大型汽輪發電機定子端部繞組物理參數識別及數學模型建立方法研究

趙 洋,劉晉琿,肖 洋,鄧聰穎,馬 瑩

(1.重慶郵電大學 先進制造工程學院,重慶 400065; 2.重慶郵電大學 高等科學研究院,重慶 400065;3.西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室,西安 710049)

近年來,隨著電能需求的急劇增加,大型汽輪發電機的最大容量已提升至上千兆瓦,導致其定子端部繞組的振動問題日益嚴重。對于二極汽輪發電機,當端部繞組固有頻率接近100 Hz時,可能會發生共振現象。此外,隨著發電機組的運行,定子端部的連接緊固件可能出現連接松動,這將導致端部整體結構的質量和剛度發生改變,端部的固有頻率會隨之變化。以上情況都對大型汽輪發電機的安全運行造成威脅,因此深入掌握定子端部繞組的動力學性能至關重要。

國內外大量學者針對發電機定子端部繞組振動問題開展了大量的理論與試驗研究,取得了顯著成果。推導出端部繞組在不同工況下的磁場分布和電磁力的表達式[1-2],并建立了端部繞組的簡化振動分析模型,得到了電磁力作用下的振動響應[3-5]。王益軒等[6-9]則通過對線棒、壓板等主要構件進行近似建模,建立簡化的端部繞組有限元模型研究其動力特性,并考慮了不同結構參數變化對端部繞組固有頻率的影響規律;Iga等[10]建立了一種將線棒等效處理為復合材料的端部繞組精細化模型,并將該模型用于分析定子端部繞組的固有頻率。趙洋等[11-12]在前期工作中建立了600 MW汽輪發電機端部繞組的精細有限元模型,并研究了端部結構在電磁力作用下的變形和應力響應,最后通過參數化研究提出了端部繞組的優化方案。陳力飛等[13]通過靈敏度計算分析了1 200 MW汽輪發電機定子繞組端部各結構的材料參數和幾何參數對端部固有頻率的影響。楊昔科等[14-15]沿用有限元方法建立數字化模型研究不同型號電機端部繞組的動力特性,其仿真計算結果與試驗結果一致。Hu等[16]根據有限元等效模型和模態試驗得到的模態參數推導出線棒的等效正交各向異性的材料參數。Lange等[17-18]對線棒的銅芯和絕緣層采用單獨的材料模型,從而建立端部繞組的有限元模型,并基于此模型研究了溫度對定子端部振動的影響。近期,Zhao等[19]采用近似模型方法研究端部繞組的典型固有頻率值預測方法。

綜上,學者們針對定子端部繞組的動力特性主要研究思路包括:①建立端部繞組的有限元模型,采用計算模態方法評估動力特性;②針對樣機進行離線試驗模態分析,得到端部繞組的模態參數。暫未查閱到對端部繞組的物理參數展開深入研究的相關內容。

結構的物理參數不僅是評估損傷和可靠性的直接應用參數,也是構建數學模型的必要元素。因此本文基于結構的頻響函數,提出一種利用最小二乘復頻域法識別模態參數,再由模態參數修正集中質量法獲取的物理參數,從而建立結構數學模型的方法。該方法不僅能夠準確地反映端部繞組的動力學特性,同時可指導后續端部繞組進行結構優化和損傷鑒別。本文研究方法流程圖如圖1所示。

圖1 研究方法思路流程圖

1 最小二乘復頻域法識別模態參數

1.1 極點和留數估計

對于一個多輸入多輸出系統(multi-input multi-output,MIMO),輸入量為Ni,輸出量為No。頻響函數的第o行(o=1,2,…,No)可以表示為

Ho(ω)=Bo(ω)A-1(ω)

(1)

式中:Ho(ω)為頻響函數的一行;A(ω)為分母矩陣;Bo(ω)為分子矩陣;Bor、Ar分別為待估計參數;n為系統擬合計算階次;Ωr(ω)為基函數。其表達式如下

Ωr(ω)=e-ωΔt×rj,ω=2π(f-fmin),

(2)

式中:Δt為識別頻段的頻率分辨率;f為離散頻率。

利用最小二乘法求解擬合的頻響函數與測量的頻響函數之間誤差最小時,可得到如下方程

(3)

式中:J為雅可比矩陣;JH是J的共軛轉置矩陣;θ、βo、α、Ro、So、To均為參數變量,有如下定義

Yo=

(4)

將式(3)中前No行得到的βo代入式(3)中最后一行得到縮減的正則方程M[20]

(5)

同時將分母系數最高項An限制為單位矩陣,得到分母系數α的解為

α=

(6)

當分母系數求解完成之后,對伴隨矩陣AC進行特征解可得

(7)

極點λi=e-pi·Δt在Λ的對角線上,便可得到相應的固有頻率與阻尼比;模態參與因子γ對應于V的最后Ni行。振型則可通過以下公式估計

(8)

(9)

式中:s為拉普拉斯變量;Ar為頻響函數的留數。

1.2 模態振型求解

在試驗模態分析中,依據留數可得到系統的模態振型。留數在第r階模態展開時

(10)

留數大小可以通過擬合測得的頻響函數得到,當有驅動點的數據時

(11)

式中:aiir為留數矩陣元素;uir、ujr為振型元素。

以模態質量歸一化法為例,其中mr=1可以得到以下關系

(12)

從式(12)可以得出:對于實模態,留數為純虛數,并且驅動點的留數虛部是非正數。

(13)

為保證此解滿足留數的基本特性,對等式設置兩個約束條件:第一個約束條件是留數為純虛數;第二個約束條件是驅動點的留數虛部是非正數。

將上述兩個約束條件代入頻響函數進行求解,具體的求解過程如下

(14)

(15)

接下來再根據差值進行高低階殘余項的求解

(16)

2 物理參數識別及數學模型建立

2.1 集中質量法離散結構

實際的工程結構大多數為連續系統,通?？捎眉匈|量法近似為多自由度系統。如圖2(a)所示,對于固支梁結構可分成8段,將其離散為7自由度系統。根據質量影響系數和柔度影響系數便可得到離散后系統的質量和剛度矩陣。同理,對于端部繞組結構,可將其近似簡化為圓錐殼結構[21],可沿徑向方向平分成n等份梯形塊,再將每一塊的質量均分到4個節點上,若小徑端被固定且僅考慮大徑端的徑向振動,那么圓錐殼便可離散成n自由度系統,其離散及力學模型簡圖如圖2(b)所示。

(a) 固支梁

2.2 根據模態參數修正物理參數及數學模型建立

采用集中質量法計算得到結構質量和剛度矩陣可能會產生較大的誤差。本文利用文獻[22-23]中提出的一種帶加權因子的由不完全模態測量數據同時修正質量矩陣與剛度矩陣的方法。

該修正方法中將集中質量法獲取的質量矩陣Ma、剛度矩陣Ka以及模態參數識別的固有頻率平方矩陣Ω2、模態振型Φ作為輸入數據,對Φ進行QR(正交三角)分解,得到:

(17)

式中:Q=[Q1Q2];R為非奇異矩陣。

接著計算Ma11、Ma12、Ka11、Ka12和矩陣Z,即:

Z=R-TΩ2RT

(18)

考慮到質量矩陣的數量級遠小于剛度矩陣的數量級,選取一個較小的加權因子μ后計算ΔM12得到

ΔM12=(IS+μZTZ)-1(Ma12+μZTKa12)-Ma12

(19)

通過計算ΔMOPT和ΔKOPT得到第一次修正后的M=Ma+ΔMOPT、K=Ka+ΔKOPT,其中ΔMOPT和ΔKOPT的計算公式如下

ΔKOPT=

(20)

上述計算流程已經獲取了修正后的質量和剛度矩陣,而阻尼矩陣則由模態阻尼矩陣與振型之間的關系計算得到。對矩陣M-1×K進行特征值分解后可以得到修正后的簡正振型ΦN,模態阻尼矩陣Cq和阻尼矩陣C分別為

Cq=diag(2ω1ξ1,2ω2ξ2,…,2ωnξn)

(21)

利用得到的質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣建立多自由度系統的數學模型。通過求解該數學模型獲取發電機定子端部繞組的頻響函數,將發電機定子端部繞組所受外力作為該數學模型的輸入,可預測待測結構的響應,該數學模型表示為

(Ms2+Cs+K)X(s)=F(s)

(22)

由于僅考慮結構振動的實模態,因此將C設為對角陣。此時,各個矩陣滿足正交條件

ΦTMΦ=diag(mi)

ΦTKΦ=diag(ki)

ΦTCΦ=diag(ci)

(23)

式中,mi、ki、ci分別為模態質量、模態剛度和模態阻尼系數。

為了驗證識別的物理參數和數學模型的準確性,將數學模型求解得出的頻響函數與測試的頻響函數進行對比驗證,采用如下的匹配度進行評判

(24)

3 方法的可行性分析

建立與圖3(a)中所示的固支梁對應的有限元模型,其中梁的參數:楊氏模量E=2.1×1011Pa,密度ρ=7 850 kg/m3,長度l=0.75 m,截面為矩形,寬度a=0.04 m,厚度t=0.004 m。采用有限元軟件ABAQUS對其進行模態分析并與圖3(b)中的錘擊試驗進行對比驗證模型的準確性。進一步對固支梁進行諧響應分析,設置全局阻尼為0.02。對測點3施加單位正弦力F進行y方向激勵,掃頻范圍為20～250 Hz,得到各測點y方向的加速度響應,如圖4所示。

(a) 仿真試驗示意圖

圖4 固支梁測點1～7加速度頻響函數

采用“單點激勵多點響應”方法(SIMO),利用最小二乘復頻域法對固支梁hi3的加速度頻響函數識別的穩態圖結果如圖5所示,其中標示點‘s’表示該極點為穩定極點。將識別出的固有頻率和阻尼比與有限元結果進行對比,如表1所示?？梢?固支梁的固有頻率和阻尼比的識別結果與有限元計算結果十分接近,僅固有頻率存在誤差,最大誤差為0.03%。

表1 固支梁識別的固有頻率和阻尼比與有限元結果對比

圖5 固支梁hi3加速度頻響函數識別情況

進一步將識別的振型與有限元計算的振型進行對比,如圖6所示。結果顯示,識別出的模態振型與有限元振型一致。

(a) 第1階模態(f=37.80 Hz)

采用集中質量法將固支梁離散成7自由度系統。利用質量影響系數,得到質量矩陣如下

同樣地,利用柔度影響系數,得到剛度矩陣為

利用集中質量法計算得到固支梁的固有頻率與有限元計算的固有頻率對比如表2所示?？梢钥闯?固有頻率的階數愈高計算誤差愈大。整體來看,由于固支梁結構簡單,利用集中質量法能夠獲取較高精度的模態參數,但仍可通過修正進一步提高精度,該方法應用于復雜結構時效果更加明顯。

表2 固支梁集中質量法計算的固有頻率和有限元結果對比

基于固支梁模態參數,選用加權因子μ=1×10-6,通過修正后可得質量、剛度和阻尼矩陣分別為

修正后,質量矩陣非對角線上的元素不全為0,這說明原模型存在慣性耦合。根據修正后的矩陣建立固支梁的數學模型,重新計算固支梁的固有頻率,與有限元結果對比如表3所示。圖7是修正物理參數后的數學模型所得到測點1～7的位移頻響函數與原位移頻響函數的對比結果,匹配度均達到了99%。

表3 固支梁數學模型計算的固有頻率和有限元結果對比

圖7 固支梁數學模型計算的位移頻響函數和有限元結果對比圖

通過表3和圖7可見,數學模型計算得到的固有頻率和頻響函數均與有限元模型結果高度一致?？芍拚蟮奈锢韰岛侠砜煽?且數學模型能準確反映固支梁在20～250 Hz頻率段中的動力學性能,證明了本文提出方法的可行性。

4 定子端部繞組物理參數識別及數學模型建立

筆者前期已經建立600 MW汽輪發電機定子端部繞組有限元模型,其邊界條件及單元劃分如圖8所示。通過ABAQUS進行模態分析,同時為了驗證模型的準確性也在相同機型出廠時進行了錘擊試驗。試驗采用PCB公司錘擊力錘和加速度傳感器,多點激勵單點響應并用南京安正模態分析軟件進行分析,現場如圖9所示。將求解的端部繞組各階模態與實測結果進行對比,如圖10所示。

(a) 邊界條件

圖9 樣機模態試驗實測現場

圖10 定子端部繞組有限元模態振型與實測振型對比圖

由圖10可見,ABAQUS計算的端部繞組的固有頻率與實測的固有頻率十分接近;由于實測傳感器數量及噪聲問題,兩者得到的振型存在細微差別,能夠證明有限元模型的合理性、可靠性。

在提取結構的頻響函數時,由于端部繞組具有對稱性,且本研究主要關注其徑向振動,所以在端部繞組半圓周的鼻端處布置11個測點,如圖11所示。

圖11 整體繞組的測點布置

在測點1施加沿徑向的正弦單位力進行激勵,輸出測點1～11的徑向加速度響應,掃頻范圍為75～115 Hz,得到各測點的頻響函數hi1(i=1,2,…,11)如圖12所示,各頻響函數用于后續模態參數識別。

圖12 定子端部繞組測點1～11加速度頻響函數

對端部整體繞組的hi1徑向加速度頻響函數進行識別,識別結果如圖13所示。

圖13 整體繞組hi1的徑向加速度響應識別情況

識別出的各階模態的相應的振型對比如圖14所示。固有頻率和阻尼比與有限元結果的對比結果示如表4所示。由圖14和表4可知,識別出的固有頻率、阻尼比以及模態振型與有限元計算結果均一致,其中固有頻率和阻尼比的最大誤差出現第1階模態中,分別為0.27%和0.50%,再次證明模態參數識別方法的準確性。

表4 端部繞組識別的固有頻率和阻尼比與有限元結果對比

圖14 端部繞組有限元振型與模態識別振型對比圖

為了進行更深入的研究,根據集中質量法將端部繞組離散成11個測量自由度的多自由度系統,其離散過程與2.1節中圓錐殼的離散過程一致。利用質量影響系數法獲得質量矩陣,結合圖11中的有限元模型獲取柔度矩陣。在模型中的1號節點上施加單位力,提取其余各個節點上的位移值就得到了相應的柔度系數fi1,重復上述操作可得到全部柔度系數,根據剛度矩陣與柔度矩陣的互逆性,便可得到系統簡化的初始剛度矩陣。端部繞組系統的質量矩陣和剛度矩陣分別如下

將集中質量法計算得到的定子端部繞組三個典型模態的固有頻率及其對應的振型與有限元結果進行對比,如表5所示。結果顯示,只有橢圓型模態對應的固有頻率誤差相對較小,為4.45%;而對于三瓣型模態,集中質量法計算的結果均小于有限元結果,且誤差已接近20%;同時模態振型也存在較大差異。這是由于質量的集中方式和剛度等效代換的隨意性導致的。

表5 端部繞組集中質量法計算的固有頻率與有限元結果對比

接下來,基于2.2節中的方法,利用75～115 Hz頻率段中識別出的模態參數對質量集中法的質量和剛度矩陣進行修正。

得到修正后的質量矩陣、剛度矩陣以及阻尼矩陣分別如下

最后利用修正后的物理參數建立端部繞組的數學模型,將數學模型計算得到的三個典型模態的固有頻率及其對應的振型與有限元結果進行對比,如表6和圖15所示。此外,使用數學模型計算出端部繞組的徑向位移頻響函數,測點1作為激勵輸入點,激勵為單位正弦力,輸出測點1、4、6、8、11的位移響應,與有限元計算的頻響函數對比如圖16所示,受結構模態振型影響各頻響函數峰值并不一致,相應的頻響函數匹配度如表7所示。

表6 端部繞組數學模型計算的固有頻率與有限元結果對比

表7 端部繞組數學模型計算的位移頻響函數和有限元結果匹配度

圖15 整體繞組數學模型計算的模態振型與有限元結果對比圖

(a) h11徑向位移響應

由圖16和表7可知:修正后建立的數學模型和有限元模型計算的固有頻率最大誤差僅為0.27%,兩者振型一致;兩者計算的頻響函數在高階截斷處誤差稍大,固有頻率附近的頻響函數誤差較小,其中測點4的匹配度最小為76%,測點8具有最高匹配度為95%,多數測點的匹配度達到85%以上,能滿足實際工程需求。上述內容可證明本文識別出的端部繞組物理參數準確性以及建立的數學模型能夠準確反映定子端部繞組在75～115 Hz頻率段中的動力特性。

5 結 論

本文基于結構的頻響函數,提出利用最小二乘復頻域法識別模態參數,進一步用模態參數修正由集中質量法獲取的物理參數,最后根據物理參數建立符合結構響應的數學模型的方法。

(1) 在簡支梁模型上驗證了該方法的可行性,結果顯示修正后的數學模型能夠準確描述結構的動力學特性。

(2) 對600 MW汽輪發電機端部繞組精細數字化模型進行頻響函數提取,從中識別出的模態參數與有限元結果十分接近,固有頻率和阻尼比的最大誤差均在第1階模態,分別為0.27%和0.50%。

(3) 完成端部繞組的物理參數識別并建立其數學模型,將數學模型得到的頻響函數與有限元結果進行對比,多數測點的匹配度達到85%,最大可達95%。

本文提出的識別物理參數和建立數學模型的方法可為端部繞組動力學問題研究提供準確的建模與參數評估依據,為其安全運行和優化設計奠定理論基礎。