不確定廣義Delta算子系統的魯棒H∞性能分析及控制器的設計

王文

泰山科技學院智能工程學院 山東 泰安 271000

引言

廣義系統是在20世紀70年代提出的[1-2]。由于相對于一般系統而言廣義系統能對系統進行更加普遍的描述，因而得到廣泛的應用。Delta算子的方法是20世紀80年代被提出的，相對于傳統的移位算子而言，Delta算子模型具有很大的優勢[3]。在對實際系統處理過程中，往往會無法避免地遇到不確定因素，因此基于普遍性而言，針對各種系統研究需要考慮魯棒性能分析[4]中的問題。魯棒性能問題分析主要是研究存在所有的在給定范圍內變化的不確定因素擾動下，系統性能仍能得到保持的條件。魯棒控制問題主要討論針對所研究的控制系統如何設計合適的控制器，以使得閉環系統能達到所要求的魯棒性能。近年來，針對廣義系統采用Delta算子研究方法取得了很多寶貴的結果[5-8]。然而，關于不確定廣義Delta算子系統的魯棒性能研究，比如分析以及控制的結果較少。因此在本文中，我們針魯棒控制及魯棒性能分析等系一列問題對不確定的廣義Delta算子系統的進行了研究，并得到了系統的廣義二次可容許的充分必要的條件。然后，進一步的利用線性矩陣不等式等分析方法，并給出了設計方法，并用數值例子來具象地描述理論結果。Delta算子即算子，其定義如下：

1 預備知識

考慮以下的廣義Delta算子系統：

定義1：[9]若，則稱系統（1）穩定。如果，則稱系統（1）是因果的。如果系統（1）穩定，并且具備正則、因果兩個條件，則該系統是容許的。

對于存在以下形式的廣義離散系統：

引理2：[10]（舒爾補引理） 對于矩陣以及矩陣，以下不等式：

式中，各變量滿足定義1中的描述。

證明：按照前文Delta算子的定義，可將系統（7）表示成系統（2）的形式。由文獻[5]可知，系統（7）容許等價于系統（2）容許，系統（7）的性能與系統（2）相同。根據引理1及，系統（2）容許，且備有魯棒性能的充分必要條件是存在矩陣以及矩陣滿足：

很容易得出式（9）等價于式（8）。證明完畢。

考慮具有以下的形式的不確定廣義Delta算子系統：

系統（13）中的其他符號與系統（7）中含義相同。

定義2：[11]對于任意的滿足式（14）、（15）的不確定性矩陣存在著矩陣以及矩陣滿足以下條件：

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這樣，不等式（18）就可以寫成以下的形式：

根據引理2，不等式（21）也可以寫成以下形式：

3 魯棒控制

對于如下式所述具有不確定性的廣義Delta算子系統：

根據式（24）、（25），可以將系統（23）寫成閉環形式：

根據定理1可知，閉環系統（27）具備廣義二次容許的條件，并具有魯棒性能的充要條件是對于矩陣以及任意的矩陣和任意標量滿足：

4 數值算例

例 ：對于上述的系統（23），具有如下所示的參數形式：

所給出的不確定性矩陣具有如下參數：

根據定理2，可得狀態反饋控制器（25）的表達式如下：

5 結論

本文討論了不確定廣義Delta算子系統魯棒控制的問題。在系統存在著不確定性的條件下，利用線性矩陣不等式對廣義Delta 算子系統進行了探討，進而找到了系統滿足廣義二次容許，并且具備魯棒性能的充要條件。

之后，在上述條件下進一步得到了狀態反饋的魯棒控制器的表達式以及存在的充分必要條件。最終的理論結果也通過數值實例和Matlab LMI工具箱仿真進行了驗證。