Matlab 環境下拖拽式焊接機器人的運動學仿真實驗

才 洋 于功志

（大連海洋大學，遼寧 大連 116023）

焊接機器人是時代發展的趨勢，是“中國制造2025”和“工業 4.0”的重要研究領域，在工業應用中占比52.8%以上，被譽為“制造業皇冠頂端的明珠”和“工業的裁縫”[1]，從小型家具到航空航天的尖端產品都有其大規模應用身影。根據 IFR 的報告，我國已成為全球最大的機器人市場，占有量達33%，世界傳統制造業也將從大批量單一化生產向小批量多元化生產轉型[2]，生產設備安全性需求將進一步提高。同時，制造業還將面臨高級技術工人的嚴重短缺問題，其中造船業90% 的工作仍依賴于人力。但它的出現有效解決了人口紅利不足、供需關系失衡、勞動密集型企業用工難、人力技術不濟等問題，使“一人一工位”的傳統模式逐漸轉變為“一人一條線”的智能制造模式。其多項核心技術廣泛應用于制造業，仿真技術經過多階段多層次的發展，已可從不同角度進行應用。

迄今為止，不同種類與構型的機器人應用各式的設計和分析求解方法，如邢紅輝等[3]、冷玉珊等[4]對串聯機器人完成了運動學仿真分析；程堂燦等[5]、薛良豪等[6]、黃旭楠等[7]均對特定型號與構型的焊接機器人進行了運動特性分析和軌跡規劃，在分析中他們均采用了運動學D-H 建模法，在求解上分別采用了迭代法、數值法與結合算法，對機械臂本體模型、運動軌跡、運動性能進行驗證分析并得出結論；朱志明[8]利用蒙特卡洛法求解了焊接機器人的工作空間；宮成[9]完成了礦用智能遙控搬運拖拽機器人研發；楊愷等[10]設計了一種巡線機器人，通過Matlab 仿真分析驗證了該機器人的合理性。

但目前此類拖拽式焊接機器人缺乏完整的仿真分析與實驗方案，現基于Matlab 對該機械臂進行完整的運動學分析，即MDH 參數建模、正逆運動學分析求解、模型驗證、軌跡規劃和工作空間分析。綜上所述，仿真技術作為機械臂核心技術中的重要保障與前提，對其制訂實驗方案是必要的。

1 機械臂工作流程與仿真

當前示教方式包括拖拽示教、遙控示教及示教盒示教，該型號機器人可在智能編程的基礎上結合拖拽示教。在實際生產中，拖拽示教具有操作簡單、靈活、高效、安全等優點，能夠在短時間內完成復雜任務，結合智能編程提升生產能力。該實驗對機械臂的運動方程進行分析求解，即處理運動學方程的表示與求解問題，分析求解過程中忽略外力的影響，最終獲取機械臂關節中心點與大地坐標系之間的位姿映襯關系，求解末端執行器與大地坐標系的運動學參數信息。

1.1 工作流程

拖拽式焊接機器人支持通過拖拽控制器移動示教，其系統內部的工作流程包括感知、規劃、控制和反饋等，拖動后各關節編碼器記錄位置信息，形成軌跡數據并儲存在計算機中。下次啟動時，在電機的運轉下機械臂關節軸會依次經過先前采集點，完成軌跡再現[11]。

工作前首先確保機械臂與工作總站處于安全狀態，其次檢查整體軟硬件的連接，如通信與機械安裝，然后選擇加工程序、調配技術參數，結合自動編程選擇拖拽示教。實驗開始前可選擇仿真分析與焊接模擬，前置工作準備完成后啟動自動焊接模式。實際生產中可根據需求采取機械臂工作模式下的策略、算法與數據庫，針對不同工況進行軌跡掃描與焊接工藝的選擇。最后檢查焊縫質量與焊接軌跡，將機械臂手動拖拽或自動回零，關閉電源清理工作區域，進行后續處理。具體工作示意如圖1 所示。

圖1 拖拽式焊接機器人工作示意圖

1.2 機械臂的構成

該拖拽式焊接機器人的構成主要包括基座（控制工程機）、機器人上下臂、關節模組（J1～J6軸）、末端工具法蘭、通訊與電源電纜、拖拽控制器。機械臂各關節軸中都配有獨立的伺服電機和編碼器。圖2 為拖拽式焊接機器人結構圖。

圖2 拖拽式焊接機器人結構圖

1.3 運動學模型的構建

針對該拖拽式焊接機器人使用改進DH（Denavit-Hartenberg）建模法建立運動學模型，該拖拽式焊接機器人的DH 參數見表1。建立過程中使大地坐標與笛卡爾坐標重合，建立的坐標系模型如圖3 所示。

表1 拖拽式焊接機器人DH 參數表

圖3 拖拽式焊接機器人D-H 模型圖

在拖拽式焊接機器人各軸心上建立坐標系，分析各軸間坐標系變化關系，通過矩陣進行表達與計算，得到基座到末端關節軸的總位姿矩陣。

2 運動學的分析求解與驗證

拖拽式焊接機器人運動學包含正、逆運動學兩方面，其本體為較復雜的非線性系統。在分析求解時，關節參數計算和運動學方程的推導較為繁瑣，其中分析求解可采用代數法、分離變量法、幾何法和迭代法等。該實驗采用迭代法求解，具體流程如圖4 所示。

圖4 運動學分析求解流程圖

2.1 正運動學分析求解

求運動學正解是在已知拖拽式焊接機器人的DH 參數與關節結構參數情況下，求解關節末端執行器對應的大地坐標系的位姿、速度、加速度等運動學參數。對其建立運動方程，又稱為機器人的運動分析。零點基坐標系與關節末端坐標系之間的轉換過程，用矩陣T表達：

式 中：Rot(z,θi)和Rot(x,αi)分別表示繞Z軸、X軸旋轉一定關節角度的變換矩陣；Trans(z,di)和Trans(x,αi)分別表示沿Z軸、X軸平移一定位置量的變換矩陣。

展開式（1）得：

齊次變換矩陣如下：

將齊次變換矩陣連乘得到如下矩陣：

式中：px、py、pz為空間向量，表示機器人在空間中X、Y、Z三軸位置形成的空間坐標點。代入機器人關節信息，對以上正運動學分析式展開求解，可求得唯一解。

式（5）和式（6）為化簡應用和角公式：

根據給出的D-H 參數，運用Matlab 得出T矩陣表達式，這里設d1=D1，a3=A2，d4=D2，d6=D3。其中 Si=sinθi，Ci=cosθi。式（4）中計算結果如下：

將機械臂D-H 參數表中關節變量值導入式（4），求得結果如下：

如圖5 所示，將X、Y、Z值對照運動學正解第四列結果進行對比，可見與之完全吻合。針對該關節變量值與位姿，現場結合拖拽示教與編程示教驗證了拖拽式焊接機器人正運動學求解的正確性。

圖5 關節模型與變量圖

2.2 逆運動學求解

對拖拽式焊接機器人求逆解，即在已給定其幾何參數與對應參考坐標系下預期位姿時，求解本體可達的關節變量，又稱為機器人運動的綜合。該部分采用牛頓-拉夫遜迭代法，限制實驗初始值求解非線性方程，運用函數計算雅可比，不斷進行迭代直至收斂。該方法具備求解連續且快速的優點，具體過程如下。

首先建立運動學非線性方程組：

式中：f(x) 表示機械臂正向運動學，Pd表示末端執行器期望位姿。

假設r為F(x)=0 的根，選取x0為r的初始近似值，通 過點 (x0,f(x0)) 作曲線y=f(x)的切線L，切 線與x軸存在交點，得到切線方程：

求出切線L與x軸的交點x1，以此類推，不斷求出切線L與x軸的交點直到無限接近于0，得到第k次的迭代公式為

式中：F′(xk)表示方程的雅可比矩陣。

在Matlab 中定義最大迭代步數與誤差閾值，定義當前關節角度為迭代起始角，得到非線性十二維單解方程組，即誤差方程組。運行迭代，得到雅可比F′(xk)，據式（14）推算出下一關節角度，并更新非線性方程，判斷達到最大迭代次數后退出while 循環，求出逆運動學最優關節角度。變換后的式（4）表達如下：

以上利用牛頓-拉夫遜迭代公式求解機械臂逆運動學，也可利用SVD 形式求解，它是一種求非方陣偽逆的計算方法。

通過運算得到的關節弧度與機械臂位姿經現場拖拽示教驗證，到達位姿與點位信息同計算結果完全一致。

2.3 運動學模型驗證

該部分選取了 3組實驗數據對拖拽式焊接機器人運動學算法的準確性進行驗證，3組實驗數據分別 為[π/3,π/2,0,0,0,0]、[π/3,π/2,π/4,π/4,π/6,0]、[π/4,π/6,π/3,π/3,0,π/6]。實驗中采取了兩種方式，其一為打開機械臂的自動模式，輸入期望關節角，手持并啟動拖拽器，協同拖動多關節軸與末端執行器使機械臂到達預期位姿；其二為調用上位機與機械臂通訊，采用編程控制與示教器示教工作。兩種方式均將位姿信息作為輸入，輸出運動學逆解，取得驗證結果一致，但拖拽示教在保持精度的同時節約了近一半的工作時間，且大大降低了操作難度。計算得出機械臂姿態，如圖6～圖8 所示，位姿矩陣與逆解最優值為

圖6 姿態1

圖7 姿態2

圖8 姿態3

對三組實驗數據完成了核算，保障了機械臂關節數據的有效性，進一步驗證了計算的正確性。

3 空間軌跡規劃與仿真

實驗分別采用了三次插值軌跡規劃算法與五次插值軌跡規劃算法，并且基于對速度與加速度的調節機制進一步對軌跡進行分析、差分與優化。具體流程圖如圖9 所示。

圖9 軌跡規劃流程圖

3.1 五次插值軌跡規劃

實驗中將機器人初始點與終止點的位置、關節角速度、關節角加速度作為限制條件，根據限制條件的數量使用五次插值軌跡規劃方法，配合限制角速度與角加速度的調節策略，限定的范圍見表2。

表2 五次插值方法參數限定表

將機器人模擬時間設為2 s，起始與終止角速度為0，起始點(-200,200,-50)，引導點(-150,100,-100)，終止點(-200,-50,75)，采樣點個數50。初始點關節值(2.317 1,2.317 1,2.488 8,-1.621 9,-2.218 4,0)，終止點關節值(-0.220 2,-0.220 2,2.066 5,-0.161 3,2.796 1,0)。采用五次多項式插值，函數表達式如下：

式中 ：v0為起始點關節速度；v1為終止點關節速度；a0為起始點關節加速度；a1為終止點關節加速度；T=t1-t0；h=q1-θ0，其中 θ0為起始點關節角度，q1為終止點關節角度。

圖10 包括機械臂運動軌跡圖、各關節軸運動性能曲線圖和機械臂模型圖，驗證了五次插值軌跡規劃方法的優越性。根據其中參數條件，拖拽式焊接機器人可達到一個連續且穩定的工作狀態。經規劃后提升了機械臂的操作空間，進而保障了其工作質量與效率，降低了故障率與危險發生率。

圖10 五次插值效果圖

3.2 三次插值軌跡規劃

三次插值軌跡規劃方法同樣適用于機械臂的軌跡規劃，采取調節策略，相關參數限定見表3。

表3 三次插值方法參數限定表

預實現單關節軸的平穩運行，應用三次插值軌跡規劃，函數表達式如下：

式中：v0為起始點關節速度，v1為終止點關節速度，T=t1-t0，h=q1-θ0，q0為起始點關節角度，q1為終止點關節角度。經運行，效果圖如圖11 所示。

圖11 三次插值效果圖

4 工作空間分析

求解工作空間的方法主要有數值法、圖解法和解析法三類，相比于其他方法，數值法求解方便且直觀，推算準確性好，不需要額外考慮機器人避碰等干擾問題，并省去了復雜且直觀性不強的數學模型分析求解。該部分采用蒙特卡洛法對工作空間進行求解。

4.1 蒙特卡洛法

蒙特卡洛（Monte Carlo）法作為一種重要的數值計算方法，其核心思想包括對問題的定義、采樣方法的選擇、目標函數計算方法的選取、評估采樣點的數量定義、工作空間的更新求解、終止條件的判斷，最終輸出反映實際情況的最優數值解，生成工作點云圖。該方法可自由控制計算精度與計算資源的平衡，實現加速求解，其自身具有靈敏度高、適用范圍大、高度并行化的特點。求解前可巧妙地規避問題的產生，處理高維問題優勢顯著，不受維度問題影響。運用時需對關節變量范圍進行限定，對樣本點數目進行綜合考量后選取，機械臂遍歷取值后生成正運動學方程解的空間向量集合，繪制點云形式的工作空間視圖。工作流程如圖12 所示。

圖12 工作空間分析流程圖

4.2 蒙特卡洛法全局分析求解

首先由拖拽式焊接機器人正運動學方程得到其終端執行器的空間位置向量。由式（4）終端位姿矩陣求得位置向量為

設置取點數為N=5 000，在Matlab 環境下調用Rand 函數定義(0,1)的均勻隨機數，生成隨機步長L：

隨機變量為

將式（25）求得的機械臂各關節變量隨機值代入正運動學方程求解，求得機械臂終端執行器在笛卡爾坐標系下的位置向量。設置迭代次數，按照采樣次數重復執行步驟，直到達到隨機樣本最大值，Matlab 根據點的收集形式輸出機械臂工作空間點云圖。

求解工作空間點云圖，XOY、YOZ、XOZ三個截面投影如圖13 所示。坐標軸軸向點云極限尺寸見表4。

表4 拖拽焊接機器人全局點云尺寸表

圖13 全局點云視圖

4.3 蒙特卡洛法限定分析求解

為了實驗更符合需求，在滿足焊接條件的同時縮短生產時間、提升生產性能、減少無效或重復空間占用，進行如下限定工作空間的分析求解。該部分采用拖拽示教掃描履遍工況信息，并結合編程與示教器示教對掃描后的工況進行二次檢查，拖拽過程中數據均實時精準地反饋至上位機。工況由底板、面板、腹板、立板、肘板、補板組成，單位均為mm，板厚均為10 mm，詳細尺寸如圖14 所示。

加裝工具焊槍與視覺模組后進行實驗，所涉用具如圖15～圖17 所示。

圖15 機械臂加裝實驗圖

圖16 加裝工具模型圖

圖17 拖拽器功能與構型圖

如圖15 所示，以工況左端點為零點坐標軸右端與上端為正方向。拖拽式焊接機器人具體實驗工作位姿與坐標點信息見表5。

表5 機械臂實驗信息表

綜上，實驗得到了最適宜的方案，機械臂到達工作起始點后將各軸旋轉極限限定，限定點云視圖如圖18 所示，坐標軸向點云極限尺寸見表6。

表6 拖拽式焊接機器人限定點云尺寸表

圖18 限定點云視圖

5 結語

該實驗基于Matlab 使用改進DH 法建系，完成了對拖拽式焊接機器人的運動學建模驗證、分析求解、軌跡規劃、工作空間分析求解。實驗過程中大地坐標與笛卡爾坐標重合，使用ZYX的歐拉角表現形式，得到了關節末端位姿與各關節角間的映襯關系。實驗結果充分證明了拖拽式焊接機器人的合理與穩定。

該實驗為后續研究和實際工作提供了理論基礎與重要數據支持。結合該實驗方案使用編程技術與拖拽示教，可事半功倍地解決實際問題。此工作方式兼備智能化與自動化的同時，達成了提升生產性能的最終目的，在減少產品成本消耗與縮短制造周期上產生積極影響?？苫谠搶嶒灧椒炞C并開發相應算法、系統及更具智能和柔性的機械臂，在實際應用中可將拖拽式焊接機器人的裝置拓展，從技術、系統及種類等方面，以不同形式應用在多行業環境中。