導電壓頭作用下的功能梯度壓電涂層二維黏附接觸問題研究

韓立夫, 劉鐵軍

(1. 內蒙古工業大學 理學院, 呼和浩特 010051;2. 河套學院, 內蒙古 巴彥淖爾 015000)

0 引 言

隨著微機電系統和仿生器械的快速發展,對于結構和構件的黏附接觸及損傷的研究已經引起了科學家和工程師們的廣泛關注．對于均勻彈性材料的黏附接觸問題,學者們先后建立了Bradley剛體模型[1]、JKR模型[2]、DMT模型[3]、Maugis-Dugdale(M-D)模型[4]、雙Hertz模型[5]．近年來,學者們將這些經典模型發展到新型復合材料中,并研究其黏附接觸行為．Chen等[6]研究了壓電半空間球面剛性沖頭的微尺度黏附接觸問題,結果表明,壓電效應對壓電材料的黏附接觸行為有顯著影響; Sergici等[7]研究了球形壓頭與彈性層狀介質之間的無摩擦黏附接觸問題;Chen等[8-9]建立了冪型梯度材料的黏附接觸模型,給出了黏附接觸界面臨界拉脫半徑的解析解,研究結果表明,功能梯度材料的黏附接觸拉脫力與材料的彈性模量無關, 但依賴于材料的梯度變化、球體半徑及黏附能;Jin和Guo等[10-15]相繼建立了冪型梯度材料的軸對稱無摩擦JKR黏附接觸模型和受表面粗糙度影響的黏附接觸模型以及雙Hertz黏附接觸模型,并將黏附接觸模型擴展到了壓電材料,以上研究更詳細的內容可參見文獻[14]．

有學者將功能梯度材料的設計理念引入到壓電材料,從而為功能梯度壓電材料(FGPM)的制備提供了設計思路,已經取得的大量研究成果表明,將FGPM用作涂層能有效改善均勻壓電材料接觸表面的力學性能和損傷,并實現可設計性．Zhu等[16]研究了利用FGPM作為均勻壓電材料表面的涂層,有效抑制了器件使用過程中的破壞行為;Ke等[17-18]研究了參數隨指數變化的FGPM與剛性絕緣和導電壓頭的二維無摩擦接觸問題,研究結果表明,材料梯度指數和壓頭特性對功能梯度壓電涂層的接觸力學性能產生顯著影響;Liu等[19-21]對材料參數呈指數變化的功能梯度壓電涂層在絕緣與導電壓頭作用下的軸對稱無摩擦接觸問題進行了研究,發現導電壓頭作用下的最大接觸應力值小于絕緣壓頭下的值,同時還研究了絕緣壓頭作用下的功能梯度壓電涂層部分滑移接觸問題;Su等[22-23]深入研究了功能梯度壓電涂層在導電壓頭作用下的部分滑移接觸問題;劉興偉等[24]研究了一維六方壓電準晶中正n邊形孔邊裂紋的反平面問題;馬占洲等[25]基于層合板模型研究了梯度壓電涂層Reissner-Sagoci問題;代文鑫等[26]研究了導電壓頭作用下的多層FGPM涂層二維接觸問題,更詳細的內容可參見文獻[23]及相關文獻．

特別地,Baney等[27]建立了平行彈性長圓柱體(均勻彈性材料)之間的M-D黏附接觸模型,并給出了一個參數λ來控制不同接觸理論的適用范圍;Li等[28-33]建立了功能梯度材料相關的M-D黏附接觸模型,并比較系統地研究了功能梯度涂層二維和軸對稱黏附接觸問題,同時還考慮了尺度效應,詳細的研究內容可參見文獻[34]．本文在功能梯度壓電涂層二維接觸問題基本解的基礎上,利用M-D黏附理論,建立了剛性圓柱導電壓頭與功能梯度壓電涂層二維黏附接觸模型,給出了剛性圓柱導電壓頭作用下,功能梯度壓電涂層二維無摩擦黏附接觸問題的控制方程,并轉化為Cauchy奇異積分方程．標準化后,采用Erdogan-Gupta的方法進行了數值計算,并定量分析了黏附應力、梯度參數和壓頭所帶電荷對拉脫力、接觸應力、電荷分布、壓痕及電勢等力電參數的影響．本文的研究豐富了FGPM黏附接觸理論,對解決功能梯度壓電涂層二維黏附接觸問題具有一定的理論指導意義．

1 功能梯度壓電涂層-基底結構二維問題的通解

考慮厚度為h的功能梯度壓電涂層與均勻壓電基底半空間完美黏接,x軸位于涂層和基底之間的界面處,z軸沿豎直方向向上,涂層上表面(z=h,x=0)處受法向集中線載荷P、切向集中線載荷Q以及正集中線電荷Г的共同作用,該問題的力學模型如圖1(a)所示,并假設沿厚度方向極化壓電材料,功能梯度壓電涂層的材料參數沿z軸方向呈指數形式變化[17-20,22-23],即

(a) 法向、切向集中線載荷P、Q和正集中線電荷Г共同作用 (b) 剛性導電壓頭作用 (a) Under normal and tangential concentrated line load P, Q and (b) Under the rigid conducting indenter positive concentrated line charge Г

{clk(z),elk(z),εll(z)}=(clk0,elk0,εll0)eβz, 0≤z≤h,

(1)

其中,clk0,elk0和εll0分別代表功能梯度壓電涂層與均勻壓電基底半空間在z=0處的彈性常數、壓電常數和介電常數;β代表涂層內材料參數的梯度指數,β=0代表涂層和基底是同種均勻壓電材料．關于該問題通解的具體推導過程可參見附錄A,后文中方程推導和數值計算將會用到．

如圖1(b)所示,假設壓頭是剛性的,其上作用有法向集中線載荷P和正集中線電荷Γ,并按要求將其安置在FGPM涂層和均勻壓電基底半空間上,在FGPM涂層表面將會形成接觸區2a和電勢φ1;在接觸區外(x>|a|),假設接觸應力和電荷分布均為零,不計摩擦．此問題可用FGPM涂層和均勻壓電基底半空間二維無摩擦接觸問題的基本解(附錄A中式(A36)—(A38))進行求解．

假設p(x)和e(x)(-a≤x≤a)分別為表面接觸區內的法向接觸壓力和電荷分布,即σzz1(x,h)=-p(x)和Dz1(x,h)=-e(x),利用疊加原理,對附錄A中式(A36)—(A38)在接觸區內積分,可以獲得剛性導電壓頭作用下接觸表面的位移分量和電勢表達式:

(2)

(3)

(4)

2 剛性圓柱導電壓頭作用下無摩擦黏附接觸問題的求解

2.1 建立黏附接觸模型

為了便于問題的求解,壓頭選用圓柱型,并假設FGPM涂層和均勻壓電基底半空間在剛性圓柱導電壓頭作用下的二維無摩擦黏附接觸滿足M-D黏附理論[27-34],如圖2所示的FGPM涂層在導電壓頭作用下的力學模型．圖2(a)為黏附接觸模型,圖2(b)為涂層表面的應力分布．根據M-D黏附理論,其黏附功可表示為w=σ0h0,當兩個接觸物體表面間的距離小于h0時,其接觸表面的黏附應力為σ0,于是接觸表面的應力分布可重新表示為

(5)

(a) 黏附接觸模型 (b) 涂層表面的應力分布 (a) The adhesive contact model (b) The stress on the coating surface

對于圓柱壓頭,當接觸區2a遠小于壓頭半徑R時,圓柱壓頭的外形可近似為如下拋物線[17-18,23,26,28-30]:

(6)

式中,δ0表示發生在接觸區域中心的最大壓痕深度,R表示剛性圓柱壓頭的半徑,

(7)

黏附接觸在x=c和x=a兩點處的位移須滿足如下條件[28-30]:

uz1(c,h)-uz1(a,h)=h0-(c2-a2)/(2R)．

(8)

涂層接觸表面x=0處的壓痕δ0可表示為

δ0=uz1(0,h)-uz1(1 000a,h)．

(9)

涂層接觸表面x=0處的電勢φ0可表示為

φ0=φ1(0,h)-φ1(1 000a,h)．

(10)

2.2 奇異積分方程的建立

考慮黏附時,式(2)—(4)重新表示為

(11)

(12)

(13)

其中

將式(11)—(13)對x求導,可以得到如下無摩擦黏附接觸問題的Cauchy奇異積分方程:

(14)

(15)

(16)

其中

假設壓頭是一個絕緣體,那么法向電位移在接觸表面為零,即Dz1(x,h)=?φ1(x,h)/?x=0,從而可得到絕緣壓頭作用下,FGPM涂層和均勻壓電基底半空間無摩擦黏附接觸問題的奇異積分方程

(17)

(18)

若為均勻壓電半空間無摩擦黏附接觸問題,則奇異積分方程為

(19)

(20)

(21)

根據靜力學平衡關系,考慮黏附時,涂層表面接觸應力p(x)=σ(x)-σ0,電荷分布e(x)與法向集中力P、總電荷Γ滿足下列關系:

(22)

(23)

FGPM涂層表面接觸應力p(x)在接觸區邊緣(x=±a)處是光滑的,在接觸區內表面電勢φ1(x,h)是一個常數,則有?φ1(x,h)/?x=0．同時, 根據文獻[18], 剛性圓柱導電壓頭的電荷e(x)可以分解為下面兩個部分:

e(x)=e1(x)+e2(x),

(24)

其中,e1(x)是由法向載荷P引起的表面電荷分布,且在接觸邊緣(x=±a)光滑,e2(x)是由電勢φ1(x,h)引起的表面電荷分布,其在接觸區邊緣具有-1/2奇異性,根據文獻[18],結合式 (7)可得到

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

其中,Γ1是與法向荷載P關聯的電荷,Γ2是與電勢φ1(x,h)關聯的電荷．

將式(12)代入式(8),得到求解位移差的表達式:

(31)

2.3 積分區間的變換

利用如下的變量代換[28,34],將式(25)—(30)轉化為如下形式:

x=aζ,t=aη,-1≤ζ≤1, -1≤η≤1,c=ma,

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

其中

式(31)變換為

(38)

式(9)變換為

(39)

式(10)變換為

(40)

2.4 方程的離散化

涂層表面接觸應力σ(η)和法向荷載引起的電荷分布e1(η)可表示為[18,23]

(41)

式(32)、(33)和(36)為第一類Cauchy奇異積分方程,考慮Erdogan-Gupta的方法[35-36],對其進行離散后可數值求解．首先將式(32)—(35)進行離散,從而得到

(42)

(43)

(44)

(45)

其中

ηl=cos[lπ/(N+1)],ζk=cos[π(2k-1)/(2(N+1))],k=1,2,…,N+1,

由于電荷e2(η)具有-1/2奇異性,可設[18,23]

(46)

同樣,使用Erdogan-Gupta的方法對式(36)和(37)進行離散[35-36],從而得到

(47)

(48)

其中

ηξ=cos[(2ξ-1)π/(2N)],ζt=cos(πt/N),t=1,2,…,N-1,

在求解m值時,需要將方程式(38)寫成差值形式[28-34],然后利用二分法進行迭代,其差值形式如下:

(49)

對式(39)進行離散,從而得到

(50)

對式(40)進行離散,從而得到

(51)

其中

Z1(ηl)=cos(saηl)-cos[sa(1 000-ηl)],Z1(ηξ)=cos(saηξ)-cos[sa(1 000-ηξ)],

Z2(mη)=cos(samη)-cos[sa(1 000-mη)]．

3 算例分析與討論

首先對本文所建立的二維無摩擦黏附接觸模型進行退化,目的在于驗證其科學有效．去掉式(25)—(30)中的黏附項,然后采用Erdogan-Gupta的計算方法[35-36]和文獻[18]中相同的材料參數(基底由PZT-4壓電陶瓷制成,具體參數見表1)進行數值求解,計算選取N=30,涂層厚度h=0.01 m,圓柱壓頭半徑R=0.08 m,法向荷載P=103N/m,電荷Γ=10-6C/m．從而得到如圖3(a)和3(b)所示的接觸應力、電荷分布曲線．可以看出,本文的數值結果與文獻[18]給出的結果完全吻合,說明本文所建立的模型和計算方法是合理可靠的．

表1 PZT-4壓電陶瓷的材料參數

(a) 接觸應力分布 (b) 電荷分布 (a) Contact stress distribution (b) Charge distribution

本文計算和分析剛性圓柱導電壓頭作用下FGPM涂層的二維無摩擦黏附接觸問題．計算時黏附功w取0.1 J/m,圓柱壓頭半徑R取0.025 m,涂層厚度h取0.01 m,數值計算結果如下文所示．

圖4給出了梯度參數βh=0時,不同的黏附應力σ0下,比值m與接觸半徑a(圖4(a))、接觸半徑a與法向荷載P(圖4(b))、應力分布p(x)(圖4(c))、電荷分布e(x)(圖4(d))、法向荷載P與壓痕深度δ0(圖4(e))、法向荷載P與電勢φ0(圖4(f))的關系曲線．從圖4(a)中可以看出:隨著接觸半徑的逐漸增大,黏附區與接觸區的比值m逐漸減小并趨近于1,這與Chen等[9]和Li等[29,31,34]的結論相同;對于相同的接觸半徑,隨著黏附應力的增大,比值m減小,且在接觸半徑較小時,黏附應力對比值m的影響較大．從圖4(b)中可以看出:當黏附應力較大時,隨著接觸半徑的增大,法向荷載由某一值(由壓電效應所產生)趨于一負的極大值(即臨界拉脫力,主要由黏附效應引起),之后由拉力(負值)逐漸過渡到壓力(正值)并逐漸增大;當黏附應力逐漸減小時,黏附效應引起的臨界拉脫力逐漸變小,為Hertz壓電接觸時,黏附效應完全消失,此時的臨界拉脫力為零;當法向荷載為壓力時,隨著黏附應力的逐漸減小,產生相同的接觸半徑所需的法向荷載增大．

(a) m-a (b) a-P

圖4(c)表示接觸半徑a=9×10-5m時,涂層接觸表面的應力分布曲線,在涂層表面與壓頭接觸區邊緣處(x=9×10-5m)的應力值等于黏附應力值．由于黏附區大于接觸區(m>1),且在相同的接觸區情況下,不同的黏附應力所對應的黏附區不同,因此本文只給出了接觸區的應力．從圖4(c)中可以看出:隨著黏附應力的逐漸減小,涂層表面的拉應力在減小,壓應力在增大,此結論與Li等[29-34]的研究結論一致．從圖4(d)中可以看出:電荷分布幾乎不受黏附應力變化的影響,即黏附效應對電荷分布的影響作用甚微．從圖4(e)中可以看出:當黏附應力較大時,壓痕深度由某一值(壓電效應所引起)趨于一個極值(最大的負值,臨界拉脫力所對應的壓痕深度),之后由負值變為正值并逐漸增大;隨著黏附應力的減小,臨界拉脫力所對應的壓痕深度(負值)逐漸減小;當法向荷載為壓力時,隨著黏附應力的逐漸增大,產生相同的壓痕深度(正值)所需的法向荷載增大．從圖4(f)中可以看出:當黏附應力較大時,電勢由某一值(壓電效應所引起)趨于一個極值(最大的負值,臨界拉脫力所對應的電勢),之后由負值變為正值并逐漸增大;隨著黏附應力的減小,臨界拉脫力所對應的電勢(負值)逐漸減?。敺ㄏ蚝奢d為壓力時,隨著黏附應力的逐漸增大,產生相同的電勢(正值)所需的法向荷載增大．

圖5給出了黏附應力σ0=20 MPa時,不同的梯度參數βh下,比值m與接觸半徑a(圖5(a))、接觸半徑a與法向荷載P(圖5(b))、應力分布p(x)(圖5(c))、電荷分布e(x)(圖5(d))、法向荷載P與壓痕深度δ0(圖5(e))、法向荷載P與電勢φ0(圖5(f))的關系曲線．從圖5(a)中可以看出:隨著接觸半徑的逐漸增大,比值m逐漸減小并趨近于1;對于相同的接觸半徑,隨著梯度參數的增大,比值m增大;且在接觸半徑較小時,梯度參數對比值m的影響較大．從圖5(b)中可以看出:當梯度參數較小時,隨著接觸半徑的增大,法向荷載由某一值(由壓電效應所產生)趨于一個負值的極大值(臨界拉脫力,主要由黏附效應引起),之后由拉力逐漸過渡到壓力并逐漸增大;當梯度參數逐漸增大時,黏附效應引起的臨界拉脫力逐漸減小;相同法向壓力作用下,接觸半徑將隨著梯度參數的增大而減?。?/p>

(a) m-a (b) a-P

從圖5(c)中可以看出:隨著梯度參數的逐漸增大,涂層表面的壓應力增大．從圖5(d)中可以看出:受壓區(應力為正)的電荷分布隨著梯度參數的增大而增大,而受拉區(應力為負)的電荷分布則隨著梯度參數的增大而減?。畯膱D5(e)中可以看出:當梯度參數較小時,壓痕深度由某一值趨于一個極值(臨界拉脫力所對應的壓痕深度),之后由負值變為正值且逐漸增大;隨著梯度參數的增大,臨界拉脫力所對應的壓痕深度(負值)逐漸減?。?/p>

從圖5(f)中可以看出:當梯度參數較小時,電勢由負值變為正值并逐漸增大;隨著梯度參數的增大,臨界拉脫力所對應的電勢(負值)逐漸減?。?/p>

圖6給出了黏附應力σ0=30 MPa時,不同的電荷Γ作用下,比值m與接觸半徑a(圖6(a))、接觸半徑a與法向荷載P(圖6(b))、應力分布p(x)(圖6(c))、電荷分布e(x)(圖6(d))、法向荷載P與壓痕深度δ0(圖6(e))、法向荷載P與電勢φ0(圖6(f))的關系曲線．從圖6(a)中可以看出:隨著接觸半徑的逐漸增大,比值m逐漸減小并趨近于1;對于相同的接觸半徑,正電荷比負電荷所對應的比值m要大;且在接觸半徑越小時影響越明顯．

(a) m-a (b) a-P

從圖6(b)中可以看出:當受足量正電荷(Γ=10-6C/m)作用時,隨著接觸半徑的增大,法向荷載由拉力逐漸過渡到壓力并逐漸增大;當受足量負電荷(Γ=-10-6C/m)作用時,法向荷載由某一值(由壓電效應所產生)趨于一負的極大值(臨界拉脫力,主要由黏附效應引起),之后由拉力逐漸過渡到壓力并逐漸增大．從圖6(c)和6(d)中可以看出:足量正電荷作用下涂層表面的應力和電荷分布比等電量負電荷作用下要大,且對電荷分布的影響更明顯．從圖6(e)中可以看出:相同法向壓力作用下,帶足量正電荷的壓頭所產生的壓痕深度相對大,而帶等電量負電荷的壓頭所產生的壓痕深度相對小,說明所帶的正電荷助長了壓頭的壓入,而所帶的負電荷則抑制了壓頭的壓入;相同法向拉力作用下,結果反之．從圖6(f)中可以看出:相同法向壓力作用下,帶足量正電荷的壓頭所產生的電勢相對小,而帶等電量負電荷的壓頭所產生的電勢相對大;相同法向拉力作用下,結果亦反之．

4 結 論

綜上所述,可得出如下結論:

1) 對本文所建立的黏附接觸模型進行退化求解,其結果與Ke等[18]給出的結果完全吻合,且本文黏附接觸模型的計算結果與Chen等[9]和Li等[29,31,34]的結果一致．

2) 當黏附應力逐漸減小時,臨界拉脫力及其所對應的壓痕深度和電勢在減小,涂層表面的拉應力減小,壓應力增大;當法向荷載為壓力時,隨著黏附應力的逐漸增大,產生相同的壓痕深度和電勢所需的法向荷載增大,而產生相同的接觸半徑所需的法向荷載減?。?/p>

3) 當梯度參數逐漸增大時,黏附效應引起的臨界拉脫力逐漸減小,臨界拉脫力所對應的壓痕深度和電勢減小,受拉區的電荷分布減小,而涂層表面的壓應力和受壓區的電荷分布增大;相同法向壓力作用下,接觸半徑將隨著梯度參數的增大而減?。?/p>

4) 足量正電荷作用下涂層表面的接觸應力和電荷分布比等電量負電荷作用下要大,且對電荷分布的影響更明顯;相同法向壓力作用下,帶足量正電荷的壓頭所產生的壓痕深度相對大,所產生的電勢相對小,而帶等電量負電荷的壓頭所產生的壓痕深度相對小,所產生的電勢相對大;相同法向拉力作用下,反之．

5) 接觸半徑越小,黏附應力、梯度參數和壓頭帶電量對比值m的影響越顯著,說明接觸區趨于微尺度時,黏附作用更加明顯．

因此,可以通過合理設計FGPM涂層的梯度參數和黏附參數來改變壓電材料表面的黏附接觸行為,進而達到抑制壓電器件接觸損傷和破壞的目的．

附 錄 A

在平面應變狀態下,橫觀各向同性FGPM的本構關系為[17-18,23]

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

式中,j=1,2,其中1表示涂層,2表示基底;σxxj(x,z),σzzj(x,z),σxzj(x,z),Dxj(x,z)和Dzj(x,z)分別為涂層或基底的應力分量和電位移分量;uxj(x,z),uzj(x,z),φj(x,z)分別為涂層或基底沿x和z方向的位移分量以及電勢．

忽略自重與體電荷,平衡方程和Maxwell’s方程可以表示為[17-18,23]

(A6)

(A7)

(A8)

將方程(A1)—(A5)代入到方程(A6)—(A8)中,可得到如下控制方程:

(A9)

(A10)

(A11)

其中,uxj,uzj,φj依次為uxj(x,z),uzj(x,z),φj(x,z)的簡寫形式．

式(A9)—(A11)對x進行Fourier積分變換得到域內表達式如下[17-18,23]:

(A12)

(A13)

(A14)

將式(A12)—(A14)聯立求解,可得到涂層和基底在變換域內位移分量和電勢的矩陣表達如下:

(A15)

(A16)

其中

(A17)

對式(A2)、(A3)、(A5)分別進行Fourier積分變換,然后代入式(A15),可得到功能梯度壓電涂層(0≤z≤h)的位移分量、電勢、應力分量和電荷分量在Fourier積分變換域內的矩陣表達[17-18,23]:

(A18)

其中

k,l=1,2,…,6,

[Al1(s)]=[A11(s)A21(s)A31(s)A41(s)A51(s)A61(s)]T,

[Tkl1(s,z)]=[T1l1(s,z)T2l1(s,z)T3l1(s,z)T4l1(s,z)T5l1(s,z)T6l1(s,z)]T．

Tkl1(s,z)表示矩陣[Tkl1(s,z)]中第k行和第l列的元素,展開形式如下:

T1l1(s,z)=enl1z,T2l1(s,z)=al1(s)enl1z,T3l1(s,z)=bl1(s)enl1z,

T4l1(s,z)=[c130is+c330al1(s)nl1+e330bl1(s)nl1]e(nl1+β)z,

T5l1(s,z)=[c440nl1+c440isal1(s)+e150isbl1(s)]e(nl1+β)z,

T6l1(s,z)=[e310is+e330al1(s)nl1-ε330bl1(s)nl1]e(nl1+β)z．

同理可得,均勻壓電基底半空間的位移分量、電勢、應力分量和電荷分量在Fourier積分變換域內的矩陣表達為[17-18,23]

(A19)

其中

k=1,2,…,6;l=4,5,6,

[Al2(s)]=[A42(s)A52(s)A62(s)]T,

[Tkl2(s,z)]=[T1l2(s,z)T2l2(s,z)T3l2(s,z)T4l2(s,z)T5l2(s,z)T6l2(s,z)]T,

T1l2(s,z)=enl2z,T2l2(s,z)=al2(s)enl2z,T3l2(s,z)=bl2(s)enl2z,

T4l2(s,z)=[c130is+c330al2(s)nl2+e330bl2(s)nl2]enl2z,

T5l2(s,z)=[c440nl2+c440isal2(s)+e150isbl2(s)]enl2z,

T6l2(s,z)=[e310is+e330al2(s)nl2-ε330bl2(s)nl2]enl2z．

為了確定式(A18)和式(A19)中的未知參變量Al1(s)(l=1,2,…,6)和Al2(s)(l=4,5,6),在接觸表面(z=h)處,需滿足如下邊界條件[23]:

σzz1(x,h)=-δ(x)P,σxz1(x,h)=-δ(x)Q,Dz1(x,h)=-δ(x)Γ,

(A20)

其中,δ(x)為Dirac δ函數．在界面(z=0)處,位移分量、應力分量、電位移分量和電勢需滿足下列連續性條件[23]:

ux1(x,0)=ux2(x,0),uz1(x,0)=uz2(x,0),σzz1(x,0)=σzz2(x,0),

σxz1(x,0)=σxz2(x,0),Dz1(x,0)=Dz2(x,0),φ1(x,0)=φ2(x,0)．

(A21)

在Fourier積分變換域內,上述邊界與連續性條件可表示成如下矩陣形式[23]:

H1T1(s,h)[Al1(s)]=[-P-Q-Г]T,

(A22)

[Tkl1(s,0)][Al1(s)]=[Tkl2(s,0)][Al2(s)]．

(A23)

將式(A22)和(A23)聯立求解,可得到[Al1(s)]和[Al2(s)]的表達式[23]:

(A24)

(A25)

其中

V=[Tkl1(s,0)]-1[Tkl2(s,0)],Vm=H1[Tkl1(s,h)]V．

將式(A24)代入式(A18)中,然后進行Fourier逆變換,可得到[23]

(A26)

從式(A26)中提取出涂層表面(z=h)處位移分量和電勢的表達式[23]:

(A27)

其中

對矩陣F(s,h)進行漸進性分析[23],得到

(A28)

于是,式(A27)可表示為[23]

(A29)

其中

根據Euler公式和奇偶性以及下列變換關系:

eisx=cos(sx)+isin(sx),F1l(-s,h)=(-1)lF1l(s,h),l=1,2,3,

(A30)

F2l(-s,h)=(-1)l+1F2l(s,h),F3l(-s,h)=(-1)l+1F3l(s,h),

(A31)

(A32)

由式(A29)可導出表面(z=h)處位移分量和電勢的基本解為[23]

(A33)

(A34)

(A35)

式(A33)—(A35)為FGPM涂層和均勻壓電基底半空間在法向、切向集中力P,Q和正集中線電荷Г作用下的二維接觸問題的基本解．特別地,當不考慮摩擦時,式(A33)—(A35)中包含切向集中力Q的項將消失,可得到FGPM涂層和均勻壓電基底半空間在法向集中力P和正集中線電荷Г作用下的二維無摩擦接觸問題的基本解為[18]

(A36)

(A37)

(A38)

當FGPM涂層和均勻壓電基底為同一材料時,式(A33)—(A35)中的梯度項將全部消失,可得均勻壓電半空間接觸問題的基本解為[23]

(A39)

(A40)

(A41)