領導-跟隨混合階異質多智能體系統的一致性

高林慶,王超,哈登喆,耿華,侯帥

(1.河北工程大學 水利水電學院, 河北 邯鄲 056038;2.河北工程大學 信息與電氣工程學院, 河北 邯鄲 056038;3.天津大學 建筑工程學院,天津 300072)

近年來,多智能體系統快速發展,已在軍事裝備[1]、移動機器人[2]、洪澇風險評估[3]、多車編隊[4]等眾多領域取得了廣泛應用,而其一致性問題屬于基本且重要的熱點問題.一致性是指多智能體系統中智能體的某個或某些狀態在一定時間內趨于一致.眾多學者對多智能體系統的一致性問題展開了廣泛研究[5-7].

同質多智能體系統的一致性問題研究已取得了豐碩的成果,Chen等[8]定義了由動態連續時間智能體和動態離散時間智能體構成的有未知干擾的混合系統二階一致性問題,并利用領導者和跟隨者網絡下的滑?？刂品椒ń鉀Q該問題,最終利用仿真驗證了該方法的有效性.Huang等[9]提出一種由李雅普諾夫有向理論和矩陣理論衍生的控制協議,以使二階非線性智能體系統中不同組內的智能體達到延遲一致性,而使相同組內的智能體達到相同的一致性. Chen等[10]基于耦合強度、李雅普諾夫矩陣特征值和通訊結構提出了一種基于固定和變化拓撲的持續保持控制協議,以改進有內部通訊二階多智能體領導者和跟隨者系統的一致性性能.Zuo等[11]對帶有高階積分器動態特性的智能體系統提出了一種分布式一致性觀察器來評估領導者狀態,并通過仿真驗證了該方法的可行性.Guo等[12]研究了具有有向圖的高階多智能體一致性的干擾抑制問題,僅依賴于每個智能體及其鄰居的狀態信息,提出了一種采取以完全分布式方式開發的干擾抑制協議,并給出了保證穩定性的充分條件.上述研究通常是解決多智能體的一致性問題,即一致性問題由多個同構的智能體構成,并去解決響應問題.然而在實際工作中,智能體間的動力學模型和特性往往存在差異,即存在多個異質的智能體.例如,在救援救災過程中的多智能體的特性是不同的,不僅僅會包括單一的一階、二階或者高階智能體,該情況會包含復雜的不同階次的智能體.

眾多學者針對異質多智能體開展了相關的研究工作.Wang等[13]研究了二階非線性多智能體系統在馬爾可夫切換拓撲下領導跟隨者的一致性問題,針對異質和均勻多智能體系統,分別設計了一種不連續的分布式自適應的非線性控制率和一種滑膜控制率,并以船舶航向控制仿真系統為例驗證了該控制方案的有效性.該異質智能體階次相同,但是其動態特性是不同的.有學者研究了動態特性相同,但是智能體階次不相同的混合階的異質多智能體.Zheng和Wang[14]通過研究線性一致性協議和飽和一致性協議,解決了一階和二階積分器型異質多智能體系統的一致性問題.

Geng等[15]研究了混合階多智能體在有向網絡條件下的一致性問題,提出了2種基于線性濾波器、圖論和矩陣理論的一致性問題解決協議,并取得了良好的預測效果.Sun等[16]研究了包含有一階和二階多動態特性智能體的有向拓撲異質多智能體系統,提出了一種針對無領導者和領導跟隨者的具有時間延遲的分布式控制協議.耿華等[17]研究了無向網絡中帶有一階靜態領導者或二階動態領導者的混合階多智能體系統的一致性問題.

綜上,在領導-跟隨混合階多智能體系統的相關研究中,一些研究人員針對智能體具有同階次不同動力學特性以及不同階次不同動力學特性的多智能體系統的一致性問題進行了相關的研究,其中不同階不同動力學特性的研究中,一、二階的異質系統是主要研究對象.然而,在現實的人機協同、多種類無人機編隊和不同類智能車協同救災時,由多類不同階次智能體構成的異質系統是建模的最佳選擇.基于此現實需求,考慮部分跟隨者在協調控制中存在舒適度的條件約束,將這類智能體描述為三階智能體.由此,本文首先研究一種由一階、二階和三階混合智能體構成的領導-跟隨混合階多智能體系統的一致性,其次,分別設計了無向通信網絡和有向通信網絡下的一致性控制協議,解決了不同通信條件下的一致性聚集問題.

1 預備知識

1.1 圖論

定義圖為G=(V,E),所有頂點構成的集合V={v1,v2,…,vn}稱為點集;所有邊構成的集合E={e1,e2,…,en}稱為邊集.圖中的頂點代表多智能體系統中的智能體,邊代表智能體之間的信息交互關系.其中E?V×V,V×V相當于{(a,b)│a∈V,b∈V},邊ek可由其兩頂點表示為ek=(vi,vj),進一步地,(vi,vj)表示頂點vj可以把信息傳輸給頂點vi.

根據圖中的邊有無方向,可以將圖分為無向圖和有向圖,任一邊都沒有方向的圖為無向圖,若圖中的邊帶有指示方向的箭頭,則稱這樣的圖為有向圖.無向圖中,每條邊的2頂點可以相互傳遞信息,而有向圖中,帶有箭頭邊上的2頂點間只能依箭頭方向單向傳遞信息.在有向圖G中,如果2個頂點vi和vj之間有一條從vi到vj的有向路徑,同時還有一條從vj到vi的有向路徑則稱頂點vi和vj強連通,如果有向圖G中每2個頂點都強連通,稱圖G為強連通圖.

對于含有n個頂點的圖G,定義元素aij,當頂點vj指向頂點vi時,aij等于1,否則,aij等于0,則稱以aij為元素的n×n階矩陣為圖G的鄰接矩陣,用符號表示為A=[aij]∈Rn×n.與頂點vi相關聯的邊的數量稱為頂點vi的度,在無向圖G中的度矩陣D=diag{di}表示頂點vi的度所構成的對角矩陣,有向圖G中度矩陣D=diag{di}表示頂點vi的入度所構成的對角矩陣.對于含有n個頂點的圖G,其度矩陣用D表示,其鄰接矩陣用A表示,定義L=D-A=(lij)n×n為圖G的拉普拉斯矩陣.

引理1[18]有向圖G具有n個結點,其拉普拉斯矩陣L至少有1個零特征值,且所有的非零特征值均具有正實部.L只有1個零特征值,當且僅當有向圖G有1個生成樹.此時,向量l=[1,…,1]T是零特征值對應的特征向量.

1.2 異質多智能體系統

異質多智能體系統由1個領導者和n個跟隨者組成.其跟隨者中,有l個一階積分器智能體,(m-l)個二階積分器智能體,(n-m)個三階積分器智能體組成,0

(1)

其中xi(t)∈R為位置信息,ui(t)∈R為控制輸入.

二階智能體的動態方程為

(2)

其中xi(t)∈R為位置信息,vi(t)∈R為速度信息,ui(t)∈R為控制輸入.

三階智能體的動態方程為

(3)

其中xi(t)∈R為位置信息,vi(t)∈R為速度信息,zi(t)∈R為加速度信息,ui(t)∈R為控制輸入.

領導者為靜態領導者,編號為n+1,其動態方程為

(4)

其中c為一給定常數.

定義1由式(1)～(4)組成的領導-跟隨異質多智能體系統,其實現一致性聚集,如果對于任何初始條件,以下方程成立:

引理2[19]對于如下所定義的線性濾波器

2 主要結論

本節分別研究了無向通信和有向通信網絡條件下,由一階、二階和三階組成的領導-跟隨異質多智能體系統的一致性聚集問題.

2.1 無向網絡中的一致性聚集問題

由式(1)～(4)組成的混合階多智能體系統中的n個跟隨者之間是無向通信的,編號為1～l,l+1～m,m+1～n的智能體分別是一階、二階和三階的智能體.

對每個二階智能體設計如下線性濾波器

(5)

對每個三階智能體設計如下2個線性濾波器

(6)

為簡便起見,本文以下內容將帶變量t的符號省略t,如xi(t)、ui(t)、γ1i(t)分別簡記為xi、ui、γ1i等.

一致性協議設計如下所示:

(7)

式(7)中,A=[αij]n×n為加權鄰接矩陣,aij為A的元素,B=diag{bi(n+1)}為跟隨者與領導者鄰接矩陣,bi(n+1)為B的元素,α1>0,α2>0,α3>0為濾波器參數.ε=[x1,…,xl,γ1(l+1),…,γ1(m),γ3(m+1),…,γ3(n)]T為狀態向量,εi、εj分別為ε的第i個、第j個分量.

基于上述一致性協議,可得定理1.

定理1假設系統由式(1)～(4)組成,跟隨者之間的通信拓撲是固定無向連通的,如果條件α1=α2=α3=1成立,應用協議(7),可解決混合階多智能體系統的聚集問題.

證明:應用一致性協議(7)后,閉環系統可表示為

(8)

(9)

將公式(9)寫成誤差形式,則如下式所示:

(10)

利用李雅普諾夫直接法構造李雅普諾夫函數如下:

(11)

對式(11)求導后則得到

(12)

由于跟隨者拓撲圖是無向連通的,因此可得

(13)

應用拉塞爾不變集原理可得不變集

(14)

也就是

(15)

由對稱性可得

(16)

當t→∞時,可知

ei=xi-xn+1=0i=1,2,…,l,

(17)

由α1=1,可推得ei收斂于0.

同理α2=α3=1,可知當i=l+1,l+2,…,m和i=m+1,m+2,…,n時,ei收斂于0,xi-xn+1也收斂于0.

2.2 有向網絡下混合階多智能體系統聚集問題

系統是由式(1)～(4)組成的混合階多智能體系統,跟隨者是通信拓撲,是有向的,基于上述設計線性濾波器的方法,提出如下一致性協議:

(18)

式中,A=[αij]n×n為加權鄰接矩陣,aij為A的元素,α1>0,α2>0,α3>0為濾波器參數.ε=[x1,…,xl,γ1(l+1),…,γ1(m),γ3(m+1),…,γ3(n)]T為狀態向量,εi、εj為ε的第i個、第j個分量.

基于上述一致性協議,可得定理2.

定理2假設跟隨者之間通訊拓撲圖是固定有向的,且強連通的,基于濾波器(5)～(6)以及上述一致性協議,在α1=1,α2-α3≠0,α2α3=1條件滿足時,一致性問題可得到解決.

證明:領導者動態方程為

(19)

由于領導者只發送信息而不接受信息,所以所有α(n+1)i=0領導者動態方程可改寫成

(20)

基于一致性協議可將閉環領導跟隨系統寫成下式

(21)

寫成向量形式

(22)

其中

(23)

由引理1可知,上述系統可實現一致性,假設一致性狀態為[k,…,k]T,k∈R,也就是

(24)

線性濾波器狀態滿足下式

(25)

求解上述方程,可知

(26)

已知α1=1,α2-α3≠0,α2α3=1,故一致性實現,即

(27)

一致性狀態k由0特征值對應的右特征向量和左特征向量以及初始條件決定,即

(28)

3 仿真實驗

異質多智能體系統由一階、二階和三階智能體組成,編號1、2的智能體為一階智能體,編號3、4的智能體為二階智能體,編號5、6的智能體為三階智能體,編號7的智能體為靜態領導者.

算例1令α1=1,α2=1,α3=1,跟隨者之間的通信拓撲圖是固定無向連通的,如圖1所示.由圖1可知,跟隨者之間的鄰接矩陣A以及跟隨者與領導者之間的鄰接矩陣B.

圖1 固定無向通訊拓撲Fig.1 Fixed undirected communication topology diagram

設定位置初始值[x1,x2,x3,x4,x5,x6]=[-1,-3,0,-4,1,-5],速度初始值[v3,v4,v5,v6]=[2,-1,2,-2],加速度初始值為[z5,z6]=[1,-1],靜態領導者位置x7=2.圖2、圖3和圖4顯示了各智能體參數軌跡的變化過程.

圖2 無向多智能體位置軌跡變化Fig.2 Undirected multi-agent position trajectory variation

圖3 無向多智能體速度軌跡變化Fig.3 Undirected multi-agent velocity trajectory variation

圖4 無向多智能體加速度軌跡變化Fig.4 Undirected multi-agent acceleration trajectory variation

通過觀察圖2、圖3和圖4,可以發現,5號和6號智能體的加速度隨時間的增加趨近于零,3號、4號、5號和6號智能體的速度隨時間的增加趨近于零,1號、2號、3號、4號、5號和6號智能體與7號智能體(領導者)的位置誤差趨近于零,跟隨者與領導者的位置趨近一致且保持靜止,領導者-跟隨者的一致性得到解決.該仿真結果驗證了定理1的正確性和一致性協議(7)的有效性.

算例2令α1=1,α2=8,α3=0.125,滿足定理2成立的條件,即α1=1,α2-α3≠0,α2α3=1.類似算例1,將異質智能體以一種較為簡單的交互方式有向連接,如圖5所示.根據圖5,可以得到鄰接矩陣A和B,矩陣A表示跟隨者之間可以進行有向交互,矩陣B表示領導者僅把信息有向傳遞給2號智能體.

圖5 有向通訊拓撲Fig.5 Directed communication topology

假設位置初始值[x1,x2,x3,x4,x5,x6]=[-1,-3,0,-4,1,-5],速度初始值[v3,v4,v5,v6]=[2,-1,2,-2],加速度初始值為[z5,z6]=[1,-1],靜態領導者位置x7=2.圖6、圖7和圖8顯示了各智能體參數軌跡的變化過程.

圖6 有向多智能體位置軌跡變化Fig.6 Directed multi-agent position trajectory variation

圖7 有向多智能體速度軌跡變化Fig.7 Directed multi-agent velocity trajectory variation

圖8 有向多智能體加速度軌跡變化Fig.8 Directed multi-agent acceleration trajectory variation

通過觀察圖6、圖7和圖8,可以發現,5號和6號智能體的加速度隨時間的增加趨近于零,3號、4號、5號和6號智能體的速度隨時間的增加趨近于零,1號、2號、3號、4號、5號和6號智能體與7號智能體(領導者)的位置誤差趨近于零,跟隨者與領導者的位置趨近一致且保持靜止,領導者-跟隨者的一致性得到解決.該仿真結果驗證了定理2的正確性和一致性協議(18)的有效性.

4 結論

研究了領導-跟隨混合階異質多智能體系統的一致性問題.首先,在領導-跟隨無向通訊網絡條件下,提出了一種解決混合階異質多智能體系統聚集問題的一致性協議,并通過仿真實驗驗證本文提出的方法能夠有效地解決一階、二階和三階混合階多智能體系統的一致性問題;其次,提出了一種一致性協議來解決領導-跟隨有向通訊網絡條件下一階、二階和三階混合階異質多智能體系統的一致性問題.為復雜情況中無向和有向通訊網絡條件下多智能體系統的運行提供了有效解決方案.此外,本文提出的一致性協議可以擴展至更高階的無向和有向通訊網絡條件下的多智能體系統中,并可以有效應用于洪澇災害防范、水面無人船、水下無人潛水器、抗震救災機器人等多智能體中.