基于微分平坦的高超聲速飛行器跟蹤控制方法

趙昱宇, 索 超, 王雨瀟

(中國民航大學電子信息與自動化學院, 天津 300300)

0 引 言

然而,高超聲速飛行器模型具有強不確定性,反饋線性化等方法的過度模型依賴會導致系統魯棒性下降。自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)利用擴張狀態觀測器(extended state observer,ESO)估計系統總擾動,并利用非線性反饋控制律進行擾動補償。由于其弱模型依賴、魯棒性強等特點,ADRC在不確定系統的控制設計中得到了廣泛的應用[11]。文獻[11]利用ADRC的無模型信息特性提高了分布式電源逆變器的魯棒性。文獻[12]將反步法結合ADRC實現了不確定分數階系統的跟蹤控制。特別地,針對飛行器控制問題,文獻[13]提出一種改進ADRC控制方法,實現了小型無人直升機姿態控制。進一步地,文獻[14]對ADRC方法進行了性能分析,通過提出疲勞度的概念驗證了ADRC的性能優越性。文獻[15]在ADRC基礎上應用了前饋控制,實現了飛行器高度的快速調節,其中所提出的穩定裕度測試子對于ADRC頻域穩定性分析具有較大的理論指導意義,可以實現參數的快速整定。但在高超聲速飛行器的軌跡跟蹤控制問題中,系統階數較高,需要使用高階ESO來觀測系統狀態或構建串級ADRC來分別實現內外環控制[16-17],其控制性能與廣泛應用的二階ADRC姿控系統具有一定的差距。此外,高超聲速飛行器飛行走廊較為狹窄,需要在控制過程中考慮狀態和控制輸入等多約束問題[18],飛行狀態的越界可能帶來系統失穩或發動機熄火等問題[19]。因此,需要一種綜合控制方法來實現多約束下的高超聲速飛行器穩定軌跡跟蹤。

微分平坦[20]在處理非線性系統問題上具有計算量小、計算效率高等特點[21-22]。由于微分平坦可以實現狀態和控制輸入到平坦輸出的映射,因此在處理帶有狀態約束等控制和規劃問題上具有優勢。文獻[23]基于微分平坦理論,結合樣條函數等參數化平坦輸出,實現姿態機動可行路徑的快速規劃。文獻[24]采用全局插值多項式參數化平坦輸出函數完成參考軌跡優化,并設計比例-微分(proportional-derivative, PD)控制律實現了多約束條件下高超聲速飛行器的軌跡穩定跟蹤。但微分平坦計算過程依賴精確的模型推導,且產生高階微分信號,因此高相對階和不確定模型應用微分平坦時的抗干擾性能和魯棒性較差。

綜上所述,對于高超聲速飛行器軌跡跟蹤控制問題,存在多約束條件、系統控制相對階、氣動參數不確定性強等特點。因此,考慮利用微分平坦對速度、高度動態進行微分映射,高度通道保留俯仰角作為中間控制量,而利用ADRC完成姿態跟蹤。微分平坦所得到的平坦映射可以在平坦輸出上反映系統過程狀態信息,實現考慮過程約束的參考軌跡優化降維,姿控系統的保留使得推導相對階數減小,不會產生高階微分信號導致魯棒性變差,也不會過度依賴不確定性較強的氣動參數信息。而ADRC在姿控系統上的應用不需要處理俯仰角-高度動態,僅需設計二階ESO,跟蹤效果及魯棒性較好。通過高超聲速飛行器縱向軌跡跟蹤仿真對所提出方法與現有方法的性能進行了比較,驗證了基于微分平坦的高超聲速飛行器跟蹤控制方法的有效性。

1 模型描述

研究對象為有翼錐形體高超聲速飛行器,其縱向動力學模型描述如下[25]:

(1)

系統有5個狀態[V,r,γ,θ,q]T,和2個控制量[Φ,δe]T。其中V為速度,r為地心距(r=R+h,其中R為地球半徑,h為高度),γ為彈道傾角,θ為俯仰角,q為俯仰角速率,Φ為燃油節流率,δe為升降舵。

推力T,阻力D, 升力L,俯仰力矩Myy擬合如下所示:

(2)

式中:相關的氣動系數表達式為

(3)

(4)

(5)

CM=CM,α(α)+CM,δe(α,δe)+CM,q(q,α)

(6)

(7)

CM,δe(α,δe)=ce(δe-α)

(8)

(9)

2 基于微分平坦的控制系統設計

2.1 理論介紹

微分平坦理論是針對非線性系統所提出的一種線性化理論。其內容為,若存在至少一組平坦輸出,使得非線性模型可以被線性化,即非線性系統中的所有狀態和控制輸入變量都能夠由這組平坦輸出及其有限階微分表達,那么稱該系統是微分平坦的[26]。

微分平坦理論是將非線性動態方程中的非線性特性分離出來,將動態非線性系統映射為非線性靜態方程和線性動態方程的組合,從而實現非線性系統的線性化,示意圖如圖1所示。

圖1 微分平坦理論映射示意圖Fig.1 Mapping diagram of differential flatness theory

若非線性系統

(10)

是微分平坦的,那么存在一組輸出z∈Rm滿足

zi=hi(x,u,…,u(ri)),i=1,2,…,m

(11)

使得系統的狀態、控制輸入和原輸出都可以用輸出z及其有限階導數表示,即

(12)

式中:x∈Rn為狀態變量,u∈Rm為控制輸入;f(·)、h(·)為連續光滑函數。

因此,若系統是微分平坦的,則可以通過規劃的期望平坦輸出得到標稱條件下所有狀態及控制輸入理想值。對于高超聲速飛行器具有狀態約束、控制輸入約束的控制對象,微分平坦可以將輸出軌跡信息映射到狀態和輸入上,以此解決帶有約束的輸出軌跡優化及跟蹤控制問題。

2.2 平坦輸出規劃與跟蹤控制

一般情況下,高超聲速飛行器具有較為狹窄的飛行走廊,通常設計控制器時需要考慮動力學方程、狀態與控制輸入物理限制等多重約束條件,確定一條從初始狀態到期望終端狀態的控制軌跡,使得控制過程中系統滿足約束條件,并達到期望性能指標,其數學描述如問題1 所示。

問題 1針對動態方程組,尋找狀態變量-控制變量函數組{x(t),u(t)}(t∈[t0,tf])使得性能指標滿足:

(13)

同時滿足邊界條件、控制飽和約束:

|u(t)|≤umax

(14)

|x(t)|≤xmax

(15)

式中:x(t)為狀態變量;u(t)為控制變量;L(*)為性能指標計算函數;J*為期望性能指標。問題1包含對于微分方程的狀態約束,規劃空間維數較高,求解難度較大。

利用第2.1節微分平坦理論可將系統狀態、控制輸入等映射為平坦輸出,一方面可以實現系統狀態與控制約束到平坦輸出約束的降維轉化,另一方面可實現系統線性化,以進行跟蹤控制系統設計。

由于姿控子系統存在較大不確定性,而微分平坦需要系統精確模型推導,因此高度回路僅將俯仰角-高度動態進行微分平坦變換,姿態跟蹤利用ADRC實現,以此增強系統魯棒性并避免微分推導爆炸問題?？刂葡到y總結構框圖如圖2所示。

圖2 基于微分平坦的控制系統框圖Fig.2 Control system diagram based on differential flatness

外環子系統動力學模型為

(16)

特別地,俯仰角θ在外環子系統為中間控制變量。針對高超聲速飛行器外環模型,設計控制器完成期望輸出狀態的跟蹤。

下面利用微分平坦理論對動力學方程進行平坦化處理。

選擇飛行器狀態變量速度V和地心距r作為平坦輸出

(17)

根據微分平坦理論,需要通過推導將狀態量[V,r,γ,α,q]T和控制量[Φ,δe]T用平坦輸出量[z1,z2]T及其導數表達。

首先,可以根據模型中的地心距動力學方程解得

(18)

進一步地,對其求微分可得

(19)

至此已得到全部3個狀態量的平坦輸出表達,下面求取控制量的平坦輸出表達式。

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將式(17)～式(19)代入模型中:

(20)

其中,

(21)

解得攻角的平坦輸出表達式:

(22)

其中,

(23)

可得

(24)

為了實現俯仰角速率約束,對式(24)求導,得到

(25)

式中:

(26)

T=mΔ3+Δ4

(27)

式中:

(28)

節流率表達式為

(29)

綜合式(17)、式(18)、式(22)、式(29),外環子系統的狀態、控制輸入和原輸出都可以用平坦輸出z及其有限階導數表示為

(30)

式中:x=[V,h,γ]T;u=[θ,φ]T;f(·)=[fx(·)fu(·)]T。

至此,外環非線性系統的狀態及控制輸入已通過微分平坦理論映射為2個平坦輸出動態。因此,只需要規劃合理的平坦輸出動態,即可得到所需外環控制輸入,得到理想的系統動態。

可以在最優控制理論框架下構建飛行器運動軌跡規劃模型: 在動力學方程、狀態與控制輸入物理限制等多種約束條件下,確定一條從初始狀態到期望終端狀態的轉移軌跡,使得指定的性能指標最優,選取最節能即過程控制量最小為性能指標,則其數學描述如問題2所示。

問題 2求解平坦輸出z(t)(t∈[t0,tf])可以最小化性能指標:

(31)

同時滿足初始終端條件、邊界約束、控制飽和約束:

{z(t0)=z0

z(tf)=zf

(32)

|fu(z(t))|≤umax

(33)

|fx(z(t))|≤Cmax

(34)

由此可見,相較于問題1,問題2 避免了微分方程的約束,同時降低了規劃空間維數,使得轉換所得的問題更易求解,計算效率更高。

利用參數化平坦輸出的映射Chebyshev偽譜法[27]將平坦輸出規劃問題轉化為非線性規劃問題求解。確定平坦輸出在映射CGL(Chebyshev-Gauss-Lobatto)點處取值z(λk)(k=0,1,…,N)以及期望終端時刻tf,使得性能指標滿足,同時滿足初始終端條件、邊界約束、控制飽和約束:

(35)

-umax≤fu(z(λk))≤umax

(36)

fx(z(λk))≤Cmax

(37)

得到最優平坦輸出序列zr(λk)(k=0,1,…,N)后,利用重心Lagrange插值法可以獲得平坦輸出隨時間變化關系zr(t)(t∈[t0,tf])。

求解規劃期望平坦輸出后,構建線性系統

(38)

構建反饋跟蹤控制律:

(39)

3 基于ADRC的姿態跟蹤控制

針對內環子系統,結合系統氣動表達式可得內環縱向姿控動力學方程:

(40)

定義如下擴張狀態等系統定義:

(41)

系統可以寫為

(42)

構建ESO:

(43)

式中:L=[l1,l2]T為ESO增益參數。

觀測器可以實現系統的狀態估計,特別地,觀測器狀態z2可以跟蹤擴張狀態x2。為了進一步減少控制參數,降低控制參數整定難度,觀測器增益系數定義為

(44)

式中:ω0為觀測器帶寬。至此觀測器中只有唯一待設計參數ω0,這極大地降低了參數整定的復雜度,為控制系統設計提供了方便。

設計控制輸入:

(45)

式中:z2為x2的估計值。若觀測器達到穩態,實現了狀態估計,那么可以得到原姿控系統動態為

(46)

這里將偽控制量u0設計為PD形式:

(47)

式中:θc為期望俯仰角。

結合式(45)和式(47),得到線性ADRC控制律為

(48)

文獻[28]給出了線性ADRC穩定性和魯棒性的頻域分析?？刂破鞣譃閮纱蠼M成部分:一是利用ESO估計系統總擾動,不依賴于精確的模型信息,使得系統魯棒性得到提高;二是利用補償后的PD反饋控制律完成跟蹤控制,既繼承了傳統PID控制直觀、穩定、有效的優勢,又在此基礎上極大地優化了控制系統性能。

微分平坦和ADRC結合的綜合控制方法確保了外環的控制精度,利用了微分平坦的特性指導了軌跡規劃,優化外環控制性能。與此同時內環結合ADRC方法避免了整個系統利用微分平坦推導的微分爆炸,以及嚴重的模型依賴問題。利用了ADRC的強魯棒性,并避免了串級ESO的出現,改善系統性能。

4 仿真分析

為了驗證所提出控制方法的有效性,采用第3節所設計的控制器,以高超聲速飛行器模型作為控制對象,進行閉環仿真。

首先設置模型參數及初始條件如表1所示。

表1 模型參數及初始條件Table 1 Model parameters and initial conditions

通過微分平坦理論對模型平坦線性化處理,并采用映射Chebyshev偽譜法參數化平坦輸出,對最終轉換所得非線性規劃問題,調用fmincon函數進行求解,其參數TolFun、TolX和TolCon均設置為10-6。

依據性能指標規劃所得飛行器參考過程軌跡如圖3所示。

圖3 平坦輸出參考軌跡Fig.3 Reference trajectories of flat outputs

其中,紅色圓圈代表映射CGL點處平坦輸出的取值,其余位置為映射點經過重心Lagrange插值獲得。

圖4 軌跡跟蹤仿真結果Fig.4 Simulation results of trajectory tracking

由圖4所示仿真結果可以看出,速度和高度跟蹤效果良好,經過30 s的時間完成動態過程,達到期望的終端速度和高度。誤差存在的原因主要為兩方面:一方面為期望平坦輸出的高階導數誤差不可避免,若期望軌跡為解析可微分形式,則代入控制器后可有效減小誤差。另一方面為系統參數不確定性和控制器自身性能影響。在Chebyshev 偽譜法優化平坦輸出下,整個過程中控制輸入和過程狀態全程在約束范圍內,變化較為平緩,控制輸入較小。

為了驗證所提出方法的魯棒性與優勢,對其所有氣動和環境參數做±20%的隨機平均概率攝動處理,以驗證其在不確定條件下的控制性能。以文獻[29-30]中的全微分平坦跟蹤控制作為參考對比方法1,以文獻[16]中的串級ADRC設計方法作為參考對比方法2。對比仿真結果如圖5所示。

圖5 蒙特卡羅仿真結果Fig.5 Results of Monte-Carlo simulation

仿真結果表明,所提出基于微分平坦的ADRC跟蹤控制方法性能良好,且實現了模型具有不確定性時的軌跡跟蹤,高度通道跟蹤精度和控制平穩度都具有一定的優勢,在參數攝動條件下控制器具有較好的魯棒性。

5 結 論

本文研究了考慮約束條件的高超聲速飛行器的縱向軌跡跟蹤問題,提出一種結合微分平坦的ADRC跟蹤控制方法,實現了帶有狀態及控制輸入約束下高超聲速飛行器的穩定軌跡跟蹤。該方法的優勢主要在于兩方面:一是微分平坦在線性化模型的同時實現了過程狀態和控制輸入向平坦輸出的映射,將高階模型微分動態的多約束問題轉化為了平坦輸出的軌跡優化問題,降低了計算維數、提高了計算效率;另一方面是基于ADRC的姿態控制系統極大地增強了系統的魯棒性,其與微分平坦的結合應用在階數較高的軌跡跟蹤問題中既無需使用高階或串級ESO而損失性能,又能減小方法的模型依賴問題,使得整個系統跟蹤控制性能更好,魯棒性更強。仿真結果顯示,基于微分平坦的優化軌跡滿足了要求的過程約束,軌跡跟蹤效果良好,魯棒性較強。