4+2 自由度葉片拋磨專用機器人軌跡規劃方法研究*

任利娟 陳 恪 閆偉健 李 堃 楊志堅 張廣鵬

（①西安理工大學機械與精密儀器工程學院，陜西 西安 710048；②秦川機床工具集團有限公司，陜西 寶雞 721000）

葉片作為透平機、航空發動機等動力設備的核心零件[1]，其加工質量直接影響其服役性能和壽命。拋磨作為葉片尺寸加工的最后一道工序，對其最終的形狀精度有重要的影響。目前，葉片自動化拋磨主要有機器人拋磨[2-3]和機床拋磨[4]兩大類。機床拋磨葉片具有加工精度高、產品質量穩定、技術較成熟等優點，但其柔性和可擴展性一般；機器人拋磨葉片具有工作空間大、運動靈活、可拓展性強、性價比高等優勢，在葉片拋磨加工中得到越來越多的關注和應用。

機器人砂帶拋磨時，需要規劃好機器人末端運動軌跡，軌跡規劃的精度直接影響到了拋磨產品的質量。目前，葉片拋磨機器人軌跡規劃方法是通過離線編程方法設計機器人在空間的運動軌跡。離線軌跡生成的基本步驟是[5-8]：首先基于三維掃描數據通過逆向工程建立葉片的三維模型；然后將三維模型導入專業的CAM 軟件，通過編寫一定的算法，結合加工工藝參數要求和葉片特征信息，生成葉片加工軌跡信息；最后通過葉片軌跡信息指導加工裝備拋磨葉片，在拋磨期間再輔以力-位控制，對葉片軌跡信息進行修正，最終完成葉片拋磨作業。屈展等[9]在傳統的逆向工程的基礎上添加了交點追蹤優化算法，提高了葉片建模的完整度和軌跡規劃精度；Liang X F 等[10]利用點云切片算法和交集法創建初步接觸點集，使得生成的軌跡能更好地順應葉片型面的曲率變化，保證加工過程中線速度的穩定。

目前機器人拋磨葉片多采用串聯式6 自由度機器人[11-12]，其多關節串聯導致的弱剛性問題直接影響了大型葉片拋磨精度和效率。本文自主設計研發的4+2 自由度葉片拋磨的專用機器人[13]，通過將2個自由度分配到拋磨工具端，縮短了串聯傳動鏈，提高機器人夾持葉片的抗變形能力，本文主要開展適用于該機器人的葉片高精度拋磨軌跡規劃方法研究，為該機器人系統用于葉片高精度拋磨提供理論和技術支持。

1 4+2 自由度機器人結構及運動原理

葉片作為典型復雜曲面零件，機器自動化磨削需要至少6 個運動自由度，基于模塊化設計的思想，本文自主研發設計的葉片拋磨專用機器人將傳統的6 自由度串聯結構拆分成四自由度葉片運動單元和2 自由度葉片拋磨單元。運動單元負責葉片的裝夾和進給動作，拋磨單元負責調整拋磨工具的姿態以適應葉片曲率的變化，兩個單元協同工作，共同完成葉片表面的拋磨作業[13]。

葉片拋磨專用機器人系統結構如圖1 所示，4自由度葉片運動單元包括一個由絲杠導軌副組成的沿Z軸的直線移動自由度和3 個繞其平行軸的回轉運動自由度；葉片拋磨單元則包括繞X軸和繞Y軸的回轉運動，同時氣缸可提供沿Y軸的法向力控制。

圖1 4+2 自由度專用葉片拋磨機器人系統

1.1 4 自由度葉片夾持單元

4 自由度葉片運動單元主要部件如圖2 所示，在結構上4 自由度葉片運動單元包含一個直線運動關節和3 個旋轉運動關節?？紤]到末端存在較大負載，將第一個關節設計為滾珠絲桿直線運動關節，葉片置于關節四的工作臺上，通過工作臺上的銷軸完成定位；關節二和三組合運動，使葉片可以在X Y平面內運動；關節四帶動葉片沿著C軸旋轉。

圖2 4 自由度葉片夾持單元

1.2 2 自由度砂帶拋磨單元

2 自由度葉片拋磨單元主要部件如圖3 所示，該單元由2 個旋轉關節組成，分別控制拋磨砂帶機的俯仰與翻滾姿態。第六個關節安裝在氣缸驅動的滑塊上，可以實現法向磨削力的在線調整，與運動軌跡協同實現葉片的自適應拋磨加工。砂帶磨削機構由三向異步電機驅動驅動輪，帶動砂帶進行高速運動，張緊輪為砂帶提供張緊力，接觸輪為柔性橡膠材料。

圖3 2 自由度砂帶拋磨單元

2 機器人運動學模型

本文設計的葉片拋磨專用機器人由2 個單元組成，基準坐標系定義在機器人運動單元絲杠軸線與底面相交處記為Σ0，拋磨單元的基坐標系定義在基座上，坐標系原點在五六關節軸線公垂線與底面相交點處，記為ΣA，定義在機器人關節i上的坐標系稱為坐標系Σi，如圖4 所示。

2.1 運動學正解

本文基于D-H 法建立的機器人運動學模型，機器人的任意兩相鄰連桿的位姿關系都可以由4 個參數ai-1、αi-1、di、θi來表示。其中ai-1表示從zi-1到zi沿xi-1偏移的距離；di表示從xi-1到xi沿zi偏移的距離；αi-1表示從zi-1到zi以xi-1為軸旋轉的角度；θi表示從xi-1到xi以zi為軸旋轉的角度，αi-1和 θi數值通過右手規則確定。機器人相鄰關節坐標系的齊次變換矩陣可由D-H 法得出：

根據式（1），順序連乘對各個變換矩陣可以求得第四關節末端中心相對于運動單元基坐標系Σ0 的變換矩陣：

式中：符號具體表達式見表1，其中c 為cos，s 為sin，1、2、3、4 為第一到第四關節的坐標系沿z軸的轉角，c1,2,3和cθ1,2,3是cos(θ1+θ2+θ3)的縮寫，其他類似。ψp和θp為第五和第六關節分別沿X軸和Y軸的轉角，p表示沿下標軸方向的位移。

表1 式（2）中各符號表達式

同理可求得葉片拋磨單元接觸輪中心相對于基坐標系ΣA的變換矩陣：

2.2 機器人運動學逆解

本文采用解析法進行機器人運動學逆解的求解，通過建立本文特定結構機器人的數學模型，獲得機器人末端位姿與關節變量之間的關系。首先對于運動單元部分求逆解，假設末端工作平臺圓心此時坐標為(x4,y4,z4)，工作平臺此時想要抵達的位姿角為θ，如圖5 所示。

圖5 關節角度變換

根據余弦定理可得：

當 s3>0，運動單元處于右手系；當 s3<0，運動單元處于左手系；當 s3=0，運動單元處于奇異解位置，則θ3為

θ2可被表示為

式中：

θ4可被表示為

本文設計的機器人運動單元第一個關節使用滾珠絲杠傳動，因此關節一的關節變量可用θ1表示：

式中：Ph為滾珠絲杠導程，本文取10 mm。

然后對拋磨單元進行運動學逆解。拋磨單元的主要功能是調節砂帶機相對于葉片的俯仰角和翻滾角，若要求砂帶機的姿態為(ψb,φb)，則θ5和θ6可被表示為

機器人的運動學逆解即式（5）～式（9），機器人在實際工作中，各個關節都受結構限制，因此解的個數是有限制的，本文在選擇運動學逆解時，按照關節歐式距離最小原則，使機器人末端執行器按照最短路徑運動。

式中：θi為當前位姿對應的關節參數，（°）；θni為目標位姿對應的關節參數，（°）。

3 葉片拋磨軌跡規劃

圖6 所示為本文的葉片三維模型，為了防止接觸輪與葉片曲率干涉，本文選用水平加工方式生成葉片拋磨軌跡，通過控制刀軌的殘留高度誤差，獲得葉片表面的一系列刀軌。本文通過截面法獲得基礎的刀路、通過參數線法根據加工余量偏移生成完整的葉片拋磨加工的刀位文件。假設砂帶機接觸輪上的砂帶寬度為b，刀路軌跡行距按照2/3～3/4 倍的砂帶寬度以保證刀路重疊，降低殘留高度。

圖6 截面法

機器人依靠末端刀具將圓弧細分為直線逼近運動來完成曲線加工，對拋磨加工而言，首先把待拋磨軌跡曲線離散為一組位置與時間對應的插補點，然后用一組線段依次連接插補點來擬合曲線形狀，如圖7 所示。直線段與理想曲線之間的誤差稱為逼近誤差，誤差一般與插補步長負相關。若步長過小，插補點的數量過密，會嚴重拖累程序處理效率。較大的步長雖然使拋磨效率提高，不能保證加工精度要求。因此加工步長的選擇應當綜合考慮曲面的誤差要求和加工效率。

本文設計的機器人使用數控加工中常使用的NC 數控語言做控制指令，因此，需要將CLSF 文件轉換為常見的G 代碼格式。刀位文件定義的刀軸矢量示意如圖8 所示。

在本文的數控系統中，i、j、k與機器人的位姿角存在以下關系：

x、y、z是葉片坐標系下的刀位文件坐標數值，與NC 代碼中x、y、z的轉換關系由數控系統的設計確定，為方便計算，令(x,y,-z)=(X,Y,Z)。

通過上述關系，可以將刀位文件中的(x,y,z,i,j,k)轉換為NC 代碼，供機器人控制系統使用。

4 運動單元和拋磨單元協同運動模型

基于上文獲取的葉片型面曲線，本節將建立運動單元和拋磨單元協同運動模型，使兩個單元協同運動共同完成葉片的拋磨任務。

運動單元和拋磨單元要想實現協同拋磨作業需要滿足3 個條件：

（1）假設在基坐標系下緊貼在張緊輪的砂帶外表面有一點(Bx,By,Bz)，這一點位于砂帶機端部位置。在第四關節的初始坐標系下，葉片表面待拋磨點為(Px,Py,Pz)。在拋磨過程中點B和點P應當保持接觸狀態，即(Bx,By,Bz)=(Px,Py,Pz)。

（2）接觸輪中心軸線與待拋磨點法矢量正交，由于實際操作中，接觸輪中心軸線表達比較困難，可以使用始終垂直于接觸輪中心軸線的第六關節軸線代替，只要保證第六關節軸線與待拋磨點法矢量平行即可。

（3）由于本文采用葉片橫截面型線作為加工的引導線，因此在拋磨過程中需要使接觸輪切線方向始終與加工軌跡相切。

其中條件（1）控制了運動單元與拋磨單元的相對位置，條件（2）和條件（3）決定了葉片和加工工具之間的姿態關系。

運動單元關節變量最終影響關節四工作臺面圓心在基座標系下的位姿，如圖9 所示，要想滿足條件（1）和條件（2），基坐標系下關節四臺面圓心(O4x,O4y)與(Bx,By)、(Px,Py)滿足式（12）和式（13）的關系，其中X、Y是待拋磨點在葉片坐標系下的坐標。

圖9 協同運動局部俯視圖

對于葉片型線法矢量在豎直方向的俯仰變換，如圖10 所示，要想滿足條件（1）和條件（2）可以得到以下關系：

圖10 協同運動局部側視圖

結合第三章運動學逆解結論，對于給定的葉片截面型線，當已知由刀位文件轉換的NC 代碼為（X,Y,Z,φA,ψB,θC）時，機器人各個關節運動的關節變量為

式（15）的解即為葉片拋磨機器人協同運動所必需的運動學逆解。

為了驗證本章所求的機器人協同運動條件是否正確、關節運動過程是否存在干涉、離線編程軟件算法是否準確、接觸輪沿葉片截面型線運動過程中關節動力學情況，本文采用Adams 運動仿真軟件模擬拋磨加工過程，采集關節運動數據并分析驗證，驗證流程如圖11 所示。

圖11 動力學仿真流程

仿真獲得的機器人運動過程如圖12 所示，觀察仿真過程，兩個單元運動協調，各關節在設計行程內運動，各關節連桿運動不干涉，砂帶機接觸輪最遠端點緊貼葉片表面規劃軌跡，驗證了上文協同運動算法和離線編程軟件的正確性。

圖12 機器人運動過程

5 結語

本文基于自主設計研發的4+2 自由度葉片拋磨專用機器人系統，開展其拋磨軌跡規劃方法研究。論文的主要研究結論如下：

（1）采用D-H 法分別建立機器人運動單元和葉片拋磨單元的運動學模型，推導2 個單元的運動學正逆解，再通過建立2 個單元協同運動模型實現葉片拋磨軌跡的執行，并通過運動仿真驗證了該方法的可行性。

（2）在拋磨軌跡規劃中，刀路軌跡的行距、刀路軌跡點的密度對拋磨誤差有直接影響；復雜曲面柔性軌跡規劃時，要考慮刀具和工件曲率半徑干涉問題。