基于變分模態逐步抽取的結構弱模態識別

姚小俊，呂玉春

(河北工業大學土木與交通學院，天津 300401)

結構模態參數包括結構固有頻率、振型、阻尼比等，是反應結構動力特性的重要參數。在環境荷載的持續作用下，結構會產生損傷甚至發生破壞，而結構的損傷必然會導致結構動力特性的變化[1-2]。因此，如何準確識別結構模態參數是結構健康監測的關鍵問題。結構的模態參數識別屬于振動問題中的逆問題[3]，即對結構施加人工激勵，通過激勵與響應求得系統參數，但結構在服役期間會受到環境激勵影響，而環境激勵難以準確測量。因此僅利用結構響應進行模態參數識別得到了廣泛的研究。

傳統的基于輸出的模態參數識別方法有時域法和頻域法，頻域方法有峰值拾取法、最小二乘復頻域法等，時域方法包括自回歸滑動平均模型法、自然激勵技術法和Ibrahim 時域法等。由環境激勵產生的多為非平穩信號，上述方法雖容易實施，卻大多只能用于處理平穩振動信號。

基于時頻域的識別方法可以同時反應時域和頻域的信息，適用于處理非線性非平穩信號，其中，短時傅里葉變換(Short-Time Fourier Transform,STFT)、小波變換(Wavelet Transform, WT)和希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform, HHT)得到了廣泛的應用。STFT 方法是在傅里葉變換方法的基礎上加了一個窗函數，但窗函數的大小與形狀固定，無法隨時間及頻率變化。WT 方法的窗函數可以隨時間改變，但依然存在窗函數的局限性[4]。HHT 是一種時間分辨率較高的時頻分析方法，它基于經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)算法與希爾伯特變換(Hilbert Transform, HT)，屬于一種自適應的信號處理方法，但由于缺乏數學理論依據，HHT 的魯棒性較低[5]。

針對以上困難， DRAGOMIRETSKIY 和ZOSSO[5]提出了變分模態分解(Variational Mode Decomposition, VMD)算法，VMD 是一種自適應、完全非遞歸的信號處理方法，它將模態分解問題轉化為變分約束問題，通過迭代求解最優解來實現模態分量的分離。NI 等[6]將VMD 與HT 相結合，應用于時變系統的模態參數識別；殷紅等[7]提出將VMD 與隨機子空間法結合的方法，來識別結構固有頻率和阻尼等模態參數；ZHANG 和XU[8]將VMD 用于自由振動響應及環境振動響應的模態參數識別。VMD算法已得到了廣泛的應用，但提取結果受模態個數K 值的影響較大，在此基礎上，NAZARI 和SAKHAEI[9]提出了變分模態提取(Variational Mode Extraction, VME)算法，假定提取特定模態后的殘差信號在模態中心頻率處應無能量或能量較低，用于提取特定模態。經驗證，該方法在處理心電圖衍生呼吸信號時具有較好的精度，并且在消除腦電圖眨眼現象和檢測電能質量方面取得了較好的成果[10-11]，但在結構模態識別領域還沒有應用。

由于環境激勵的能量無法控制，在實際模態識別過程中通常存在能量較弱的模態。實際測量過程中獲得的響應信號的各階特征能量往往相差懸殊，且低信噪比情況下較弱的模態易淹沒在噪聲中，導致難以被識別。為解決這些問題，LIU等[12]提出了一種重構新響應的改進模態參數識別方法，通過限制通帶與中心頻率，并結合特征系統實現算法，識別出結構弱模態參數，隨后LIU等[13]又提出通過重構離散時間序列方法來識別高水平噪聲下的弱模態參數。姜貞強等[14]提出一種基于極值留數分解來識別弱模態參數的方法。賈天嬌和岳林[15]提出相關函數與傳遞率聯合求弱響應模態的方法。雖然此類方法針對弱模態問題進行了研究，但此類方法極少涉及模態振型的求解。

本文提出了基于VME 的高能量模態重復抽取的弱模態識別方法，利用自回歸(Autoregressive,AR)功率譜法進行初始中心頻率的選取，基于VME 重復抽取能量較大的模態成分，進一步提出了基于主成分分析法的振型識別方法，實現了結構弱模態固有頻率與振型的識別。通過地震作用下十自由度結構數值模擬驗證該方法在非平穩激勵下的有效性，并使用該方法對環境激勵下IASCASCE 結構健康監測基準模型試驗數據進行分析，以驗證該方法在實際結構中的適用性。

1 理論背景

1.1 基于VMD 的模態識別

VMD 是一種新型時頻域信號分析方法，它將一個振動信號分解為多個單分量，即固有模態函數(Intrinsic Mode Function, IMF)，IMF 在 頻 域 具有特定的稀疏性。VMD 假設每階模態在頻域的帶寬一定，且在中心頻率附近是緊湊的。VMD 將每個IMF 定義為調幅-調頻信號[5]：

式中：Ak(t)和φk(t)分別為信號的幅值和相位函數，瞬時頻率ωk(t)=φ′k(t)和幅值的變化都比相位變化慢得多。

VMD 的核心思想為通過構建并求解變分約束問題來獲取單分量[16]，隨后通過維納濾波對單階IMF 進行更新，其中采用希爾伯特變換、頻移處理以及高斯平滑估計來估計帶寬，變分約束問題描述如下：

式中： δ(t) 為 狄拉克函數；uk為第k階本征模函數；f為原信號。

根據結構動力學理論，結構的振動微分方程為：

式中：M、C和K分別為結構的質量、阻尼和剛度矩陣；X(t) 為結構的位移向量；F(t)表示作用在結構上的激振力。

根據振型疊加原理，結構的加速度響應表示為：

式中：φj為第j階模態振型向量；Φ為其組成的矩陣；q¨j(t)為相應的模態響應；Q¨(t)為由其組成的模態響應矩陣。第j階模態響應的表達式為：

式中：a(t) 為 與激勵有關的幅值； ξj為第j階阻尼比；ωj和ωdj分別為第j階固有頻率和阻尼頻率。對比式(1)和式(5)可以發現，結構的模態響應符合本征模函數的假定，因此，結構模態參數的識別可通過VMD 提取本征模函數后，進一步提取各階模態參數。

1.2 VME 理論介紹

VMD 能夠一次將所有模態分量分解出來，因此在使用VMD 時需要給出準確的模態分量個數。如果執行一次分解只提取某一階感興趣的模態分量，則VMD 無法實現。為此，NAZARI 和SAKHAEI[9]在VMD 的基礎上提出了抽取指定中心頻率下模態成分的VME 方法。

VME 通過給定中心頻率的近似值來抽取中心頻率附近的期望模態，并通過使帶寬最小來求解。VME 模型建立在兩個假設的基礎上：

1)與VMD 相同，VME 要求期望模態在中心頻率附近是緊湊的，通過以下模態帶寬最小化標準來確定：

2)通過使期望模態ud與殘差信號fr的頻譜重疊最小，來保證提取的完全性，為此，使用了如下濾波器來分離中心頻率ωd附近的頻率分量[9]：

α用來調節帶寬，該濾波器β?(ω)在ω=ωd處的靈敏度無限大，因此，考慮以下罰函數來最小化頻譜重疊：

β(t)為此濾波器的脈沖響應，VME 假設輸入信號會被分解成一個期望模態與一個殘余信號，并通過以下約束最小化來找到期望模態[9]：

為了求解約束問題，引入了二次懲罰項和拉格朗日乘數：

式中： λ為拉格朗日乘子，利用Parseval 定理等一系列數學表達式對式(7)進行簡化，并使用交替方向乘子法進行求解，給定期望中心頻率以及拉格朗日乘數的初始值，可得到ud、ωd和 λ的迭代更新結果：

?und(ω)為模態第n次迭代的傅里葉變換，循環迭代直到滿足收斂條件：

2 基于VME 高能量模態逐步抽取的弱模態識別

2.1 高能量模態定位

VME 可以根據給定期望中心頻率提取其附近的模態，因此應用VME 對信號進行模態抽取時，需要對期望中心頻率進行定位。算法的抽取結果會受到初始參數的影響，文獻[17]中通過預設不同VMD 初始參數，來分解滾動軸承故障信號，說明了選取不同的初始中心頻率對VMD 算法的分解結果和效率有較大的影響。為了將高能量模態分量抽取出來，達到放大弱能量模態成分的目的，準確獲取高能量模態分量的初始中心頻率在VME 進行之前十分重要。

AR 功率譜估計方法是一種以AR 參數模型為基礎的譜估計方法，通過計算AR 系數來計算觀測信號的功率譜密度。當采樣點數較多時，經典譜估計方法得到的結果毛刺較多，AR 功率譜估計法的結果則更加平滑，且采樣點少時AR 功率譜的分辨率更高。線性系統的AR 模型可定義為：

式中：X(n)為線性系統的輸出；k為AR 參數的個數；p為AR 模型的階數；ap,k為AR 系數；W(n)是均值為零，方差為 σ2k的白噪聲序列。AR 模型的輸出功率譜為：

AR 模型的系數通過Burg 法計算：

式中， γk為根據前后向預測誤差求得的反射系數。

運用AR 譜進行計算的關鍵是AR 模型階的確定。階選的太低會導致譜平滑的厲害，太高會導致出現虛假譜峰[18]。本文選用最終預測誤差(Final Prediction Error, FPE)準則來判斷最優階次，FPE準則計算公式為：

式中：N為采樣點數；p為使右側結果達最小值所確定的最優階次。若無法指定較準確的初始中心頻率，則VME 無法準確完成模態提取。AR 功率譜可以直觀地反映信號不同頻率處的能量情況，給出所有響應的AR 功率譜平均，通過選擇AR 功率譜能量最大的峰值，可以準確地進行頻率定位，得到用于模態抽取的中心頻率，解決了VME提取的關鍵問題。

2.2 基于VME 的高能量模態逐步抽取

在實際工程情況中，低階的強模態與高階的弱模態能量差距懸殊，且環境中存在噪聲時，弱模態容易淹沒在噪聲中，因此很難通過增加VMD的模態數量實現弱模態的準確提取。

為了防止遺漏弱模態，采用VME 逐步抽取能量較大的模態分量，從而逐步降低模態能量之間的差距，達到放大弱模態的作用。首先采用AR 功率譜獲取能量貢獻最大的中心頻率，接著利用1.2 節的VME 方法，從結構響應中抽取此階強模態ud，得到的IMF 可用于各階模態參數識別。

抽取一階模態分量后，將該階模態成分從原始結構響應中減去，并將剩余部分代替原始結構響應繼續進行高能量中心頻率的獲取和高能量模態成分的抽?。?/p>

重復該步驟，逐步抽取全部強模態。按照能量從大到小的順序確定中心頻率并分別提取模態分量，可以使高階的弱模態暴露出來，避免遺漏，實現弱模態響應的提取和參數識別。

2.3 基于主成分分析法的振型識別

主成分分析法(PCA)由Pearson 于1901 年提出，是一種線性數據降維方法[19]，可以在盡量保證“信息量不丟失”的情況下[20]，對原始數據進行降維處理，最終使重構的成分具有全新正交特征。

振型的估計需要對不同傳感器位置的響應進行模態分解，將第i個位置的傳感器響應分解得到的第j階IMF 記為，由式(1)可知，各階IMF 為振型系數與模態響應的疊加[21]，則第j階IMF 為：

因此，第j階振型向量為uj(t)的唯一的主成分。但由于誤差的影響，通過VME 得到的IMF 可能包含多個一維向量，因此可以采用PCA 來計算結構振型。若IMF 樣本矩陣uj=[uj1,uj2,...ujN]為零均值過程，則其主成分分析模型為如下特征值分解：

式中：Rj為協方差矩陣； Λj為由特征值組成的對角矩陣；Pj=[pj1,pj2,...,pjn]為特征向量組成的標準正交矩陣，第一個主方向pj1即為第j階 振型φj的估計。

2.4 流程總結

首先，通過加速度響應信號的AR 功率譜，來定位功率譜中能量貢獻較大的模態，同時識別此階模態的中心頻率；其次，采用VME 抽取此階模態成分，將高能量模態成分從原信號中減去，得到殘差信號，并將其代替原信號繼續用于AR 功率譜識別，如此重復，通過抽取較強模態，可以使弱模態暴露出來，最后利用PCA 對各模態成分進行處理，得到結構的固有頻率和模態振型。該算法的流程如圖1 所示。

3 數值模擬驗證

以地震作用下模擬線性十自由度結構為例，結構每層質量為105kg，每層剛度為2.1×108kN/m，阻尼矩陣與質量矩陣成正比，阻尼系數為0.6，一階阻尼比為4.38%，該結構的激勵采用了El Centro地震波9 號陣列記錄的水平加速度信號，地震動具有非平穩特性，因此地震作用下的響應信號為非平穩信號[22]，采樣頻率為200 Hz[23]，為了驗證所提基于VME 的弱模態識別方法在有噪聲情況下識別弱模態的能力，對上述地震信號添加信噪比(Signal-Noise Ratio, SNR)為30 dB 的高斯白噪聲，噪聲強度信噪比的定義為：

圖2 結構響應及殘差信號的AR 功率譜Fig.2 AR power spectra of the structural response and the residual signal

頻域分解法[24](Frequency Domain Decomposition, FDD)為一種模態識別的頻域方法，通過對功率譜密度函數進行奇異值分解，再對分解得到的單自由度功率譜密度函數進行峰值拾取。為了證明VME 的有效性，采用FDD 與VMD 對響應進行分解，并通過PCA 進行模態參數識別，并通過模態置信準則(Model Assurance Criteria, MAC)來評估振型識別的準確性，其表達式為：

式中：φ?i與φi分別代表理論模態振型與識別模態振型的第i列，MAC 值代表模態振型向量之間的相關性，其值越接近1，說明兩者相關性越高[21]。

表1 列出了所提基于VME 的方法、VMD 與FDD 三種方法的模態參數識別結果，其中VMD無法識別第十階模態，FDD 的第十階模態振型結果在0.9 以下，而所提方法的各階振型識別MAC值均在0.99 以上，振型識別結果良好，且可以很好的完成弱模態參數識別。振型識別結果如圖3所示，結果驗證了所提方法在弱模態識別中的抗噪性能與優越性。

為了進一步驗證該方法在低信噪比情況下的適用性，對信噪比為10 dB 的情況進行了研究，采用所提方法識別的模態參數結果列于表1 最后兩列，通過分析得知所提方法在信噪比為10 dB時也能夠得到較為準確的識別結果。

4 基準模型試驗驗證

在本節中，使用IASC-ASCE 結構健康監測工作組開發的實驗基準結構在環境激勵下測量的響應來提取結構模態參數，并將FDD、VMD 與所提基于VME 方法的識別結果進行比較。實驗結構為4 層，高3.6 m 的鋼框架結構，平面尺寸為2.5 m×2.5 m，由2 個×2 個共4 個隔間組成，框架結構如圖4 所示[25]。結構響應由每層3 個單軸加速度計測量，加速度計部署的俯視圖如圖5 所示[26]。在南北方向設置兩個同向的加速度計，第三個加速度計設置在東西方向。

圖4 IASC-ASCE 試驗基準結構(照片由加拿大哥倫比亞大學Carlos Ventura 教授提供)Fig.4 IASC-ASCE benchmark structure (photo courtesy of Professor Carlos Ventura, UBC).

此處研究工況1，即未損傷的情況，使用了總持續時間為300 s，采樣頻率為200 Hz 的時間歷程。將環境激勵下FDD 識別出的東西、南北和扭轉方向的前2 階模態作為參考值，并與VMD、VME 識別結果進行比對。頻率識別結果以及振型MAC 值見表2，振型識別結果如圖6 所示?？梢钥闯?，三種方法識別出的固有頻率結果十分接近，VMD 與VME 兩種方法的南北方向、扭轉方向第一階與東西方向，南北方向第二階振型MAC值均在0.99 以上，而東西方向第一階與扭轉方向第二階模態振型MAC 值較小，識別出的振型圖出入較大，對比每一階振型走勢，結合文獻[27]中振型識別結果，可以判斷出所提VME 方法的識別結果更準確，證明了所提方法在環境激勵下實際結構模態參數識別的有效性。

表2 四層鋼框架結構模態參數識別結果Table 2 Identified modal parameters of the four-story steel frame structure

圖6 四層框架結構振型識別結果Fig.6 Identified mode shapes of four-story frame structure

5 結論

本文提出了一種基于VME 的結構弱模態參數識別方法。該方法通過AR 功率譜定位和重復進行VME 抽取高能量模態成分達到增強弱模態成分的目的。通過一個數值算例和一個試驗結構的數據分析對所提出的方法進行了驗證，結果表明：

(1) AR 功率譜具有抗噪性強、分辨率高且功率譜曲線平滑等特點，可以準確地選取VME 所需的初始中心頻率。

(2) VME 能夠在一次分解過程中僅提取一階目標模態成分，重復進行高能量模態的抽取能夠達到逐步放大弱能量模態的效果，從而提高弱模態識別的準確性?；赑CA 的振型識別方法能夠有效利用多通道數據的IMF 提取結構的振型。

(3) 數值算例和試驗結構數據分析結果表明，所提方法能夠有效識別環境激勵和地震激勵且含噪條件下結構的弱能量模態參數。