橋梁抗風型TMD對車-橋耦合振動系統減振性能研究

劉修平,王 濤,楊克煥,馮 宇,韓萬水

(1.長安大學 公路學院,西安 710064; 2.廣東華路交通科技有限公司,廣東 廣州 510000)

調諧質量阻尼器(tuned mass damper,TMD)是一種最為常用的被動控制系統。它是在結構物的上部或下部的某一位置上加上慣性質量,配合彈簧和阻尼器與主體結構相連接,通過調節其自振頻率與結構振動的某些振型頻率相一致,利用共振原理“吸振”的一種裝置。其構造簡單,安裝方便,易于后期維修養護,而且不依賴其余的外荷載激勵,這些優點都是其他控制方式無法比擬的,因此,在高層建筑、橋梁等結構的振動控制領域得到重視[1-3]。

目前,TMD系統在橋梁中的應用主要是來解決渦激共振、風致抖振以及地震等外界激勵荷載導致結構振幅過大的問題,并取得了良好的效果[4-5]。王志誠等[6]基于諧響應和時程分析研究了崇啟大橋的低頻TMD系統的設計方法和減振效果,為類似工程的渦激共振振幅控制提供了參考;文永奎等[7]研究了斜拉橋多階模態參與的分布式TMD系統的優化設計參數,通過風致抖振分析檢驗了其有效性;向越等[8]設計了黏滯阻尼與滯變阻尼同步作用的雙阻尼新型TMD,并將其應用于地震激勵的響應減振分析中,得到了良好的減振效果;不同于風和地震荷載引發的強動力效應,車致振動雖然不會影響到橋梁整體結構的安全性,但隨著橋梁結構形式的多樣化、橋面寬度、車輛速度和載重的不斷加大,由于路面或軌道的不平順,高速運行下的車輛對橋梁的往復性地沖擊作用也會導致橋梁構件的疲勞問題,縮短橋梁的使用壽命[9]。張新亞等[10]將TMD系統應用于高架軌道橋梁結構振動及振動噪聲問題的研究,并建立了列車荷載-軌道箱梁-TMD耦合動力分析系統,分析了不同頻段的結構振動加速度和減噪控制效果。劉廣波等[11]研究了適用于高速列車-橋梁減振的MTMD的選取方法和最優布置方案,并分析了引入TMD系統后對高速鐵路橋的扭轉性能改善的情況;王浩等[12]通過變化TMD的剛度和阻尼的取值,研究了安裝TMD對列車在不同運行速度下引起的振動的控制效果。

受TMD質量、振動行程要求和橋梁安裝空間的限制,常規公路橋梁梁體結構中安裝TMD的工程案例并不多見,既有建成公路橋梁用TMD的初衷仍然以抑制風致渦振為主,基于橋梁抗風型TMD工程實例開展其對汽車-橋梁耦合振動系統的減振研究相對較少。由于公路汽車的車型、車重、車速等信息差異性大,荷載隨機分布性強,使得車-橋-TMD之間相互作用機理的復雜性和不確定性不斷增加[13]。同時,傳統TMD設計方法在獲取多自由度被控結構模態質量方面的過程較為繁瑣。因此,本文首先結合有限元模型動力計算特點,提出了模態動能演化的多自由TMD簡化設計方法,引入Combin14彈簧單元建立了汽車-橋梁-TMD耦合系統,以經典質量彈簧案例分析了安裝TMD后對車-橋系統動力響應的影響,并進行了參數敏感性分析,依托某大跨鋼箱連續梁橋抗風型TMD工程實例,分析了車輛激勵下的TMD減振性能。

1 多自由度結構的TMD控制方法

1.1 受控模態的選擇與TMD布置

TMD系統由固體質量、彈簧、阻尼元件、導向系統和基座組成,是針對單個振動模態的一種被動控制方式,所以,在采用TMD系統進行振動控制前,需要先確定哪些振型參與了結構的振動。結構的振動行為通?？梢砸曌魇嵌鄠€振型的組合,振型的參與情況通常采用振型參與系數衡量,一般而言,低階振型的參與系數大,高階振型的參與系數小。

對于橋梁結構,梁體振型函數φ(x)通常表達為

φ(x)=A1sinαx+A2cosαx+A3sinhαx+

A4coshαx

(1)

式中:x為沿著梁長方向的坐標;A1、A2、A3、A4和α為常數,可由梁振動的初始條件確定。

以簡支等截面結構為例,其他大跨復雜橋梁與之類似,引入邊界條件φ(0)=0、φ″(0)=0后,式(1)變為

(2)

式中:l為梁長;A1為常數,且不影響函數變化規律。

反映到振型上,得到簡支結構的前三階模態振型如圖1所示。

(a)

根據固有振動的振型疊加原理,把式(2)中的A1歸入Cn,那么,可進一步得到梁體任意時刻和位置的振動響應時變函數為

(3)

因此,在選用TMD作為振動控制時,其最優布設位置當選在所選模態振型的峰值處,以實現最大限度減振的目的。

1.2 動能演化的模態質量計算

多自由度結構TMD系統控制設計時,則需借助“等效關系”將多自由度結構轉換成單自由度進行結構減振設計[14]。在結構離散后的j節點處引入TMD后,結構的振動方程可以表達為

(4)

式(4)通過振型分解,可以推導出結構的第i階振型對應的振動方程

k(x-Xj)]=Fi

(5)

式(5)與單自由度被控結構-TMD系統的振動方程形式一致。只需將結構的質量、剛度和阻尼換成第i階振型對應的模態量即可。

根據細長結構有限元模型動力計算分析的特點,采用集中質量法離散結構質量,那么,模態質量為

(6)

式中:Mi為第i階模態質量;N為節點總數;mj為第j個節點的集中質量;Ixj、Iyj和Izj分別為第j個節點的x、y和z方向的轉動慣量;uxij、uyij、uzij和rxij、ryij、rzij分別為x、y和z方向的平動和轉動方向的歸一化振型。

然而對于建立的有限元模型來說,用式(6)直接計算模態質量時,提取節點質量和節點振型的工序較為繁雜,為方便起見,可以改用提取動能的方式,利用推演的公式計算其模態質量。根據動能定理

E=0.5VTMV

(7)

引入單位矩陣I=ΦΦT,并將速度矩陣V用Φω代替,則式(7)可表達為

E=0.5(Φω)T·ΦMΦT·Φω

(8)

進而可以推導出

E=0.5ωTMω

(9)

式中:Φ表示模態振型;ω為模態的圓頻率;M為模態質量矩陣。

那么,對于第i階模態質量Mi,由動能公式推演到的求解方式如下

(10)

式中:Ei為第i階模態主梁振動的動能,可在模態分析后直接提取得到;ωi為第i階模態對應的頻率。

1.3 設計參數的閉式表達[15]

在確定結構關鍵振型的模態質量后,可以通過質量比的概念對于TMD進行參數設計。Den Hartog給出的簡諧荷載無阻尼振動情況下的TMD設計參數為

(11)

式中:u為TMD質量與結構模態質量的比值,一般0.5%

Warburton給出了白噪聲激勵下的TMD設計參數為

(12)

Den Hartog和Warburton的簡化分析公式是解決橋梁TMD魯棒性設計和優化的有效公式。在已有的工程實踐應用中,更傾向使用Den Hartog公式。

在此基礎上,進一步確定TMD的設計剛度kd和阻尼cd為

(13)

2 車-橋-TMD隨機振動耦合分析系統建立

2.1 耦合系統運動方程

根據結構動力學理論,車橋耦合系統的動力方程可表示為[16]

(14)

式中:M、K、C、Z、F分別為質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、豎向位移以及車橋間作用力;下標v、b分別表示車輛和橋梁子系統。

當橋梁中有其他附屬裝置時,如TMD系統等時,需要更新橋梁的剛度、阻尼和質量矩陣,保持車輛系統與之分離。假設在橋梁的第i個自由度處設置TMD系統,按有限元直接剛度法,建立橋梁-TMD系統耦合振動方程為

(15)

2.2 TMD在有限元中的模擬方法

在采用有限元方法進行結構分析時,TMD的彈簧、阻尼元件和導向系統可以采用彈簧單元模擬,Combine14支持彈簧剛度和阻尼的輸入,具有平動和扭轉兩種屬性,每個節點有3個自由度,在箱室內部,由于導向系統的限制作用,TMD系統只能沿著豎向方向運動,在模擬時只需開啟平動屬性中的豎向平動即可;固定質量則用質量單元Mass21來模擬,Mass21單元有3個轉動和3個平動,共6個方向的自由度,這里由于導向系統的限制,只有平動特性,不考慮扭轉質量;基座由于固定在箱梁頂或者底部,只需將Combine14的一端與箱梁位置處共節點即可,TMD實際的行程位移即為自由質量點位移與橋上固結點的位移之差,典型的TMD裝置及采用的有限元分析單元形狀如圖2所示。

圖2 TMD系統有限元模擬

2.3 車-橋-TMD系統的時域求解

為提升橋梁三維動力分析軟件BDANS對TMD計算的兼容性[17],在有限元分析模型階段中對照Combin14單元定義和參數賦值特點,按式(14)將其引入BDANS的橋梁有限元模型質量、剛度和阻尼組集模塊,從而形成橋梁-TMD子系統。由于橋梁模型的自由度相對TMD數量差距很大,所以通過有限元直接剛度法集成的橋梁-TMD體系的計算效率與引入前相差并不大?？紤]TMD的車-橋耦合振動系統時域求解流程如圖3所示。

圖3 車-橋-TMD系統計算流程

首先,根據已有信息分別建立汽車與橋梁-TMD兩個子系統分析模塊;其次分別建立汽車和橋梁-TMD各自的運動方程,并通過車輪與橋梁結構接觸點處的位移協調條件和車橋之間的相互作用力的平衡關系,將兩個子系統有機結合起來;將橋梁-TMD系統和車輛動力方程通過Newmark積分進行分離迭代計算,以橋梁位移是否收斂以及車輛是否全部出橋作為判斷條件,滿足判定條件后開始下一時刻的計算。滿足計算設定時間步后,輸出橋梁、車輛及TMD的時程計算結果。

3 算例分析

3.1 模型參數

以經典單自由度移動彈簧質量過簡支梁模型為研究對象[18],如圖4所示。分析車-橋-TMD耦合系統振動特性。其中,彈簧質量5.75 t,重力加速度取9.81 m/s2,豎向剛度1.595×106N/m,前進速度27.78 m/s,不考慮粗糙度的影響。

圖4 經典質量彈簧計算模型

計算得到簡支梁模型的前三階豎向模態頻率分別為4.78、19.11和43.00 Hz。對應的模態動能分別為1.297×107、2.075×108、1.051×109J,以1階豎彎作為控制振型,根據Den Hartog方法進行TMD設計,橋梁參數以及TMD設計參數如表1、2所示。

表1 橋梁特性參數

表2 TMD設計參數

3.2 計算結果

圖5為TMD安裝前后橋梁跨中豎向位移和加速度的變化情況。

(a) 跨中豎向位移時程

由圖5可知:考慮車橋耦合后,彈簧質量塊過橋時產生了沖擊效應,0.3～0.6 s時間內豎向位移出現了較為顯著的波動。引入TMD后,跨中位移峰值有所減小,但并不明顯。相比之下,TMD使得車橋耦合效應引起的跨中振動速度幅值明顯下降,荷載在橋上的最大豎向振動加速度峰值降低約33%。因荷載下橋時所引起的橋梁激振特別明顯,所以在0.9 s附近的TMD減振效果更為顯著。

圖6為TMD安裝前后車體振動加速度的變化情況,對于單自由度模型,車橋接觸力的變化與加速度趨勢一致。由圖6可知:安裝TMD能夠起到降低車體振動加速度和減小車-橋峰值作用力的效果。車體振動峰值加速度最大降幅約為18%,同時,TMD對車體振動的影響并非在車輛上橋瞬間開始,而是隨著車輛的前進逐步凸顯。

圖6 車體加速度時程曲線

3.3 參數敏感性分析

考慮到車輛荷載作用下的撓度由靜撓度和沖擊效應2部分組成,為揭示TMD行程曲線與車-橋耦合動力效應之間的相互關系,定義t時刻TMD質量塊的相對運動位移為δTMD(t)

δTMD(t)=zb(t)-zm(t)

(16)

車-橋動力效應引起的位移為Δzb(t)

Δzb(t)=zd(t)-zbs(t)

(17)

式中:zb為TMD與橋梁結構連接點在t時刻的動撓度;zd、zbs分別為橋梁計算點t時刻對應的動撓度和靜撓度;zm為TMD質量點在t時刻的動位移。

圖7為TMD行程曲線δTMD、車-橋系統以及車-橋-TMD系統動力效應引起位移的對比曲線。由圖7可知:TMD行程相位與車輛動力效應引起的位移時程相差約1/4個振動周期,TMD的振動相對滯后。對比安裝TMD前后的豎向位移峰值可以發現:TMD行程幅值與減振效果呈現明顯的正相關特點,即行程幅值越大對車-橋動力效應引起的振動減振效果越好。因此,TMD車致振動的減振效果的關鍵在于如何在行程限值內提高TMD隨動幅值。

圖7 TMD行程與動力效應位移時程曲線對比

由于車-橋耦合引起的激振效果受路面粗糙度、車輛荷載和通行速度的影響較大,為此,圖8給出了車輛在不同通行速度、質量及路面粗糙度等級情況下的TMD行程計算結果?？紤]到TMD行程符合正負交替的振動特點,這里選用特征量的均方根(root mean square,RMS)值和瞬態峰值(maximum transient vibration value,MTVV)作為減振效果評價,計算結果中不考慮車輛下橋瞬間所引起的動力沖擊效應。

圖8 不同變量的影響分析

由圖8可知:隨著車速增加以及質量增大,TMD的行程峰值和RMS均相應增加,總體呈現正相關的特點。由于路面粗糙度是通過PSD頻譜用隨機過程的形式描述,所生成的粗糙度數據具備較強的隨機性。因而,路面粗糙度的影響較為不同,在路面粗糙度等級由A下降為B時,TMD行程峰值和RMS值均出現了明顯的增加,增幅約2.0倍,而由等級B繼續下降時,RMS值的增幅幾乎為0,路面等級C時的TMD行程瞬時峰值略低于等級B。

4 工程應用

4.1 工程背景

某深水區非通航橋孔采用5×110 m鋼箱連續梁,橋面寬33.1 m、高4.5 m,雙向六車道高速公路,設計時速100 km/h。由于鋼箱梁跨度大,固有振動頻率較低,為降低外界激勵,尤其是渦振所引發的橋梁振動[19-20]。因此,在相應的跨中設置了TMD減振裝置。

橋梁孔跨布置及安裝TMD的主梁鋼箱標準斷面如圖9所示?？紤]實橋風洞實驗的渦振測試結果,將該橋的一階豎彎作為受控振型,并據此按前述方法進行抗風TMD參數設計。將TMD對稱布設在結構第2跨和第4跨,每跨間隔布置4組,其中,單個TMD上限質量取4 500 kg、阻尼比取6%,調頻范圍為0.72～0.89 Hz,行程限值為±0.3 m[21]。

圖9 橋梁斷面及孔跨布置

4.2 橋梁動力特性分析

建立5×110 m鋼箱連續梁有限元模型,其中,結構縱梁、外伸剛臂和橋墩結構采用空間梁單元模擬,TMD則采用線性彈簧和質量單元模擬,邊界條件為墩底固結、墩梁采用耦合方式聯結。

采用蘭索斯法分析原橋梁結構前三階豎向振動模態,如圖10所示。從振型結構上分析,橋梁結構的前2階豎彎呈現典型的鄰跨反對稱特性,說明第2跨和第4跨在車輛荷載激勵下容易發生二次激振。

(a) 一階豎彎0.80 Hz

4.3 諧響應分析和動力時程分析

諧響應分析是驗證安裝TMD后是否能克服共振、疲勞以及其他受迫振動的有效手段。針對線彈性結構,諧響應分析是以按正弦(簡諧)規律變化的載荷作為激勵,計算得到出結構穩態受迫振動下對應幾種頻率的頻響曲線,從而方便于直觀地預測結構的持續性動力特性。以第3跨跨中為分析對象,圖11給出了安裝TMD減振系統前后的諧波響應振幅變化規律。由圖11可知:TMD的介入顯著降低了橋梁結構由1階豎彎主導的振動幅值,而對高階豎彎幾乎沒有影響,由于二階豎彎對應的跨中峰值較小,所以并未諧波激振中頻幅圖中顯示。

圖11 安裝TMD前后的頻幅曲線

圖12為安裝TMD減振系統后,TMD與主梁跨中各自的頻幅響應曲線。由圖12可知:在主梁1階豎彎頻率附近,TMD的響應幅值遠大于橋梁跨中區域,而在其他頻率范圍內,TMD雖然會跟隨主梁振動而運動,卻振動幅值遠小于主梁,難以發揮出減振的效果。另外在同頻共振區段,TMD行程幅值達到最大,應當關注是否超過行程限值。

圖12 TMD與主梁的頻幅變化

為彌補諧響應分析不能考慮激振開始時的瞬態振動的特性,圖13為時域內往復激勵荷載作用下的橋梁振動和衰減分析結果。由圖13可知:在安裝TMD后,結構受往復激振后的峰值出現了明顯的減小,減振效率約為50%。同時,鋼箱自由振動衰減過程時間大幅度較小,等效阻尼比由原來的0.3%提升至3.3%,顯著提高了結構的穩定性。

圖13 安裝TMD前后的時域振動曲線

4.4 車輛荷載下的減振效果

結合彈簧質量-TMD-橋梁系統振動分析結果,為充分突顯車輛對橋的激振作用,以兩輛車三軸重車并行作為典型工況,車速80 km/h,車輛信息及布置如圖14所示?？紤]路面粗糙度級為B,分析安裝TMD對車輛通過橋梁振動特性的影響。

圖14 雙重車激勵布置工況

圖15為車輛通行過程中TMD的行程曲線。由圖15可知:TMD的行程峰值分別在車輛剛抵達第1跨跨中時刻和抵達第3跨跨中時刻,此時的第2跨橋梁結構皆發生了上撓。隨著車輛駛入第2跨跨中,TMD振幅開始逐漸減小,減振效果減弱,在車輛駛離跨中到進入第3跨中過程中,TMD的振幅又逐漸增大。這是由于連續梁橋一階豎彎振型的鄰跨反對稱性,使得第2跨容易出現反向激振,這也反映出TMD的減振作用的發揮也依賴激勵的方向。對大跨橋梁而言,車輛的沖擊效應在靜位移附近的波動并不顯著,所以峰值位移處的減振效果并不理想。

圖15 第2跨中TMD行程

圖16、17分別為跨中安裝TMD前后橋梁跨中豎向位移和跨中豎向振動加速度的動力響應時程變化曲線。由圖16可知:相比于靜力影響線,考慮路面粗糙度的車-橋耦合振動引起了一定的動力沖擊效應,第1跨和第3跨的跨中最大豎向撓度的響應被“放大”。相對而言,橋梁小位移時段和發生上撓位移時段內的車-橋耦合引起的沖擊效應更明顯?？傮w來看,安裝TMD對位移峰值有減小趨勢,但不明顯。由圖17可知:安裝TMD對橋梁加速度的控制效果更為突出,原有豎向振動加速度峰值大幅度降低。

(a) 邊跨跨中

(a) 邊跨跨中

事實上,由于大跨橋梁低頻振動的特性,使得車-橋耦合的沖擊效應有一定程度的緩沖和減弱,要準確分析TMD對位移的影響還需分離時程位移中的動力成分進行單獨研究。表3從沖擊系數的角度出發,對比分析了安裝TMD對車-橋沖擊效應的影響情況,同時,考慮到加速度正負交替的振動特點,對比了安裝TMD前后橋梁豎向振動加速度均方根(RMS)變化情況,其中U1-U3、A1-A3分別為每跨跨中位移和振動加速度。

表3 安裝TMD對橋梁結構位移和加速度的影響

由表3可知:考慮車橋耦合的最大沖擊系數為8.4%,出現在第3跨的跨中,相對略高于規范給出的5%,安裝TMD后,沖擊系數降至5.5%,降幅為2.9%,說明安裝TMD對車-橋耦合引起的位移中的動力成分有一定的削弱。而由于第1跨和第2跨的車-橋耦合沖擊系數本身較小,安裝TMD并未產生較大改變。對于因一階鄰跨反對稱導致的上撓位移,如果按照沖擊系數的概念分析,最大沖擊系數仍然出現在第3跨跨中,安裝TMD后動力效應降幅為4.3%。相比對位移的影響,安裝TMD后橋梁前3跨跨中的加速度RMS值均顯著下降,降幅皆在20%左右。

5 結 論

推導了基于動能演化的多自由度結構的TMD控制方法,基于BDANS軟件引入Combin14單元建立了車-橋-TMD耦合動力分析系統,分析了經典彈簧質量-簡支橋梁模型和5×110 m鋼箱連續梁安裝抗風型TMD后的車-橋系統振動響應的變化。得到以下結論:

(1) 安裝TMD對車、橋2個子系統的振動特性均產生一定的影響,使得車-橋耦合效應引起的橋梁振動加速度瞬態極值明顯降低,同時,車-橋接觸力瞬態峰值也有所下降,車體振動加速度減小。

(2) 穩態受迫振動下,在受控頻率附近,TMD的響應幅值遠大于橋梁結構,此時更應關注TMD行程限值。瞬態激振下,安裝TMD的結構等效阻尼比由原來的0.3%提升至3.3%,結構的穩定性顯著提高。

(3) 由于連續鋼箱橋梁低頻振動的特性,大跨橋梁抗風型TMD對車致振動位移的影響并不明顯,但大致服從正相關,即沖擊系數越大,減振越明顯。相比位移,安裝TMD對橋梁振動加速度RMS值抑制更為顯著。

(4) 對大跨鋼橋而言,車輛荷載的沖擊效應并不明顯,TMD的作用效果很大程度依賴于是否受到了反向激勵,這就使得TMD的減振效果與橋梁結構低階豎彎模態振型特點相關聯,一階豎彎鄰跨反對稱的振型更容易激起TMD,使之發揮減振作用。