,μ為論域X上的一模糊測度,則X上關于μ的離散Choquet積分[29]定義為

CIμ(f(x1),f(x2)…f(xn))=

(12)

式中:σ(i)表示第i大的排列順序;f(xσ(i))滿足0≤f(xσ(1))≤f(xσ(2))≤…≤f(xσ(n)),且Aσ(j)={xσ(j),xσ(j+1)…xσ(n)},Aσ(n+1)=φ,f(xσ(0))=0。

4.2 改進的TODIM方法

假設有M個備選方案X={x1,x2,…,xM},N種屬性C={c1,c2,…,cN},現有一組專家對備選方案進行評估,由于專家存在不一致的情況,評估結果采用PHFE的形式表示。假設屬性不是相互獨立的,即屬性間相互關聯。采用λ-模糊測度和Choquet積分進行屬性之間的交互建模,具體步驟如下。

令本文問題中屬性集的權重向量為W=[ω1,ω2,…,ωN]T=[μ(c1),μ(c2),…,μ(cN)]T。其中,ωj=μ(cj)表征屬性cj的權重,滿足0<μ(cj)<1。根據第4.1節的描述,對于屬性cj、cp,j,p∈N,可能存在以下3種關系。

(1) 無相互關系:μ(cj∪cp)=μ(cj)+μ(cp);

(2) 冗余關系:μ(cj∪cp)<μ(cj)+μ(cp);

(3) 互補關系:μ(cj∪cp)>μ(cj)+μ(cp)。

則改進的TODIM方法的決策步驟具體描述如下。

步驟 1獲取PHFE決策矩陣A=[αij]M×N,其中αij表示備選方案xi在屬性cj下的PHFE評估值。

步驟 2根據德爾菲法,邀請專家進行評估,得到屬性權重W=[ω1,ω2,…,ωN]T。

(13)

步驟 4計算屬性組合的重要度。

容易分析得到,屬性集C={c1,c2,…,cN}共有2N種屬性組合集,通過λ-模糊測度來表示屬性組合的重要程度。設U為任意屬性組合,μ(U)為U的重要度。計算U的重要度,需要首先確定參數λ:

(14)

則計算得到屬性組合U的重要度如下:

(15)

式中:P(C)為C上的冪集。

步驟 5計算各方案的感知優勢度。

并根據μ(Uσ(j))-μ(Uσ(j+1))計算得到屬性cj的加性權重,其中μ(Uσ(j))表示屬性組合Uσ(j)的重要度,Uσ(j)={cσ(j),cσ(j+1),…,cσ(N)}。

分別計算備選方案xi相對于xk的正、負感知優勢度φ(xi,xk)-和φ(xi,xk)+:

式中:θ為衰退損失參數,θ越小,表明決策者規避損失的可能性越大。

則xi相對于xk的感知優勢度φ(xi,xk)為

φ(xi,xk)=φ(xi,xk)-+φ(xi,xk)+

(18)

步驟 6計算各方案的總體優勢度。

(19)

步驟 7歸一化總體優勢度,得到各方案的全局比較值。

(20)

步驟 8根據全局比較值對各方案進行排序,判定全局比較值最大的方案為最優方案。

則改進TODIM方法具體流程如圖1所示。

圖1 方法應用流程框架Fig.1 Method application process framework

5 算例分析

5.1 應用計算

為了便于比較,本文采用文獻[12]中的算例進行仿真分析。

近年來,電商業務得到迅猛發展,物流在其中扮演著十分重要的角色,并承擔著較高的支出比例,因此電商業務的發展好壞與物流公司關系緊密?，F有某公司因電商業務拓展,需要從{A1,A2,A3,A4}4個備選物流公司中選出合適的公司。各領域專家分別從經營現狀C1、電子化程度C2、設備質量C3、管理水平C4這4個方面進行評估。評估信息用PHFE表示。如每位專家分別用[0,1]區間上的數字對公司A2設備質量C3的滿意度和不滿意度進行評估。由于不同專家受教育水平與專業領域不同,因此存在不一致的意見,得到最終的滿意度為0.3和0.4,不滿意度為0.7和0.8,即A2在C3下的評估信息表示為α23=〈{0.3,0.4},{0.7,0.8}〉。類似地,可以確定其他評估值αij,具體評估信息如表1所示。

表1 PHFE評估信息矩陣Table 1 PHFE evaluation information matrix

步驟 1獲取PHFE決策矩陣A=[αij]M×N如表1所示。

步驟 2根據德爾菲法,邀請多名專家進行打分,得到屬性權重為W=[0.7,0.6,0.5,0.6]T。

步驟 4計算屬性組合的重要度。

首先確定參數λ,計算公式如下:

λ+1=(1+0.7λ)(1+0.6λ)(1+0.5λ)(1+0.6λ),

-1<λ<∞;λ≠0

計算得到λ=-0.971 5。

根據以上計算各屬性組合U的重要度,計算結果如表2所示。

表2 屬性組合的重要度Table 2 Importance of each attribute combination

步驟 5計算各方案的感知優勢度。

令衰退損失參數θ=1,根據式(16)～式(19)計算方案的感知優勢度矩陣,可得

步驟 6計算各方案的總體優勢度。

步驟 7歸一化總體優勢度,得到各方案的全局比較值。

步驟 8根據全局比較值對各方案進行排序,得到A1>A3>A4>A2,判定方案A1為最優方案。

判決結果與文獻[12]中采用廣義混合加權距離測度的結果一致,證明了本文算法的有效性。

5.2 敏感性分析

(1) 衰退損失參數θ敏感性分析

衰退損失參數體現了決策者規避損失的心理偏好,其取值會對決策結果產生影響,因此有必要對其敏感性進行分析。設置θ不斷遞增,分別取值0.5,1,2,…,10,計算各方案的全局比較值變化情況,計算結果如圖2所示。

圖2 全局比較值隨衰退損失參數θ的變化圖Fig.2 Graph of global comparison value changing with decay loss parameter θ

由圖2可知,隨著衰退損失參數不斷增大,各方案的排序結果有所不同:① 當0.5≤θ≤4時,排序結果均為A1>A3>A4>A2,當θ>4時,排序結果為A1>A3>A4>A2,θ的取值對排序結果產生了影響;② 隨著θ的增大,方案A4的全局比較值增幅最為明顯,表明決策者越傾向于接受風險,A4的總體優勢度就越大,在實際決策中,就越容易得到決策者的認同;③ 在所有排序中,A1始終為最優選擇,A2始終為最差選擇,這與表1中A1、A2各屬性值得分函數的整體情況一致。

分析表明本文算法對衰退損失參數具有一定的敏感性,在實際應用中,需根據決策者風險偏好及決策需求確定衰退損失參數的取值。

(2) 屬性權重敏感性分析

本節對屬性權重進行敏感性分析。首先,將第5.1節中的權重作為參考權重。在此基礎上,各屬性權重分別降低30%、20%、10%,以及提高10%、20%、30%。計算不同屬性權重下各方案的全局比較值,計算結果如圖3～圖6所示。

圖3 全局比較值隨屬性C1的變化圖Fig.3 Graph of global comparison value changing with attribute C1

圖4 全局比較值隨屬性C2的變化圖Fig.4 Graph of global comparison value changing with attribute C2

圖5 全局比較值隨屬性C3的變化圖Fig.5 Graph of global comparison value changing with attribute C3

圖6 全局比較值隨屬性C4的變化圖Fig.6 Graph of global comparison value changing with attribute C4

圖3～圖6分別為全局比較值隨4種屬性權重的變化情況。分析可知:隨著C1權重不斷增大,A3的全局比較值逐漸增大,A4的全局比較值逐漸減小,當屬性值變化范圍為參考權重的-5%時,排序情況由A1>A4>A3>A2變為A1>A3>A4>A2;隨著C2權重不斷增大,整體的變化趨勢與C1類似,此處不再贅述;隨著C3權重不斷增大,A4的全局比較值逐漸增大,A3的全局比較值逐漸減小,當屬性值變化范圍為參考權重的+5%時,排序情況由A1>A3>A4>A2變為A1>A4>A3>A2;隨著C4權重不斷增大,各方案始終保持A1>A3>A4>A2的排序結果,且A3、A4的全局比較值呈現逐漸減小的趨勢,兩者的差距也在不斷縮小。

由上述分析可知,各方案整體的排序結果是一致的,即A1、A2始終為最佳和最差選擇,僅A3、A4的相對優勢度會隨著權重的變化而有所不同,這驗證了本文擴展TODIM方法的合理性,且具有良好的穩定性。

5.3 不同算法比較分析

為了反映本文所提算法的有效性,本節將其與傳統TODIM方法和TOPSIS方法進行比較。傳統TODIM和TOPSIS方法中,屬性間是相互獨立的,不存在關聯關系,屬性權重采用熵權法[12]計算得到,TOPSIS方法中分別采用加權距離測度DPHFWA、有序加權距離測度DPHFOWA和混合加權距離測度DGPHFHWA(λ=0.2)3種測度進行計算,比較結果如表3所示。由表3可知,除采用DPHFWA距離測度方法外,大部分方法都表明方案A1為最佳選擇,這驗證了本文算法的有效性和可靠性。然而,本文改進的TODIM方法與TOPSIS方法的結論仍然存在一定的差異,如采用DPHFWA測度的TOPSIS方法判定A3為最佳方案,方案A1的排名僅優于方案A2,采用DPHFOWA測度的TOPSIS方法判定方案A4>A3。其原因有兩點,一是該方法假設決策過程是絕對理性的,未能考慮決策者的有限理性行為,二是該方法未考慮屬性間的相互關聯問題。與傳統的TODIM方法相比,雖然最終的判決結果整體上相同,但傳統的TODIM方法仍然存在不足,雖然二者都考慮了決策模型的風險偏好,但傳統TODIM方法并未考慮屬性間的關聯問題,本文的改進算法通過λ-模糊測度與Choquet積分很好地解決了這一問題。

表3 不同決策方法的結果對比Table 3 Comparison of different decision-making methods result

6 結束語

本文研究了屬性關聯下PHFS的多屬性決策問題,主要貢獻如下:① 針對現有得分函數存在的缺陷,將猶豫度納入計算中來,提出一種改進的得分函數,同時證明了其相關定理與性質;② 針對距離測度要求元素個數相等,而現有規范化方法容易引入誤差的缺點,提出一種最小公倍數規范化方法,保留了模糊數據原有的信息;③ 基于λ-模糊測度與Choquet積分,對傳統TODIM方法進行拓展,提出一種改進TODIM決策方法,既解決了屬性關聯的問題,又通過前景理論將決策者的心理行為特征反映了出來,克服了現有大多數方法忽略決策者主觀價值感受的缺陷。下一步將重點研究如何在不進行規范化處理的前提下,計算PHFE間的距離,以及如何更科學合理地確定屬性權重。