高速重載弧齒錐齒輪齒面多目標優化設計

任鴻飛，王三民，陳鵬，張旭陽，張全清

（西北工業大學 機電學院，西安 710072）

航空航天汽車等領域中，弧齒錐齒輪作為傳動 系統的關鍵，對其承載能力、接觸性能、動態特性和可靠性等方面有著嚴格的要求。隨著現代機械不斷朝著高功重比的方向發展，使系統中所傳遞的載荷增大，振動與噪聲問題更為突出。齒輪運轉過程中，引起振動噪聲的重要因素為實際重合度和傳動誤差[1]。提高設計重合度直接改善著齒輪副的承傳動誤差與動力學行為，傳動誤差又作為傳動系統的激勵因素。因此，具有高重合度與低傳動誤差幅值的齒面設計將顯著改善齒輪傳動的平穩性與齒間的載荷分配，同時能夠獲得良好的動態特性、嚙合特性和強度性能[2]。

傳統弧齒錐齒輪齒面設計以“局部共軛原理”為基礎，通過Gleason 調整卡與輪齒試切控制齒面的嚙合性能。Litvin 教授獨立于傳統的設計方法，提出了“局部綜合法”[3-4]，該方法能夠彌補傳統設計中無法預控嚙合特性參數的不足，首先預置三個齒面2 階接觸參數，并由微分幾何理論建立兩曲面之間線接觸（刀具齒面與被加工齒面）和點接觸（兩相互嚙合的齒面）兩種情況下的基本方程組，最終由大輪切齒調整參數反推至小輪切齒調整參數，通過這種方法設計的齒輪副能夠有效地對齒面參考點處的1 階和2 階接觸性能進行控制。方宗德教授及其團隊為國內引進局部綜合法，并在此基礎上通過對可選加工參數進行優化，對弧齒錐齒輪嚙合質量進行整體控制[5-6]。鄧效忠等[7-9]結合TCA 和LTCA等技術，給出了提高弧齒錐齒輪重合度的設計方法，達到提高齒輪強度與傳動系統減振降噪的目的。蔡香偉[10]提出了一種高階傳動誤差的變性系數修正方法，通過數值仿真驗證了高階設計的傳動誤差能夠顯著改善齒輪副的強度性能與動態特性，側面反映高階設計的傳動誤差可提高齒輪副的設計重合度。牟彥銘等[11-14]結合ease-off 技術并基于齒長曲率修正進行目標齒面的設計，降低高階傳動誤差波動幅值，有效改善齒輪副的載荷分布與嚙合性能。蘇進展等[15]證明了沿齒長方向進行接觸路徑設計能夠提高重合度，避免輪齒過早發生邊緣接觸。

本文結合TCA、LTCA 等技術，基于局部綜合法建立高重合度與低嚙合轉換處傳動誤差幅值的多目標優化設計模型，利用NSGA-II 算法優化3 個齒面2 階接觸參數得到Pareto 最優解集，并根據目標函數的重要程度選擇相對合適的非劣解。最后以一對弧齒錐齒輪為例，通過數值仿真對比分析優化前后齒輪副嚙合性能和強度性能等多項指標以驗證優化結果的合理性，達到減振降噪的效果。

1 基本概念

1.1 設計重合度與實際重合度

由于在不考慮輪齒表面彈性變形（假設齒輪完全剛性）時，大小齒輪的齒面之間構成了一對局部共軛曲面，即點接觸曲面，同時為保證齒輪副的正常運轉，要求其在嚙合過程中保持連續切觸，因此這種點接觸表征在齒面上是一種連續的點列，即接觸路徑。

實際的齒輪都是非剛性的，因此在實際工作過程中，輪齒不可避免地會出現加載變形問題，由彈性接觸理論知某時刻受載后的接觸點會發生凹陷，展成瞬時接觸橢圓，接觸路徑最終將構成齒面接觸印痕。齒輪副的設計（理論）重合度（Contact ratio）由式（1）定義。實際重合度定義為輪齒在承受載荷條件下，同時進行嚙合的輪齒對數的平均值。

TC與TZ表現在傳動誤差曲線中如圖1 所示，其中TZ=360?/N1。

圖1 拋物線型傳動誤差曲線Fig.1 Parabolic transmission error curve

1.2 設計傳動誤差與載荷分配系數

弧齒錐齒輪產生傳動誤差的主要因素包括齒面的準共軛特性，加載引起的變形、安裝誤差及加工誤差等，其定義如下：小齒輪做勻速運動時，大齒輪實際嚙合轉角與理論嚙合轉角的之間差值，對其Taylor 2 階展開便可得到拋物線型傳動誤差曲線，如圖1，具體表達式為

式中：N1、N2分別為小、大輪齒數； ?1、?2分別為小、大輪當前嚙合轉角； ?01、?02分別為小、大輪初始嚙合轉角；為1 階傳動比導數。

齒輪副在A點進入嚙合至B點退出嚙合，M點代表著齒面設計參考點； ?1A、 ?1B和 ?1M分別代表著小輪相應時刻的嚙合轉角； δTE為嚙合轉換點處的傳動誤差幅值，其與1 階傳動比導數的關系為

聯立式（2）和式（3），得到大小輪嚙合轉角得表達式為

基于此可對弧齒錐齒輪的傳動誤差進行預控，以滿足所要求的嚙合性能。

當齒輪副的實際重合度大于一時，多對輪齒將同時參與嚙合并共同承受著載荷的作用，定義齒間載荷分配系數為

式中：pmax為該嚙合瞬時輪齒上所承受的最大載荷；P為齒輪副所傳遞的總載荷。

1.3 輪齒幾何接觸分析與承載接觸分析

為了更加直觀地反映弧齒錐齒輪副的嚙合特性，通常采用輪齒幾何接觸分析（Tooth contact analysis，TCA）技術模擬齒輪副的嚙合過程。首先基于局部綜合法，由大輪的切齒調整參數反推出小輪的切齒調整參數，從而獲得大小輪齒面方程，同時為保證齒面每一嚙合瞬時始終連續切觸，得TCA 基本方程為：

式中：下標h表示各矢量位于嚙合坐標系Sh中；θF,?F和 θG,?G分別為小輪和大輪齒面的曲面坐標參數； ?1和 ?2分別為小輪和大輪的嚙合轉角。

由于TCA 技術假設輪齒為完全剛性，且未考慮負載的作用，從純數學的角度闡述齒輪副的嚙合過程，因此分析結果一般僅用于評價初始設計參數對應的齒面質量，與實際承載運轉時的情況大相徑庭。輪齒承載接觸分析（Load tooth contact analysis，LTCA）技術考慮了齒輪副實際工作時產生的加載變形以及載荷分配對于齒輪嚙合特性的影響，基于TCA 技術、有限元法、柔度矩陣法以及數學規劃法建立的LTCA 基本方程為：

式中：F為n×n柔 度矩陣，n為當前嚙合瞬時可能發生接觸的離散點總數；p為n維 載荷向量； ω維n初始間隙向量； Θ為彈性變形引起的大輪轉角；r1和r2分別為n維小輪和大輪接觸點的回轉半徑向量；d為n維彈性變形后的間隙向量；T1為輸入扭矩。

2 優化策略

在計算Pareto 解集時由于NSGA-II 算法（帶精英策略非支配排序遺傳算法）的精確度高、分散性好，故本文擬采用該算法實現弧齒錐齒輪齒面多目標優化。

2.1 多目標優化問題

針對多目標優化問題（Multiobjective Optimization Problems，MOPs），需要對多個目標同時進行最優化，這些目標之間可以是相互矛盾的，因此難以甚至無法找到一種解使各目標函數均達到最優，即任何兩種解不一定能夠比較出之間的優劣，將這類解稱為非劣解（Pareto 最優解），將所有的Pareto 最優解組合起來構成Pareto 最優解集[16]。因此根據具體的多目標問題的設計要求和實際經驗，從Pareto 最優解集中選擇相對合理的解作為最終優化結果，是解決多目標優化問題的重要目標。

2.2 NSGA-II 算法

解決多目標優化問題的遺傳算法眾多，其中具有代表性的諸如小生鏡Pareto 遺傳算法（Niched pareto genetic algorithm，NPGA）、非劣解排序遺傳算 法（ Non-dominated sorting genetic algorithms，NSGA）等，其中雖然NSGA 算法廣泛應用于眾多工程實際問題上，但仍存在不足[17]，NSGA-II 對NSGA去粗取精，使得該算法應用于實際工程問題中效果顯著。故擬采用該算法求解本文齒面多目標優化問題，其算法主流程[18]如圖2 所示。

圖2 NSGA-II 流程Fig.2 Flowchart of NSGA-II

2.3 高速重載弧齒錐齒輪的齒面優化設計數學模型

由于弧齒錐齒輪的重合度和轉換處傳動誤差幅值主要受到2 階接觸參數的影響，且3 個2 階接觸參數之間相互獨立，因此基于基于局部綜合法與TCA、LTCA 技術，設計出具有高重合度且低嚙合轉換處幅值的齒面，建立如下多目標優化設計模型。

優化變量

目標函數

約束條件

3 數值算例與分析

3.1 數值算例

以某弧齒錐齒輪副為例進行齒面多目標優化設計，齒輪坯的基本參數見表1。NSGA-II 算法所涉及部分參數設置見表2，在進行500 代進化后得到Pareto 最優解集，并通過均勻采樣，最終獲得弧齒錐齒輪齒面多目標優化問題的Pareto 近似前沿，見圖3。對雙目標進行無量綱化處理并根據優化目標的重要程度，選擇重合度權重因子為0.7，嚙合轉換處傳動誤差幅值權重因子為0.3，獲得最終優化結果。優化前后2 階接觸參數列于表3，優化前后目標函數計算結果列于表4。

表1 齒輪坯基本參數Tab.1 Basic parameters of gear blank

表2 NSGA-II 相關參數設置Tab.2 NSGA-II related parameter setting

表3 優化前后2 階接觸參數Tab.3 Second-order contact parameters before and after optimization

表4 優化前后目標函數計算結果Tab.4 Calculation results of objective function before and after optimization

圖3 Pareto 近似前沿Fig.3 Pareto approximate frontier

3.2 嚙合性能分析

基于TCA 技術獲得優化前后對應的大小輪齒面印痕和及傳動誤差曲線，見圖4 和圖5。

圖4 優化前2 階參數對應的TCA 結果Fig.4 TCA results corresponding to the second-order parameters before optimization

圖5 優化后2 階參數對應的TCA 結果Fig.5 TCA results corresponding to the second-order parameters after optimization

由圖4、圖5 和表4 可以看出：對比優化前后的齒面接觸印痕，不難發現齒面嚙合區域面積和嚙合點的個數明顯增加，接觸跡線傾斜程度提高，且更加趨于直線；重合度對大輪凸面接觸跡線與大輪根錐夾角的變化非常敏感，降低其夾角的大小，重合度明顯增加，優化后的重合度相較優化前增加了16.69%；嚙合轉換處傳動誤差幅值對于1 階傳動比導數的變化及其敏感，優化后的幅值相較優化前降低了87.33%；大輪凸面接觸橢圓長軸半徑與齒寬比對于重合度與嚙合轉換處傳動誤差幅值的影響較小。

為進一步對比驗證優化后的嚙合特性，基于LTCA 技術，計算得到優化前后承載傳動誤差曲線、齒面接觸應力分布曲線、齒間載荷分配系數曲線以及大小輪齒根彎曲應力曲線如圖6 與圖7 所示。

圖6 優化前2 階參數對應的LTCA 結果Fig.6 LTCA results corresponding to the second-order parameters before optimization

圖7 優化后2 階參數對應的LTCA 結果Fig.7 LTCA results corresponding to the second-order parameters after optimization

對比圖6c)和圖7c)，優化后的齒面由于設計重合度的提高，單齒的嚙合周期顯著增加，且一個嚙合周期內單齒承受滿載的比例大幅降低。為便于后續說明，將圖6 和圖7 中涉及的具體數值信息列于表5。根據圖6、圖7 和表5 得出：優化后承載傳動誤差整體減小，且在一個嚙合周期內突變次數減小，有利于齒輪副的平穩運轉，改善其動態特性；優化后齒面接觸應力均值和大小輪齒根彎曲應力均值均得到不同程度的減小，其中彎曲應力降低幅度最大，優化后的齒面具有良好的嚙合特性，且接觸強度和彎曲強度均有所提高。

表5 優化前后各接觸特征響應Tab.5 Contact characteristics response before and afteroptimization

4 結論

利用局部綜合法、TCA 技術等提出兩個目標函數與3 個設計變量，并合理設置約束條件，基于NSGA-II 算法實現弧齒錐齒輪多目標優化，并結合LTCA 技術模擬真實齒面接觸過程。得出如下結論：

1）對比優化前后的齒面接觸印痕，齒面嚙合區域面積、嚙合點的個數及接觸跡線傾斜程度均有所增加，且接觸跡線向直線逼近。

2）對比優化前重合度為1.458，嚙合轉換處傳動誤差幅值為11.130″，優化后重合度增加了16.69%，幅值降低了87.33%，具體數值分別為1.75 和1.410″。

3）對比優化前后各接觸特征響應，優化后的承載傳動誤差均值、齒面接觸應力均值與大小輪齒根彎曲應力均值分別下降了11.82%、0.25%、12.32%和13.61%，且一個嚙合周期單齒承受滿載的比例大幅降低，齒面接觸性能和強度整體得到提升。