基于加窗插值壓縮感知的諧波/間諧波檢測方法

杜太行,梁倩偉,孫曙光,王景芹

(1.河北工業大學 人工智能與數據科學學院,天津 300130;2.河北工業大學 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室,天津 300130)

0 引 言

隨著智能電網的快速發展,以風電、光伏為代表的可再生能源設備規?；尤腚娋W,大量的電力電子設備和沖擊性負荷投入使用,導致電網中諧波/間諧波含量大量增加,使得電能質量問題日益突出[1]。

傳統的諧波/間諧波檢測方法建立在奈奎斯特采樣定理之上,要求采樣頻率不小于信號中最高頻率的2倍,而諧波間諧波的檢測逐步趨向于復雜化和常態化,如若需要長時間對諧波/間諧波進行實時檢測,將會產生龐大的數據量,對數據的存儲、傳輸,以及硬件的要求都產生了極大的挑戰[2]。而壓縮感知理論的提出,打破了傳統采樣定理的限制,該理論實現了信號壓縮和采樣的同步進行,為信號處理和圖像識別等領域開辟了新的方法。

將壓縮感知應用到信號處理中的前提是信號本身或在某個變換基下是稀疏的,但是在傅里葉變換基下得到的稀疏信號是傅里葉變換的頻域信息[3],在對諧波畸變信號壓縮采樣時,非同步采樣和頻率波動造成的頻譜泄漏和柵欄效應同樣無法避免,可能會對檢測結果造成較大的影響。

為采用壓縮感知算法實現諧波/間諧波的高性能檢測,文獻[4]提出一種SACoSaMP算法,該算法能夠在諧波信號稀疏度未知的情況下,在重構的稀疏向量基礎上實現諧波信號的檢測,但并沒有考慮含有間諧波的情況;文獻[5]首先對信號進行加窗FFT變換,得到高稀疏度的信號,然后采用基波濾除的多譜線插值修正的譜投影梯度算法對諧波信號進行重構,并未直接對諧波信號參數進行檢測;文獻[6]提出構造窗稀疏測量矩陣,利用多重提取梯度追蹤算法進行重構,將基波、諧波和間諧波分階段提取檢測,實現了諧波信號的高精度檢測,但是該方法較為繁瑣;近年來,文獻[7]提出一種加六項五階余弦窗的FFT算法,采用四譜線插值實現了對諧波/間諧波的高精度檢測。

文章提出一種加窗插值CS算法,利用六項五階組合余弦窗和二進制稀疏測量矩陣構造新型窗稀疏測量矩陣,降低在傅里葉變換基下對諧波畸變信號變換時頻譜泄漏的問題,然后采用SACoSaMP算法對稀疏向量進行重構,利用四譜線插值修正公式對諧波/間諧波參數進行校正,通過MATLAB仿真,與加六項五階組合余弦窗,四譜線插值的FFT(SF-FFT)進行比較,驗證了文章所提方法的檢測性能。

1 壓縮感知理論

壓縮感知理論的本質是一種非線性的可壓縮信號的重建算法,當信號x為稀疏信號時,其線性表達式為:

y=Φx

(1)

式中x為原信號;Φ為M×N維的測量矩陣;y為N×1維的觀測向量。

實際工程中絕大多數信號并不是稀疏的,但是一般能夠找到特定的變換基Ψ,使得信號在該基的投影下呈現出所需的稀疏性,即:

x=Ψθ

(2)

Ψ為N×N的變換基,此時可得觀測向量為:

y=ΦΨθ=Aθ

(3)

A為M×N維的傳感矩陣,此時為保證能夠完整地對信號進行重構,必須滿足兩個特性[8]:Φ和Ψ不相關;傳感矩陣A滿足約束等距特性。即:

(4)

式中δK∈{0,1},稱為約束等距常數,即當滿足RIP時,δ取得的最小值。目前常用測量矩陣有高斯隨機測量矩陣,伯努里隨機測量矩陣、部分傅里葉隨機矩陣等。

由式(3)求解θ是一個求解欠定方程組的問題,但是當傳感矩陣滿足RIP,可以將求解欠定方程組的問題轉化為最小l0范數的問題,即:

(5)

最小l0范數優化求解是NP-hard問題[9],因此諸多學者對此進行了改進,其中最為常用的有兩種:一種是將該問題轉變為凸優化問題;另一種是基于l0的貪婪算法。由于貪婪算法計算速度快,計算量小,容易實現,且工程中的諧波檢測趨于復雜化和密集化,所以文章選取貪婪算法作為重構算法。

2 基于加窗插值CS的諧波/間諧波檢測方法

2.1 窗稀疏測量矩陣

傳統FFT算法在處理頻譜泄漏問題時,大都采用加窗插值的方法。其中較為常用的窗函數hanning窗,hanmming窗,Blackman窗以及Nuttall窗等[10],插值算法一般采用雙譜線插值、三譜線插值以及多譜線插值。

文章綜合六項五階組合余弦窗良好的頻譜集中特性,以及二進制稀疏測量矩陣復雜度低,易于在硬件上實現的特點,提出一種新型窗稀疏測量矩陣,實現壓縮感知算法在測量矩陣上的改進。

其中組合余弦窗時域表達式為:

(6)

式中n=0,1,…,N-1;N為諧波信號長度,a0=0.262 473 306 8;a1=0.426 559 583 2;a2=0.225 056 343 8;a3=0.072 699 592 1;a4=0.012 512 095 8;a5=0.000 782 570 1。

由式(1)可得:

y=Φx′=Φ(w°x)=ΦWSMx

(7)

式中“ ° ”表示哈達碼乘積;x′為加窗后得到的信號;w為離散化窗序列;x′,x,w均為N×1維向量;Φ為二進制稀疏測量矩陣;ΦWSM窗稀疏測量矩陣。

由此可得窗稀疏測量矩陣表達形式:

ΦWSM=[(φ1°w)(φ2°w)…(φM°w)]T

(8)

2.2 SACoSaMP重構算法

SACoSaMP算法是在CoSaMP算法基礎上的改進,通過結合CoSaMP的回溯思想和SAMP自適應調節步長逼近信號稀疏度的特點,可以在原諧波信號稀疏度未知的情況下將諧波參數檢測出來。其步驟如下:

步驟1:初始化各數據r0=y,Λ0=φ,A0=φ,J0=φ,t=1,s=1。

步驟2:計算u=abs [ATrt-1],選取u中最大的2s個元素,將其對應A中的列序號j構成集合J0。

步驟3:更新索引集Λt和支撐集At,Λt=Λt-1∪J0,At=At-1∪αj(j∈J0)。

其中r0為初始殘差;Λt為t次迭代的索引集;aj為傳感矩陣A的第j列;At={aj} (j∈J0)為初始支撐集;t為迭代次數;s為步長。為提高計算的準確性,將初始步長設為1。

2.3 插值修正公式

經過SACoSaMP算法重構出稀疏向量后,由于柵欄效應,實際的譜線并沒有位于譜線分辨率的整數倍上。利用四譜線插值修正,可以根據離真實譜線最近的四條譜線,準確估計出真實的幅值,原理如圖1所示。

圖1 四譜線插值原理

其修正公式[7]為:

(9)

式中fs為采樣頻率;fi,ai,φi分別為所求的頻率,幅值和相位;ki為離峰值最近的次大譜線;yi-1,yi,yi+1,yi+2為四個譜線對應的峰值;δ為偏移量,且有δ∈[-0.5,0.5],通過多項式擬合,能夠得到中間變量δ和u(δ)的近似表達式:

δ=3.19150102858672β+0.634316803314208β3+0.297984182782785β5+0.188585104878528β7

u(δ)=1.50956630632282+0.220537236245935δ2+0.0171187895020846δ4+0.000957569490375155δ6

其中β為:

(10)

經以上分析,基于加窗插值CS諧波間諧波檢測方法流程如圖2所示。

圖2 加窗插值CS算法流程圖

3 仿真分析

3.1 稀疏性分析

假設含有諧波的電力信號為:

(11)

該諧波信號包含頻率為50.2 Hz的基波、2次諧波以及兩個間諧波分量,參數如表1所示。

表1 給定諧波/間諧波信號參數

設采樣頻率設為5 120 Hz,采樣時長為0.2 s,得到N維采樣序列,給定壓縮比C=0.25,采用M×N維的窗稀疏測量矩陣對采樣得到的數據進行觀測,得到壓縮后的M維采樣數據,其中M=C×N。得到的原始諧波信號采樣序列,以及壓縮采樣后序列如圖3和圖4所示,文章通過這種方式來模擬壓縮采樣過程。

圖3 原始諧波信號

圖4 壓縮后諧波信號

其中壓縮比表達式為:

(12)

利用WI-CS算法,分別在加窗和無窗情況下,對稀疏向量進行重構,觀察稀疏向量的稀疏性,結果如圖5所示。

圖5 重構稀疏向量對比

根據DFT性質可得,在沒有發生頻譜泄漏的情況下,稀疏向量的稀疏度應為諧波分量的2倍,但從圖5可以看出,兩種情況下的稀疏度都遠大于8。由此可以證明,諧波畸變信號在DFT基下變換后會產生泄漏。

從圖5還可以看出,無窗情況下重構的稀疏向量旁瓣衰減較緩,泄漏的頻譜充滿整個稀疏向量,若直接進行檢測,則會直接影響稀疏度的判斷,也就無法實現諧波間諧波的準確檢測,而基于WSM的壓縮感知算法,能夠使稀疏向量的能量更集中,并且旁瓣能夠快速衰減為0,能夠保證所需的稀疏性,進而結合圖1所示的四譜線插值,實現在較少數據的情況下完成諧波/間諧波的檢測。

3.2 算例1

對壓縮比為0.25的WI-CS與SF-FFT進行仿真分析,仿真次數為50次,以各參數檢測相對誤差的平均值作為評價指標,又因為在泄露情況下,重構的稀疏向量的元素個數遠大于8,盡管采用四譜線插值,對諧波分量的個數判斷也有可能產生錯誤,所以引入檢測成功率的概念,即檢測的結果中沒有多余分量的情況。得到的結果如表2所示。

表2 算例2檢測結果

由表2可知,隨著諧波/間諧波頻率的增大,WI-CS的幅值和頻率檢測精度都有所下降,這是因為諧波/間諧波次數越大,諧波分量的能量就越小,更容易受到干擾分量的影響。當壓縮比為0.25時,WI-CS的檢測成功率為100%,并且SF-FFT和WI-CS算法都能達到較高精度。此時采樣頻率為5 120 Hz,SF-FFT需要采樣的點數高達1 024,而由圖4可知,WI-CS的采樣數據量僅為256,相當于將采樣頻率降低為原來的四分之一。這是由于WI-CS的采樣呈現出隨機性,盡管采樣序列的數量較低,但是在測量矩陣滿足RIP條件時,采樣序列能夠保留信號的大多數有用信息,通過重構算法能夠得到稀疏向量,最后利用四譜線插值修正公式,來改善對稀疏度的估計。

3.3 算例2

壓縮比作為重構算法的重要參數,決定了采樣序列的長度,影響著壓縮后的觀測向量中,包含原諧波信號重要信息的多少,所以本節對不同壓縮比下的WI-CS進行分析。仍采用表1給定的諧波參數,壓縮比分別為0.2,0.3,0.4,0.5,其他參數設定值同算例1,利用文章算法進行檢測,得到的幅值、頻率、相位檢測相對誤差如圖6所示。

圖6 各參數檢測相對誤差

如前面分析,WI-CS的幅值和頻率檢測相對誤差較小,為更加直觀地體現出檢測結果的差異,將其圖形的縱坐標按照檢測相對誤差的對數刻度進行顯示。由圖6可知,隨著壓縮比的不斷增大,WI-CS 的幅值和頻率檢測精度逐步得到提升,當壓縮比大于0.4時,檢測精度趨于穩定,這是因為壓縮比提高到一定程度后,壓縮采樣序列中能夠涵蓋諧波信號的大部分有用信息,對重構的稀疏向量進行插值計算得到的檢測精度趨于穩定。而相位檢測相對誤差相對于上述兩個參數,受壓縮比變化的影響較小,基本保持不變。當壓縮比大于0.2時,WI-CS的幅值檢測相對誤差不超過5.6718×10-4%、頻率檢測相對誤差不超過1.0143×10-6%、相位檢測相對誤差不超過1.2991×10-2%,并且仿真表明,其檢測成功率均為100%。與表2對比可知,當壓縮比達到0.4時,WI-CS的檢測精度與SF-FFT相當,此時壓縮感知所需處理的數據僅為SF-FFT的0.4倍,在很大程度上提高了諧波間諧波的檢測效率。

3.4 算例3

在實際諧波檢測中往往伴隨著環境噪聲,影響方法的檢測結果,本節主要分析在表1的諧波信號中添加60 dB和70 dB高斯白噪聲后,對方法檢測結果的影響,以此來分析方法的抗噪性。壓縮比設為0.25,實驗次數為50次,求取其平均值作為檢測結果。檢測結果如表3和表4所示。

表3 60 dB下諧波檢測結果

表4 70 dB下諧波檢測結果

根據表3和表4可知,在噪聲的影響下,重構的稀疏向量中會出現大量干擾分量,導致WI-CS的檢測成功率下降,檢測精度也有所影響。但當加入60 dB和70 dB高斯白噪聲后,其檢測相對誤差仍能夠保證在1.568 4×10-2%以內,并且平均檢測成功率能夠達到82%,表明該方法具有可行性。

4 結束語

文章結合余弦窗和二進制稀疏測量矩陣,構造出一種新型窗稀疏測量矩陣,然后通過重構算法重構稀疏向量,利用四譜線插值實現了基于WI-CS的諧波/間諧波的準確檢測。

經實驗分析表明,文章方法克服了壓縮感知中,使用傅里葉變換基而產生頻譜泄露的問題,并且相對于常規檢測方法,WI-CS在具備較高檢測精度的前提下,降低了所需采樣數據量,當壓縮比為0.25時,WI-CS的檢測相對誤差可以控制在1.234 4×10-2%以內,檢測成功率為100%;且在噪聲條件下,WI-CS的檢測成功率能夠達到80%以上,檢測相對誤差控制在1.568 4×10-2%以內,具有可行性。綜上,文章方法解決了非同步采樣下,壓縮感知用于諧波檢測時,無法準確檢測出諧波分量個數,以及檢測精度不足的問題,提高了該方法的適用范圍。