多連通區域到狹縫圓環域的共形映射計算法

趙 鑫, 呂毅斌

(昆明理工大學 理學院, 昆明 650500)

0 引 言

共形映射可將復雜區域映射到正則狹縫域,同時保持曲線之間的夾角在大小和方向上不變,這一性質常用于復雜區域中研究的問題,例如應用于流體力學、水波和彈性力學等領域內的許多實際問題[1-7]．但是,將復雜區域共形映射到正則狹縫域的解析式難以求得,針對這一問題,許多研究者以計算機為工具,提出了有效的數值方法和思想[8-19]．例如:1966年,Symm[8-10]首次使用計算機計算了共形映射的數值解,該方法利用位勢理論提出了使用第一類Fredholm積分方程,計算了單連通區域和雙連通區域的數值共形映射映射函數．1988年,Amano[11]簡化了Symm的方法,提出了基于模擬電荷法的數值共形映射計算法(Amano法),用于將任意單連通區域共形映射到單位圓盤．后經不斷發展,其也可用于計算多連通區域到多種正則域的共形映射函數[12-15]．2009年,Nasser等[16-17]將求解共形映射函數的問題轉化為求解一個Riemann-Hilbert問題,提出了帶廣義Neumann核的第二類Fredholm積分方程法,并將其應用于碳納米管增強復合材料內穩態熱傳導的仿真模擬．

1916年,Koebe[20]提出了39種具有廣泛應用前景的正則狹縫域,并將其歸為5類．目前,雖然存在許多計算多連通區域共形映射的數值方法,但是其研究內容大都針對于將低連通度區域共形映射到較為簡單的第一類正則狹縫域[14-16,21-25]．區域的連通度以及正則狹縫域復雜度的提高會導致共形映射的計算量和誤差大大增加,而模擬電荷法在計算共形映射的過程中不計算數值積分,并且使用最大模原理評價誤差,所以具有計算時間短、計算精度高、避免計算奇異積分等優勢．因此,本文基于模擬電荷法,研究了將有界高連通度區域映射到更為復雜的,對數螺旋狹縫單位圓環[26]的共形映射計算法．首先,我們給出了正規化條件和共形映射的函數形式,并使用Laplace方程基本解的線性組合近似函數形式中的待定函數．其次,根據Dirichlet邊界條件建立未知量應滿足的約束方程組,并提出利用BiCR算法[27]求解病態約束方程組,得到模擬電荷,進而構造出高精度的近似共形映射函數．最后,在數值實驗中,通過對有界10連通區域和有界16連通區域進行數值實驗,驗證了本文算法的有效性,并模擬了有界高連通度區域內螺旋點渦的繞流．

本文主要部分結構如下:第1節給出了將有界高連通度區域映射到對數螺旋狹縫單位圓環(S)的共形映射函數與調和函數(a(z))的近似形式,并根據邊界條件構造出約束方程組．第2節提出了利用BiCR算法計算約束方程的矩陣形式,得到了精度更高的模擬電荷．第3節簡述了將本文共形映射計算法應用于繞流模擬的原理．第4節通過數值實驗驗證了該算法的有效性,并給出了有界高連通度區域內螺旋點渦的繞流仿真結果．第5節對全文進行了總結和展望．

1 有界高連通度區域到對數螺旋狹縫單位圓環域的共形映射

1.1 共形映射函數及邊界條件

在z平面上,區域D是一個連通度為n(≥10)的有界高連通度區域,其邊界?D=C由n條封閉的Jordan曲線C1,C2,…,Cn組成,即C=C1∪C2∪…∪Cn．共形映射函數w=f(z)將曲線C1映射到單位圓|w|=R1=1,將曲線C2映射到圓盤|w|=R2,將曲線Cm映射到單位圓環內斜角為θm的對數螺旋狹縫Sm(m=3,4,…,n),見圖1,圖中“·”代表約束點,“+”代表模擬電荷點(后同)．斜角是指對數螺旋狹縫與從坐標系原點發出的射線相交所形成的夾角,始終是一個固定值θ．值得注意的是, 當斜角θ=0和θ=π/2時, 對數螺旋狹縫將分別退化為從原點發出的射線和以原點為圓心的圓?。C上所述, 共形映射函數w=f(z)的邊界值應滿足

(1)

圖1 基于模擬電荷法的有界高連通度區域共形映射Fig. 1 Conformal mappings of bounded high connectivity regions based on the charge simulation method

其中,z∈Cm;R2,…,Rn為待定實常數;θ1=θ2=π/2,θ3,…,θn為給定實常數．

對于有界多連通區域D,滿足正規化條件f(0)>0的共形映射函數w=f(z)是唯一確定的,函數形式可定義為

(2)

其中,c=f(0)為正實常數,v是邊界C2內側一定點,將式(2)代入式(1),得

z∈Cm,m=1,2,…,n．

(3)

1.2 模擬電荷法的原理

根據模擬電荷法的原理,a(z)可由Laplace方程基本解的線性組合近似,即

(4)

其中,Q0為未知復常數,電荷Qlj為待定實數,ζlj是配置在曲線Cl外的模擬電荷點,見圖1．為了將有界多連通區域映射到區域S,式(2)需滿足以下條件[15]:

即

(5)

② 保持近似函數在問題區域D上的坐標系放縮不變性[15,28],有

(6)

③ 正規化條件,由f(0)=c可得

(7)

結合式(4),消去Q0,可得到

(8)

(9)

即可保證A(z)在區域D中連續,進而能夠在問題區域上構造一個連續的近似映射函數．

根據上述條件①、②和③,通過限制近似函數(9)中的z取Cm上的約束點zmk,令其滿足邊界條件(1),則可得到關于電荷Qlj和Hm滿足的N1+N2+…+Nn+n維約束方程組,即

zmk∈Cm;m=1,2,…,n;k=1,2,…,Nm．

(10)

將求得的電荷Qlj代入式(9),可解得a(z)的近似函數A(z)．隨后將A(z)代入式(2),便可得到共形映射函數f(z)的近似函數,記為F(z)．

2 求解模擬電荷的BiCR法

現將約束方程組(10)寫成標準線性方程組Ax=b的形式:

A∈(N1+N2+…+Nn+n)×(N1+N2+…+Nn+n),x∈(N1+N2+…+Nn+n),b∈(N1+N2+…+Nn+n),

其中,A是非對稱的,Nm(1,2,…,n)表示每條邊界上的模擬電荷點數．

在基于模擬電荷法的共形映射計算法中,線性方程組的求解精度對最終的映射結果起著關鍵性作用．數值共形映射的精度要求越高,所取的模擬電荷點數就需要越多,但線性方程組的系數矩陣隨著模擬電荷點數的增加,條件數cond(A)也隨之增大．所以,針對病態矩陣A,本文使用BiCR算法求解線性方程組．BiCR算法是由Sogabe在conjugate residual(CR)算法的基礎上提出的,可以高效求解非對稱線性方程組,從而提高所求模擬電荷的精度,進而能夠得到高精度的近似共形映射函數．求解模擬電荷的BiCR法標準步驟如下．

算法1 求解模擬電荷的BiCR法

1 輸入A,b,x0,ε,nmax

4 forn=0,1,2,…

5 if |rn|>ε,n

6pn=rn+βn-1pn-1;

9xn+1=xn+αnpn;

10rn+1=rn-αnApn;

13 else break; end if

14 end for

15 輸出xn+1．

上述算法中,x0是給定的初始近似值,取值為零向量,r0=b-Ax0是初始向量,ε是給定誤差,nmax為最大迭代次數．

3 螺旋點渦的繞流模擬

在流體力學領域中,繞流是指繞過置于無限流體中的物體的流動,或物體無限流體中運動,是自然界和工程中常見的黏性流體運動形式．其在能源動力工程、海洋工程和航空航天工程等領域中具有重要意義[29-31]．通過使用共形映射將復雜的多連通區域映射為簡單的正則狹縫域后,根據問題域內的復勢可以由正則域上的復勢經過共形映射得到,可計算出平面無旋流在有界多連通區域內各點的復勢,進而模擬出該平面無旋流的流線和等勢線．使用共形映射計算多連通區域內的復勢的原理如下:

設D(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)和S(w)分別是區域D和區域S內的復勢,其中φ表示速度勢,ψ表示流函數．共形映射函數w=f(z)將區域D映射到區域S,同時也將區域D內的流線族映射到區域S內的流線上．原因是定義在區域D內的調和函數經過共形映射后仍是調和函數,因此,當S(w)已知時,區域D內的復勢可表示為

S(w)=S(f(z))=D(z),z∈D．

(11)

4 數 值 實 驗

在MATLAB 2018b的環境下,對連通度為n(≥10)的有界高連通度區域共形映射到對數螺旋狹縫單位圓環進行數值實驗,檢驗本文算法的有效性和精度．共形映射誤差由

(12)

步驟1 設定正整數Nl,實常數θ1=π/2,θ2=π/2,θ3,…,θn,合適的模擬電荷點ζlj(l=1,2,…,n;j=1,2,…,Nl)與對應數量的約束點zmk(m=1,2,…,n;k=1,2,…,Nm),邊界Cl內側的相應定點ζl0(l=1,2,…,n)和v．

步驟2 將ζlj,zmk,ζl0代入式(10),得到將有界高階連通區域映射到區域S的約束方程組,求解約束方程組,得到實常數Hl、正實常數c和電荷Qlj．

在步驟2求解約束方程組時,本文使用BiCR算法進行求解,并與同是迭代法的GMRES(m)(the generalized minimal residual)算法[12,34]進行比較,將前者記為method 1,后者記為method 2．廣義極小殘差法GMRES(m)是在Krylov子空間討論求解線性方程組的方法,可以直接應用于求解系數矩陣密集且不對稱的大型線性方程組．

例1 將z平面上的有界10連通區域(圖2)共形映射到w平面上具有8條對數螺旋狹縫的單位圓環(圖3)．給定圖3中對數螺旋狹縫的斜角為

圖2 有界10連通區域網格圖 圖3 帶有對數螺旋狹縫的單位圓環 Fig. 2 The grid diagram of bounded 10 connected domains Fig. 3 The unit circular ring with logarithmic spiral slits

圖4 例1中共形映射誤差曲線 圖5 例1中螺旋點渦的繞流模擬 Fig. 4 The conformal mapping error curves in example 1 Fig. 5 Simulation of flow over the spiral point vortex in example 1

圖6 有界16連通區域網格圖 圖7 帶有對數螺旋狹縫的單位圓環 Fig. 6 The grid diagram of bounded 16 connected domains Fig. 7 The unit circular ring with logarithmic spiral slits

圖8 例2中共形映射誤差曲線 圖9 例2中螺旋點渦的繞流模擬 Fig. 8 The conformal mapping errors curves in example 2 Fig. 9 Simulation of flow over the spiral point vortex in example 2

5 結 論

本文基于模擬電荷法,提出了將有界高連通度區域映射到對數螺旋狹縫單位圓環的共形映射計算法,模擬了有界高連通度區域內螺旋點渦的繞流．在約束方程組的求解中,本文提出利用BiCR算法構造高精度的共形映射函數,得到了比基于GMRES(m)算法改進的共形映射計算法更好的新算法,即基于BiCR算法改進的共形映射計算法,并通過數值實驗驗證了本文算法的有效性．在今后的研究中,我們將繼續研究具有廣泛應用前景的正則狹縫域,其次我們也會將共形映射用于求解熱傳導和圖像處理等領域的實際問題．